Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Материал из Викиконспекты
Версия от 16:34, 15 декабря 2013; 194.85.161.2 (обсуждение) (Декомпозиция Эдмондса-Галлаи)
Перейти к: навигация, поиск
Определение:
[math]o(G-U)[/math] - количество компонент связности нечетного размера в [math] G[V-U][/math].


Теорема (Татта-Бержа):
дан граф [math]G[/math], размер максимального паросочетания в нем [math]v(G)[/math] равен: [math]v(G) = min(U in V)1/2(|V|-|U|-o(G-U)) [/math]


Определение:
множество U, на котором достигается минимум в формуле Татта-Баржа назовем множеством свидетелей.


Утверждение:
выполняется следующее:
  • все вершины из U покрыты любим максимальным паросочетанием в G
  • если K - множество вершин компоненты G-U, тогда любое максимальное паросочетание в G покрывает как минимум половину вершин в K. В частности, каждая вершина в четной компоненте покрыта любым максимальным паросочетанием.
Утверждение:
если U - не пустое множество свидетелей Татта-Бержа для графа G, тогда в G есть вершины, которые входят в любое максимальное паросочетание.


Определение:
граф G = (V, E) называется фактор-критическим, если в нем нем полного паросочетания, но для каждой вершины v из V граф G-v имеет полное.


Теорема:
граф G факторо-критический тогда и только тогда, когда для каждой вершины v из V существует максимальное паросочетание в G, которое не покрывает вершину v.
Утверждение:
пусть C - цикл нечетной длины в G. Если граф G/С, полученный сжатием C в одну вершину, фактор-критический, то и G - фактор-критический.

Декомпозиция Эдмондса-Галлаи

Определение:
необходимые определения:
  • [math]D(G) = \{v \in V |[/math] существует максимальное паросочетание, не покрывающее [math] v\}[/math]
  • [math]A(G) = N(D(G)) \setminus D(G)[/math]
  • [math]C(G) = V \setminus( D(G) \bigcup A(G) )[/math]
  • [math] \alpha (G) [/math] - размер максимального паросочетания в [math]G[/math]


Лемма ((Галлаи, о стабильности)):
пусть [math] a \in A(G).[/math] Тогда:
  • [math]D(G - a) = D(G)[/math]
  • [math]A(G - a) = A(G) \setminus \{a\}[/math]
  • [math]C(G - a) = C(G)[/math]
  • [math] \alpha (G - a) = \alpha (G) - 1.[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
много-много и с картинками. :(
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
пусть дан граф G = (V, E).


тогда:

  • [math] U = A(G) [/math] - множество свидетелей Татта-Бержа
  • [math]С(G) [/math] - объединение всех четных компонент [math]G - A(G)[/math]
  • [math]D(G) [/math] - объединение всех нечетных компонент [math]G - A(G)[/math]
  • каждая компонента в [math] G - A(G)[/math] - фактор-критическая
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

1) Последовательно удаляя вершины множества[math] A = A(G)[/math], по лемме о стабильности мы получим:

  • [math]D(G - A) = D(G),[/math]
  • [math]A(G - A) = \O, [/math]
  • [math]C(G - A) = C(G),[/math]
  • [math]\alpha (G - A) = \alpha (G) - |A|.[/math]

Это означает, что не существует рёбер, соединяющих вершины из [math]C(G - A)[/math] и [math]D(G - A)[/math]. Каждое максимальное паросочетание [math]M'[/math] графа [math]G - A[/math] покрывает все вершины множества [math]C(G)[/math], поэтому [math]M'[/math] содержит совершенное паросочетание графа [math]C[/math]. Тем самым, мы доказали пункт 1).

2) Из формулы [math] \alpha(G - A) = \alpha (G) - |A|[/math] следует, что [math]U1,{...},Un[/math]- компоненты связности графа [math]G - A[/math]. Для любой вершины [math]u \in Ui [/math]существует максимальное паросочетание [math]Mu[/math] графа [math]G - A[/math], не содержащее [math]u[/math]. Так как [math]Ui[/math] - компонента связности графа [math]G - A[/math], паросочетание [math]Mu[/math] содержит максимальное паросочетание графа [math]Di[/math] (разумеется, не покрывающее вершину [math]u[/math]). Следовательно, [math] \alpha (Di) = \alpha (Di - u) [/math] и по теореме 2.12 мы получаем, что граф [math]Di[/math] - фактор-критический.

3) Пусть M - максимальное паросочетание графа G, а M' получено

из M удалением всех рёбер, инцидентных вершинам множества A. Тогда
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение (следствие из теоремы):
граф G фактор-критический тогда и только тогда, когда U не пусто и U - единственное множество свидетелей Татта-Бержа для G