Декомпозиция Эдмондса-Галлаи — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (правки)
м (правки)
Строка 20: Строка 20:
 
|statement=
 
|statement=
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
 
Дан граф <tex>G</tex>, размер максимального паросочетания в нем равен:<br>
<tex>\mathrm{ \alpha} (G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|-|U|-\mathrm{odd}(G-U)\}. </tex>
+
<tex>\mathrm{\alpha}(G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|+|U|-\mathrm{odd}(G - U)\}. </tex>
 +
|proof=
 +
Предположим <tex>G</tex> {{---}} связный (формула аддитивности). Докажем по индукции для количества вершин. <br>
 +
База: одна вершина {{---}} тривиально. <br>
 +
Шаг (рассмотрим два случая):
 +
# <tex>G</tex> {{---}} содержит вершину <tex>v</tex> покрытую всеми максимальными паросочетаниями (например средняя вершина)
 +
#: Тогда <tex> \mathrm{\alpha}(G - v) = \mathrm{\alpha}(G) - 1 </tex>.
 +
#: По индукции, формула Тутта-Бердже содержит <tex>G - v</tex> для некоторого множества  <tex>U'</tex>.
 +
#: Пусть <tex>U = U' \bigcup v</tex>. Тогда:
 +
#: <tex> \mathrm{\alpha}(G) = \mathrm{\alpha}(G - v) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V - v|+|U - v| - \mathrm{odd}(G - v - (U - v))) + 1 = </tex>
 +
#: <tex> = \dfrac{1}{2}(|V| - 1 + |U|- 1 - \mathrm{odd}(G - U)) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V|+|U| - \mathrm{odd}(G - U)). </tex>
 +
#:
 +
# Для каждой вершины <tex>v</tex> есть максимальное паросочетание <tex>M</tex> которое не покрывает <tex>v</tex> (например <tex>C_3</tex>)
 
}}
 
}}
 
 
{{Определение  
 
{{Определение  
 
|definition=
 
|definition=
Строка 92: Строка 103:
 
|about = Галлаи, Эдмондс
 
|about = Галлаи, Эдмондс
 
|statement=
 
|statement=
Пусть G {{---}} граф, <tex>U_1,{...},U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. тогда:
+
Пусть <tex>G</tex> {{---}} граф, <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G(D(G))</tex>, <tex>D_i = G(U_i), C = G(C(G))</tex>. Тогда:
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
 
# Граф <tex>C</tex> имеет совершенное паросочетание.<br>
# Графы <tex>D_1,{...},D_n</tex> {{---}} фактор-критические. <br>
+
# Графы <tex>D_1\ldots D_n</tex> {{---}} фактор-критические. <br>
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex> G </tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex> C </tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex> D_1,{...},D_n </tex> и покрывает все вершины множества <tex> A(G) </tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex> U_1,{...},U_n. </tex> <br>
+
# Любое максимальное паросочетание <tex>M</tex> графа <tex> G </tex> состоит из совершенного паросочетания графа <tex> C </tex>, почти совершенных паросочетаний графов <tex> D_1\ldots D_n </tex> и покрывает все вершины множества <tex> A(G) </tex> рёбрами с концами в различных компонентах связности <tex> U_1\ldots U_n. </tex> <br>
 
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.</tex> <br>
 
# <tex>\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.</tex> <br>
 
# <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
 
# <tex>2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n</tex>.
Строка 108: Строка 119:
 
#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт 1).
 
#:Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из <tex>C(G - A)</tex> и <tex>D(G - A)</tex>. Каждое максимальное паросочетание <tex>M'</tex> графа <tex>G - A</tex> покрывает все вершины множества <tex>C(G)</tex>, поэтому <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex>. Тем самым, мы доказали пункт 1).
 
#:
 
#:
# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1,{...},U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи (выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{---}} фактор-критический.
+
# Из формулы <tex> \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует, что <tex>U_1\ldots U_n</tex> {{---}} компоненты связности графа <tex>G - A</tex>. Для любой вершины <tex>u \in U_i</tex> существует максимальное паросочетание <tex>M_u</tex> графа <tex>G - A</tex>, не содержащее <tex>u</tex>. Так как <tex>U_i</tex> {{---}} компонента связности графа <tex>G - A</tex>, паросочетание <tex>M_u</tex> содержит максимальное паросочетание графа <tex>D_i</tex> (разумеется, не покрывающее вершину <tex>u</tex>). Следовательно, <tex> \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) </tex> и по теореме Галлаи (выше) мы получаем, что граф <tex>D_i</tex> {{---}} фактор-критический.
 
#:
 
#:
# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \ge |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1,{...},D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1,{...},U_n</tex>.  
+
# Пусть <tex>M</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G</tex>, а <tex>M'</tex> получено из <tex>M</tex> удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества <tex>A</tex>. Тогда <tex>|M'| \geqslant |M| - |A|</tex> и по формуле <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> понятно, что <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>. Более того, из <tex> \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|</tex> следует <tex>|M'| = |M| - |A|</tex>, а значит, все вершины множества <tex>A</tex> покрыты в <tex>M</tex> различными рёбрами. Так как <tex>M'</tex> {{---}} максимальное паросочетание графа <tex>G - A</tex>, то по пунктам 1) и 2) очевидно, что <tex>M'</tex> содержит совершенное паросочетание графа <tex>C</tex> и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов <tex>D_1\ldots D_n</tex>. Значит, рёбра паросочетания <tex>M</tex> соединяют вершины <tex>A</tex> с непокрытыми <tex>M'</tex> вершинами различных компонент связности из <tex>U_1\ldots U_n</tex>.  
 
# Из пункта 3) сразу же следуют равенства пункта 4) и 5).
 
# Из пункта 3) сразу же следуют равенства пункта 4) и 5).
 
}}
 
}}

Версия 19:15, 23 января 2016

В этом направлении много усилий приложили Вильям Томас Татт (William Thomas Tutte), Клауд Берж (Claude Brege), Джек Эдмондс (Jack Edmonds) и Тибор Галлаи (Tibor Gallai).

Определение:
Дефицитом (англ. deficit) графа [math]G[/math] мы будем называть величину:

[math]\mathrm{def}(G) = |V| - 2\alpha (G)[/math],
где [math]\alpha (G)[/math] — размер максимального паросочетания в [math]G[/math], а

[math]V(G)[/math] — множество вершин графа [math]G. [/math]


Теорема (Бержа):
Для любого графа [math]G[/math] выполняется:
[math]\mathrm{def}(G) = \max\limits_{S \subset V(G)} \{\mathrm{odd}(G - S) - |S|\}. [/math]


Теорема (Татта-Бержа):
Дан граф [math]G[/math], размер максимального паросочетания в нем равен:
[math]\mathrm{\alpha}(G) = \min\limits_{U \in V} \{\dfrac{1}{2}(|V|+|U|-\mathrm{odd}(G - U)\}. [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим [math]G[/math] — связный (формула аддитивности). Докажем по индукции для количества вершин.
База: одна вершина — тривиально.
Шаг (рассмотрим два случая):

  1. [math]G[/math] — содержит вершину [math]v[/math] покрытую всеми максимальными паросочетаниями (например средняя вершина)
    Тогда [math] \mathrm{\alpha}(G - v) = \mathrm{\alpha}(G) - 1 [/math].
    По индукции, формула Тутта-Бердже содержит [math]G - v[/math] для некоторого множества [math]U'[/math].
    Пусть [math]U = U' \bigcup v[/math]. Тогда:
    [math] \mathrm{\alpha}(G) = \mathrm{\alpha}(G - v) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V - v|+|U - v| - \mathrm{odd}(G - v - (U - v))) + 1 = [/math]
    [math] = \dfrac{1}{2}(|V| - 1 + |U|- 1 - \mathrm{odd}(G - U)) + 1 = \dfrac{1}{2}(|V|+|U| - \mathrm{odd}(G - U)). [/math]
  2. Для каждой вершины [math]v[/math] есть максимальное паросочетание [math]M[/math] которое не покрывает [math]v[/math] (например [math]C_3[/math])
[math]\triangleleft[/math]
Определение:
Множество [math]S \subset V (G)[/math], для которого [math]\mathrm{odd}(G - S) - |S| = \mathrm{def}(G) [/math], называется барьером (англ. barrier).


Определение:
Пусть [math]X \subset V [/math]. Множeство соседей (англ. neighbors) [math]X[/math] определим формулой: [math]N(X)= \{ y \in V:(x,y) \in E \}[/math]


Структурная теорема Эдмондса-Галлаи

Определение:
Необходимые определения:
Пример. Рёбра из паросочетания выделены красным
  1. [math]D(G) = \{v \in V \mid [/math] существует максимальное паросочетание, не покрывающее [math] v\}[/math]
  2. [math]A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)[/math]
  3. [math]C(G) = V \setminus(D(G) \bigcup A(G))[/math]
  4. [math] \alpha (G) [/math] — размер максимального паросочетания в [math] G. [/math]


Определение:
Граф [math]G[/math] называется фактор-критическим (англ. factor-critical graph), если для любой вершины [math]v \in G[/math] в графе [math]G \setminus {v}[/math] существует совершенное паросочетание.


Теорема (Галлаи):
[math]G[/math] — фактор-критический граф [math] \Leftrightarrow [/math]
[math]G[/math] — связен и для любой вершины [math]u \in V(G) [/math] выполняется равенство [math] \alpha (G - u) = \alpha (G)[/math].


Лемма (Галлаи, о стабильности (англ. stability lemma)):
Пусть [math] a \in A(G).[/math] Тогда:
  1. [math]D(G - a) = D(G)[/math]
  2. [math]A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}[/math]
  3. [math]C(G - a) = C(G)[/math]
  4. [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Достаточно доказать, что [math]D(G - a) = D(G)[/math].

Случай а
Случай b
Случай c
  1. покажем, что [math]D(G - a) \supset D(G)[/math] :
    Пусть [math]u \in D(G)[/math]. Тогда существует максимальное паросочетание [math]M_u[/math] графа [math]G[/math], не покрывающее [math]u[/math]. Поскольку любое максимальное паросочетание графа [math]G[/math] покрывает [math]a[/math], то [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1 [/math] и более того, если, для некоторой вершины [math]x \in D(G)[/math], [math]ax \in M_u[/math], то [math]M_u \setminus {ax} [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G - a [/math], не покрывающее [math] u [/math]. Таким образом, [math]D(G - a) \supset D(G) [/math].
  2. покажем, что [math] D(G - a) \subset D(G)[/math]:

Предположим, что существует максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math] G - a[/math], не покрывающее вершину [math]v[/math] [math] \notin D(G)[/math]. Пусть [math] w \in D(G) [/math] — смежная с [math] a \in A(G)[/math] вершина, а [math] M_w [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G [/math], не покрывающее [math] w [/math]. Так как [math]v[/math] [math] \notin D(G) [/math], максимальное паросочетание [math] M_w [/math] покрывает вершину [math]v[/math]. Рассмотрим граф [math] H = G(M_w \bigcup M') [/math] — очевидно, он является объединением нескольких путей и чётных циклов. Пусть [math] U [/math] — компонента связности графа [math] H [/math], содержащая [math]v[/math]. Так как [math] deg_H(v) = 1 [/math] (степень вершины), то [math] P = H(U) [/math] — путь с началом в вершине [math]v[/math]. В пути [math]P[/math] чередуются рёбра из [math] M_w[/math] и [math]M' [/math], причём начинается путь ребром из [math]M_w [/math]. Так как [math] deg_H(a) = 1 [/math], то вершина a либо не принадлежит пути [math]P[/math], либо является её концом (в этом случае последнее ребро пути принадлежит паросочетанию [math] M_w[/math]). Рассмотрим несколько случаев:

a. Путь [math]P[/math] кончается ребром из [math] M'[/math] (см. рисунок)
Рассмотрим паросочетание [math]M_v = M_w \oplus E(P)[/math] (симметрическая разность [math] M_w[/math] и [math]E(P)[/math]. то есть, рёбра, входящие ровно в одно из двух множеств). Очевидно, [math]M_v[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G[/math], не покрывающее [math]v[/math], поэтому [math] v \in D(G)[/math], противоречие.

b. Путь [math]P[/math] кончается ребром из [math] M_w[/math], вершина [math]a[/math] — конец пути [math]P[/math]. (см.рисунок)
Рассмотрим паросочетание [math]M_v∗ = (M_w \oplus E(P)) \bigcup \{aw\} [/math]. Тогда [math] M_v∗ [/math] — максимальное паросочетание графа [math] G [/math], не покрывающее [math] v [/math], поэтому [math] v \in D(G) [/math], противоречие.

c. Путь [math] P [/math] кончается ребром из [math] M_w, a \in V(P) [/math] (см. рисунок) Рассмотрим паросочетание [math] M'' = M \oplus E(P) [/math]. Тогда [math] |M''| = |M'| + 1 [/math], причём [math]M'' \subset E(G - a)[/math]. Противоречие с максимальностью паросочетания [math]M'[/math].

Таким образом, наше предположение невозможно и [math]D(G - a) \subset D(G)[/math].

А значит, [math]D(G - a) = D(G)[/math].
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (Галлаи, Эдмондс):
Пусть [math]G[/math] — граф, [math]U_1\ldots U_n[/math] — компоненты связности графа [math]G(D(G))[/math], [math]D_i = G(U_i), C = G(C(G))[/math]. Тогда:
  1. Граф [math]C[/math] имеет совершенное паросочетание.
  2. Графы [math]D_1\ldots D_n[/math] — фактор-критические.
  3. Любое максимальное паросочетание [math]M[/math] графа [math] G [/math] состоит из совершенного паросочетания графа [math] C [/math], почти совершенных паросочетаний графов [math] D_1\ldots D_n [/math] и покрывает все вершины множества [math] A(G) [/math] рёбрами с концами в различных компонентах связности [math] U_1\ldots U_n. [/math]
  4. [math]\mathrm{def}(G) = n - |A(G)|.[/math]
  5. [math]2\mathrm{\alpha}(G) = v(G) + |A(G)| - n[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пример
  1. Последовательно удаляя вершины множества [math]A = A(G)[/math], по лемме о стабильности мы получим:
    • [math]D(G - A) = D(G),[/math]
    • [math]A(G - A) = \O, [/math]
    • [math]C(G - A) = C(G),[/math]
    • [math]\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.[/math]
    Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из [math]C(G - A)[/math] и [math]D(G - A)[/math]. Каждое максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math]G - A[/math] покрывает все вершины множества [math]C(G)[/math], поэтому [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math]. Тем самым, мы доказали пункт 1).
  2. Из формулы [math] \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует, что [math]U_1\ldots U_n[/math] — компоненты связности графа [math]G - A[/math]. Для любой вершины [math]u \in U_i[/math] существует максимальное паросочетание [math]M_u[/math] графа [math]G - A[/math], не содержащее [math]u[/math]. Так как [math]U_i[/math] — компонента связности графа [math]G - A[/math], паросочетание [math]M_u[/math] содержит максимальное паросочетание графа [math]D_i[/math] (разумеется, не покрывающее вершину [math]u[/math]). Следовательно, [math] \alpha (D_i) = \alpha (D_i - u) [/math] и по теореме Галлаи (выше) мы получаем, что граф [math]D_i[/math] — фактор-критический.
  3. Пусть [math]M[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G[/math], а [math]M'[/math] получено из [math]M[/math] удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества [math]A[/math]. Тогда [math]|M'| \geqslant |M| - |A|[/math] и по формуле [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] понятно, что [math]M'[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math]. Более того, из [math] \alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует [math]|M'| = |M| - |A|[/math], а значит, все вершины множества [math]A[/math] покрыты в [math]M[/math] различными рёбрами. Так как [math]M'[/math] — максимальное паросочетание графа [math]G - A[/math], то по пунктам 1) и 2) очевидно, что [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math] и почти совершенные паросочетания фактор-критических графов [math]D_1\ldots D_n[/math]. Значит, рёбра паросочетания [math]M[/math] соединяют вершины [math]A[/math] с непокрытыми [math]M'[/math] вершинами различных компонент связности из [math]U_1\ldots U_n[/math].
  4. Из пункта 3) сразу же следуют равенства пункта 4) и 5).
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие из теоремы):
[math]A(G)[/math]барьер графа [math]G[/math]

См. также

Источники информации