Изменения

'''Дефицитом''' (англ. ''deficit'') графа <tex>G</tex> мы будем называть величину: <br><tex>o\mathrm{def}(G) = |V| -U2\alpha (G)</tex> , <br>где <tex>\alpha (G)</tex> {{- количество компонент связности нечетного размера --}} размер [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях#theorem1|максимального паросочетания]] в <tex> G[</tex>, а <br><tex>V(G)</tex> {{--U]-}} множество вершин графа <tex>G. </tex>.}}

|id = Th_Berge|about=Татта-Бержа

дан граф Для любого графа <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем выполняется:<texbr>v(G)</tex> равен:<tex>v\mathrm{def}(G) = min\max\limits_{S \subset V(U in VG)1/2} \{\mathrm{odd}(|V|G - S) -|US|-o(G-U)) \}. </tex>

множество UМножество <tex>S \subset V (G)</tex>, на котором достигается минимум в формуле Таттадля которого <tex>\mathrm{odd}(G - S) -Баржа назовем множеством свидетелей|S| = \mathrm{def}(G) </tex>, называется '''барьером''' (англ. ''barrier'').}} {{УтверждениеОпределение|statementdefinition=Пусть <tex>X \subset V </tex>. '''Множeство соседей''' (англ. ''neighbors'') <tex>X</tex> определим формулой: <tex>N(X)= выполняется следующее\{ y \in V:* все вершины из U покрыты любим максимальным паросочетанием в G* если K - множество вершин компоненты G-U(x, тогда любое максимальное паросочетание в G покрывает как минимум половину вершин в K. В частности, каждая вершина в четной компоненте покрыта любым максимальным паросочетанием.y) \in E \}</tex>

граф Структурные единицы декопозиции:# <tex>D(G ) = (V, E) называется фактор-критическим, если в нем нем полного паросочетания, но для каждой вершины \{v из \in V граф G-v имеет полное.}} {{\mid </tex> существует [[Теоремао максимальном паросочетании и дополняющих цепях|statement=граф G факторо-критический тогда и только тогда, когда для каждой вершины v из V существует максимальное паросочетание в G]], которое не покрывает вершину покрывающее <tex> v.}\}</tex> {{Утверждение|statement# <tex>A(G) =N(D(G)) \setminus D(G)</tex>пусть # <tex>C - цикл нечетной длины в (G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G. Если граф ))</tex># <tex> \alpha (G) </С, полученный сжатием C в одну вершину, факторtex> {{-критический, то и G - фактор-критический}} размер максимального паросочетания в <tex> G.</tex>

 =Структурная теорема Эдмондса-Галлаи=[[Файл: EG_red.png|300px|thumb|right|Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным]]

необходимые определения:* Граф <tex>D(G) = \{v \in V |</tex> существует максимальное паросочетаниеназывается '''фактор-критическим''' (англ. ''factor-critical graph''), не покрывающее если для любой вершины <tex> v\}</tex>* <tex>A(G) = N(D(in G)) \setminus D(G)</tex>* в графе <tex>C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )</tex>* <tex> \alpha (G) </tex> - размер максимального паросочетания в <tex>G{v}</tex>существует [[Теорема Холла#def1|совершенное паросочетание]].

<tex>G</tex> {{- --}} фактор-критический граф <tex> \Leftrightarrow </tex> <br><tex>G</tex> {{--- }} связен и для любой вершины<tex> u \in V(G) </tex> выполняется равенство <tex> \alpha (G - u) = \alpha (G)</tex>.

|id = stability_lemma|about= Галлаи, о стабильности (англ. ''stability lemma'')

пусть Пусть <tex> a \in A(G).</tex> Тогда: * # <tex>D(G - a) = D(G)</tex> * # <tex>A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}</tex>* # <tex>C(G - a) = C(G)</tex> * # <tex> \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.</tex>

много-много и с картинками. :(Достаточно доказатьДля начала докажем, что <tex>D(G-a) = D(G)</tex>. <br>1) покажем[[Файл: Gallai-lema-a.png|150px|thumb|right|Случай '''а''']][[Файл: Gallai-lema-b.png|150px|thumb|right|Случай '''b''']][[Файл: Gallai-lema-с.png|150px|thumb|right|Случай '''c''']]# Покажем, что <tex>D(G − - a) /\supset D(G)</tex> : <br>#:Пусть <tex>u \in D(G)</tex>. Тогда существует [[Теорема о максимальном паросочетании и дополняющих цепях|максимальное паросочетание Mu ]] <tex>M_u</tex> графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>u</tex>. Поскольку любое максимальное паросочетание графа <tex>G </tex> покрывает <tex>a</tex>, то α<tex> \alpha (G - a) = α\alpha (G) - 1 </tex> и более того, если , для некоторой вершины <tex>x \in D(G)</tex>, <tex>ax \in MuM_u</tex>, то Mu <tex>M_u \setminus {ax} </tex> {{--- }} максимальное паросочетание графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее <tex> u</tex>. Таким образом, <tex>D(G - a) \supset D(G)</tex>. <br>2)#покажем, что <tex> D(G − - a) /\subset D(G)</tex>: <br>Предположим, что существует максимальное паросочетание <tex>M' </tex> графа <tex> G - a</tex>, не покрывающее вершину <tex>v not </tex> <tex> \in notin D(G)</tex>. Пусть <tex> w \in D(G) </tex> {{- --}} смежная с <tex> a \in A(G) </tex> вершина, а Mw <tex> M_w </tex> {{-- -}} максимальное паросочетание графа <tex> G</tex>, не покрывающее <tex> w</tex>. Так как <tex>v not </tex> <tex> \in notin D(G)</tex>, максимальное паросочетание Mw <tex> M_w </tex> покрывает вершину <tex>v</tex>. Рассмотрим граф <tex> H = G(Mw M_w \bigcup M') </tex> {{--- }} очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть <tex> U </tex> {{- --}} компонента связности графа <tex> H</tex>, содержащая <tex>v</tex>. Так как dH<tex> deg_H(v) = 1</tex> (степень вершины), то <tex> P = H(U) </tex> {{- --}} путь с началом в вершине <tex>v</tex>. В пути <tex>P </tex> чередуются рёбра из Mw <tex> M_w</tex> и <tex>M'</tex>, причём начинается путь ребром из Mw<tex>M_w </tex>. Так как dH<tex> deg_H(a) = 1</tex>, то вершина a либо не принадлежит пути <tex>P</tex>, либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию Mw<tex> M_w</tex>). Рассмотрим несколько случаев: <br> '''a.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M'</tex> (см. рисунок)<br>Рассмотрим паросочетание <tex>M_v = M_w \oplus E(P)</tex> (симметрическая разность<tex> M_w</tex> и <tex>E(P)</tex>. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств).Очевидно, <tex>M_v</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, не покрывающее <tex>v</tex>, поэтому <tex> v \in D(G)</tex>, противоречие. <br> '''b.''' Путь <tex>P</tex> кончается ребром из <tex> M_w</tex>, вершина <tex>a</tex> {{---}} конец пути <tex>P</tex>. (см.рисунок)<br>Рассмотрим паросочетание <tex>M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} </tex>. Тогда <tex> M_v∗ </tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex> G </tex>, не покрывающее <tex> v </tex>, поэтому <tex> v \in D(G) </tex>, противоречие. '''c.''' Путь <tex> P </tex> кончается ребром из <tex> M_w, a \in V(P) </tex> (см. рисунок)Рассмотрим паросочетание <tex> M'' = M \oplus E(P) </tex>. Тогда <tex> |M''| = |M'| + 1 </tex>, причём <tex>M'' \subset E(G - a)</tex>. Противоречие с максимальностью паросочетания <tex>M'</tex>. Таким образом, наше предположение невозможно и <tex>D(G - a) \subset D(G)</tex>.А значит, <tex>D(G - a) = D(G)</tex>. 

'''a.''' Путь P кончается ребром из M' (см. рисунок)Так как <brtex>Рассмотрим паросочетание Mv = Mw \oplus ED(PG - a) = D(симметрическая разностьMw и E(PG). </tex>, то естьвсе вершины, рёбракоторые были соседями <tex>D(G)</tex>, входящие ровно в одно из двух множеств)таковыми и остались.ОчевидноОднако, Mv - максимальное паросочетание графа G, не покрывающее v, поэтому v по условию <tex> a \in DA(G)</tex>, противоречие. значит <tex>A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}<br/tex>.

'''c.''' Путь P кончается ребром из MwТак же заметим, что <tex>C(G - a ) = V(G - a) \in setminus (D(G - a) \cup A(G - a)) = V(PG - a) \setminus (см. рисунокD(G) \cup (A(G)Рассмотрим паросочетание M'' \setminus \{a\}))</tex><tex> = M V(G) \setminus (D(G) \oplus Ecup A(PG)). Тогда |M''| = |M'| + 1, причём Mээ \subset EC(G - a). Противоречие с максимальностью паросочетания M'.</tex>

А значитНаконец, Dтак как <tex> a \in A(G)</tex>, то все максимальные паросочетания в <tex>G</tex> включали <tex>a</tex>. Следовательно, <tex>\alpha (G - a) < \alpha (G)</tex>. Заметим, что, взяв любое максимальное паросочетания в <tex>G</tex> и удалив ребро инцидентное <tex>a</tex>, мы получим паросочетание <tex>M'</tex>, которое на 1 меньше исходного, при этом <tex>M' \in E(G - a)</tex>. В свою очередь, это самое большое паросочетание, которое мы могли теоретически получить в <tex>G - a</tex>. Следовательно, <tex> \alpha (G - a) = D\alpha (G)- 1.</tex>

пусть дан Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф , <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G (D(G))</tex>, <tex>D_i = G(VU_i), EC = G(C(G))</tex>.Тогда:# Граф <tex>C<br/tex>тогда:имеет совершенное паросочетание.<br>1) # Графы <tex> U = A(G) D_1\ldots D_n</tex> {{- множество свидетелей Татта-Бержа -}} фактор-критические. <br>2) # Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex>С(G) </tex> - объединение всех четных компонент состоит из совершенного паросочетания графа <tex>G - A(G)C </tex> , почти совершенных паросочетаний графов <brtex> D_1\ldots D_n </tex>3) и покрывает все вершины множества <tex>DA(G) </tex> - объединение всех нечетных компонент рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex> U_1\ldots U_n. </tex> <br># <tex>\mathrm{def}(G ) = n - |A(G)|.</tex> <br>4) каждая компонента в # <tex> 2\mathrm{\alpha}(G) = v(G - ) + |A(G)| - n</tex> - фактор-критическая .

1) [[Файл: Edmonds-Gallai_2.png|300px|thumb|right|Пример]]# Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:#:* <tex>D(G - A) = D(G),</tex> #:* <tex>A(G - A) = \O, </tex>#:* <tex>C(G - A) = C(G),</tex>#:* <tex>\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.</tex>#:#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт <tex>1)</tex>.#:# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи (мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{---}} фактор-критический.#:# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \geqslant |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам <tex>1)</tex> и <tex>2)</tex> очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1\ldots D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1\ldots U_n</tex>. # Из пункта <tex>3)</tex> сразу же следуют равенства пункта <tex>4)</tex> и <tex>5)</tex>.}} {{Утверждение|about=следствие из теоремы|statement=<tex>A(G)</tex> {{---}} '''барьер''' графа <tex>G</tex>}} {{Лемма|id = barier_struct1|about = о связи барьера с <tex>D(G)</tex>|statement= Для любого барьера <tex>B</tex> графа <tex>G</tex> верно, что <tex>B\cap D(G) = \varnothing</tex>|proof= Рассмотрим <tex>U_{1}, U_{2}, \ldots U_{n}</tex> {{---}} нечётные компоненты связанности <tex>G \setminus B</tex>, <tex>\ M</tex> {{---}} максимальное паросочетание в <tex>G</tex>. <tex>\forall\ U_{i}\ \exists x \in U_{i}: x</tex> не покрыта <tex>\ M</tex> или <tex>xv \in M \land v \in B</tex>. Всего графе не покрыто хотя бы <tex>odd(G\setminus B) - |B|</tex> вершин. Однако, так как <tex>B</tex> {{---}} барьер, непокрыто '''ровно''' столько вершин. Следовательно, любое максимальное паросочетание не покрывает только вершины из <tex>G \setminus B</tex>, а значит каждая вершина барьера покрыта в любом максимальном паросочетании. Отсюда получаем, что ни одна вершина из <tex>D(G)</tex> не могла оказаться в барьере.}}

Это означает, что не существует рёбер, соединяющих {{Утверждение|id = barier_struct1a|about=Следствие из леммы|statement=В любом максимальном паросочетании все вершины из барьера соединены соединены с вершинами <tex>C(G - A)\setminus B</tex> и |proof=Так как для барьера <tex>D(G - A)B</tex>. Каждое максимальное паросочетание верно, что <tex>M'odd(G\setminus B) - |B|=def(G) \geqslant 0</tex> графа , то ровно <tex>G - A|B|</tex> покрывает все вершины множества вершин из нечётных компонент <tex>C(G)\setminus B</tex>, поэтому покрыты рёбрами <tex>xv \in M'\land v \in B</tex> содержитсовершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт 1).}}

2) Из формулы {{Лемма|id = barier_struct2|about = о дополнении барьера|statement= Пусть <tex> x\alphain A(G - A) = \alpha cup C(G) - |A|</tex> следует, что <tex>U1\ G'=G\setminus x,{...},Un\ B'</tex>{{- компоненты связности --}} барьер графа <tex>G - A'</tex>. Для любой вершины Тогда <tex>u B=B'\in Ui </tex>существует максимальное паросочетание <tex>Mucup x</tex> {{---}} барьер графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. |proof= Так как <tex>Ui</tex> - компонента связности графа <tex>x \notin D(G - A)</tex>, паросочетание то для любого максимального паросочетания <tex>MuM: x \in M</tex> содержит максимальное паросочетание графа . Следовательно, <tex>Di|M'| = |M| - 1</tex> (разумеется, не покрывающее вершину где <tex>uM'</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (Di) = \alpha (Di {{--- u) }} максимальное паросочетание в </tex> и по теореме Галлаи(выше) мы получаем, что граф <tex>DiG'</tex> - фактор-критический.

3) Пусть <tex>M</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>def(G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |AV|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G 1)- A</tex>. Более того, из <tex> 2 \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>cdot |M'| = |MV| - 2 \cdot |AM|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрамию Так как <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>+ 1 = def(G - A</tex>, то по пунктам ) + 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D1,{...},Dn</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U1,{...},Un</tex>. 4) Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).

{{Утверждение== См. также ==* [[Теорема Татта о существовании полного паросочетания]]* [[Лапы и минимальные по включению барьеры в графе]]* [[Пересечение всех максимальных по включению барьеров]] |about=следствие из теоремы= Источники информации==|statement=*[http://www.people.vcu.edu/~dcranston/691/edmonds-gallai.pdf Edmonds-Gallai Decomposition and Factor-Critical Graphs]граф G фактор*[http://immorlica.com/combOpt/lec2.pdf Edmonds-критический тогда и только тогдаGallai Decomposition, когда U не пусто Edmonds’ Algorithm] [[Категория:Алгоритмы и U - единственное множество свидетелей Татта-Бержа для Gструктуры данных]]}}[[Категория:Задача о паросочетании]]