Декомпозиция Эдмондса-Галлаи — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Декомпозиция Эдмондса-Галлаи)
(Декомпозиция Эдмондса-Галлаи)
Строка 70: Строка 70:
 
тогда:
 
тогда:
 
<br>
 
<br>
* <tex> U = A(G) </tex> - множество свидетелей Татта-Бержа
+
1) <tex> U = A(G) </tex> - множество свидетелей Татта-Бержа <br>
* <tex>С(G) </tex> - объединение всех четных компонент <tex>G - A(G)</tex>
+
2) <tex>С(G) </tex> - объединение всех четных компонент <tex>G - A(G)</tex> <br>
* <tex>D(G) </tex> - объединение всех нечетных компонент <tex>G - A(G)</tex>
+
3) <tex>D(G) </tex> - объединение всех нечетных компонент <tex>G - A(G)</tex> <br>
* каждая компонента в <tex> G - A(G)</tex> - фактор-критическая
+
4) каждая компонента в <tex> G - A(G)</tex> - фактор-критическая  
 
|proof=
 
|proof=
 
  1) Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:
 
  1) Последовательно удаляя вершины множества<tex> A = A(G)</tex>, по лемме о стабильности мы получим:
Строка 86: Строка 86:
 
2) Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U1,{...},Un</tex>- компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in Ui </tex>существует максимальное паросочетание <tex>Mu</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>Ui</tex> -  компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>Mu</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>Di</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (Di) = \alpha (Di - u) </tex> и по теореме 2.12 мы получаем, что граф <tex>Di</tex> - фактор-критический.
 
2) Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U1,{...},Un</tex>- компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in Ui </tex>существует максимальное паросочетание <tex>Mu</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>Ui</tex> -  компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>Mu</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>Di</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (Di) = \alpha (Di - u) </tex> и по теореме 2.12 мы получаем, что граф <tex>Di</tex> - фактор-критический.
  
3) Пусть M - максимальное паросочетание графа G, а M' получено
+
3) Пусть <tex>M</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрамию Так как <tex>M'</tex> - максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D1,{...},Dn</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U1,{...},Un</tex>.  
из M удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества A. Тогда
+
4) Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).
|M'| |M| |A| и по формуле α(G A) = α(G) |A| понятно, что M' - максимальное
 
паросочетание графа G A. Более того, из α(G A) = α(G) |A| следует |M'| = |M||A|, а значит, все вершины множества A покрыты в M различными рёбрамию Так как M' - максимальное паросочетание графа G - A, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что M' содержит совершенное паросочетание графа C и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов D1,...,Dn. Значит, рёбра паросочетания M соединяют вершины A с непокрытыми M' вершинами различных компонент
 
связности из U1,...,Un.  
 
4) Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4
 
  
  

Версия 16:48, 15 декабря 2013

Определение:
[math]o(G-U)[/math] - количество компонент связности нечетного размера в [math] G[V-U][/math].


Теорема (Татта-Бержа):
дан граф [math]G[/math], размер максимального паросочетания в нем [math]v(G)[/math] равен: [math]v(G) = min(U in V)1/2(|V|-|U|-o(G-U)) [/math]


Определение:
множество U, на котором достигается минимум в формуле Татта-Баржа назовем множеством свидетелей.


Утверждение:
выполняется следующее:
  • все вершины из U покрыты любим максимальным паросочетанием в G
  • если K - множество вершин компоненты G-U, тогда любое максимальное паросочетание в G покрывает как минимум половину вершин в K. В частности, каждая вершина в четной компоненте покрыта любым максимальным паросочетанием.
Утверждение:
если U - не пустое множество свидетелей Татта-Бержа для графа G, тогда в G есть вершины, которые входят в любое максимальное паросочетание.


Определение:
граф G = (V, E) называется фактор-критическим, если в нем нем полного паросочетания, но для каждой вершины v из V граф G-v имеет полное.


Теорема:
граф G факторо-критический тогда и только тогда, когда для каждой вершины v из V существует максимальное паросочетание в G, которое не покрывает вершину v.
Утверждение:
пусть C - цикл нечетной длины в G. Если граф G/С, полученный сжатием C в одну вершину, фактор-критический, то и G - фактор-критический.

Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Определение:
необходимые определения:
  • [math]D(G) = \{v \in V |[/math] существует максимальное паросочетание, не покрывающее [math] v\}[/math]
  • [math]A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)[/math]
  • [math]C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )[/math]
  • [math] \alpha (G) [/math] - размер максимального паросочетания в [math]G[/math]


Лемма ((Галлаи, о стабильности)):
пусть [math] a \in A(G).[/math] Тогда:
  • [math]D(G - a) = D(G)[/math]
  • [math]A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}[/math]
  • [math]C(G - a) = C(G)[/math]
  • [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
много-много и с картинками. :(
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
пусть дан граф G = (V, E).


тогда:
1) [math] U = A(G) [/math] - множество свидетелей Татта-Бержа
2) [math]С(G) [/math] - объединение всех четных компонент [math]G - A(G)[/math]
3) [math]D(G) [/math] - объединение всех нечетных компонент [math]G - A(G)[/math]

4) каждая компонента в [math] G - A(G)[/math] - фактор-критическая
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Последовательно удаляя вершины множества[math] A = A(G)[/math], по лемме о стабильности мы получим:

  • [math]D(G - A) = D(G),[/math]
  • [math]A(G - A) = \O, [/math]
  • [math]C(G - A) = C(G),[/math]
  • [math]\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.[/math]

Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из [math]C(G - A)[/math] и [math]D(G - A)[/math]. Каждое максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math]G - A[/math] покрывает все вершины множества [math]C(G)[/math], поэтому [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math]. Тем самым, мы доказали пункт 1).

2) Из формулы [math] \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует, что [math]U1,{...},Un[/math]- компоненты связности графа [math]G - A[/math]. Для любой вершины [math]u \in Ui [/math]существует максимальное паросочетание [math]Mu[/math] графа [math]G - A[/math], не содержащее [math]u[/math]. Так как [math]Ui[/math] - компонента связности графа [math]G - A[/math], паросочетание [math]Mu[/math] содержит максимальное паросочетание графа [math]Di[/math] (разумеется, не покрывающее вершину [math]u[/math]). Следовательно, [math] \alpha (Di) = \alpha (Di - u) [/math] и по теореме 2.12 мы получаем, что граф [math]Di[/math] - фактор-критический.

3) Пусть [math]M[/math] - максимальное паросочетание графа [math]G[/math], а [math]M'[/math] получено из [math]M[/math] удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества [math]A[/math]. Тогда [math]|M'| \ge |M| - |A|[/math] и по формуле [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] понятно, что [math]M'[/math] - максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math]. Более того, из [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует [math]|M'| = |M| - |A|[/math], а значит, все вершины множества [math]A[/math] покрыты в [math]M[/math] различными рёбрамию Так как [math]M'[/math] - максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math], то по пунктам 1) и 2) очевидно, что [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math] и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов [math]D1,{...},Dn[/math]. Значит, рёбра паросочетания [math]M[/math] соединяют вершины [math]A[/math] с непокрытыми [math]M'[/math] вершинами различных компонент связности из [math]U1,{...},Un[/math].

4) Из пункта 3) сразу же следуют оба равенства пункта 4).
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие из теоремы):
граф G фактор-критический тогда и только тогда, когда U не пусто и U - единственное множество свидетелей Татта-Бержа для G