Дерево, эквивалентные определения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определения)
(Доказательство эквивалентности)
Строка 34: Строка 34:
 
* <tex> 4 \Rightarrow 5 </tex> <tex>G</tex> — ациклический граф, значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то <tex> p = q + k </tex>, где <tex>k</tex> — число [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]]. Поскольку <tex> p = q + k </tex>, то <tex> k = 1 </tex>, а значит <tex>G</tex> — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.
 
* <tex> 4 \Rightarrow 5 </tex> <tex>G</tex> — ациклический граф, значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то <tex> p = q + k </tex>, где <tex>k</tex> — число [[Отношение связности, компоненты связности|компонент связности]]. Поскольку <tex> p = q + k </tex>, то <tex> k = 1 </tex>, а значит <tex>G</tex> — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.
  
* <tex> 5 \Rightarrow 6 </tex> Поскольку <tex> K_p </tex> для <tex> p \ge 3 </tex> содержит простой цикл, то <tex>G</tex> не может им являться. <tex>G</tex> связен,  так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.
+
* <tex> 5 \Rightarrow 6 </tex> Поскольку <tex> K_p </tex> для <tex> p > 3 </tex> содержит простой цикл, то <tex>G</tex> не может им являться. <tex>G</tex> связен,  так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.
  
* <tex> 6 \Rightarrow 7 </tex> Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex>, получим <tex> p = q + 1 </tex>. Любые две вершины соединены простой цепью, так как <tex>G</tex>  — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться <tex> K_3 </tex>, так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. <tex> K_3 </tex> является собственным подграфом <tex>G</tex>, поскольку <tex>G</tex> не является <tex> K_p </tex> для <tex> p \ge 3 </tex>. <tex>G</tex> — связен, а значит есть вершина смежная с <tex> K_3 </tex>. Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф <tex>G</tex> является <tex>K_p</tex> для <tex> p \ge 3 </tex>, и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, что и требовалось.
+
* <tex> 6 \Rightarrow 7 </tex> Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку <tex> 2 \Rightarrow 3 </tex>, получим <tex> p = q + 1 </tex>. Любые две вершины соединены простой цепью, так как <tex>G</tex>  — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться <tex> K_3 </tex>, так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. <tex> K_3 </tex> является собственным подграфом <tex>G</tex>, поскольку <tex>G</tex> не является <tex> K_p </tex> для <tex> p > 3 </tex>. <tex>G</tex> — связен, а значит есть вершина смежная с <tex> K_3 </tex>. Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф <tex>G</tex> является <tex>K_p</tex> для <tex> p > 3 </tex>, и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, что и требовалось.
  
 
* <tex> 7 \Rightarrow 1 </tex> Если <tex>G</tex> имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой <tex>K_3</tex> по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения <tex> p = q + 1 </tex> должно быть не более одной компоненты отличной от <tex>K_3</tex>, так как в <tex>K_3</tex> <tex> p = q = 3 </tex>. Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в <tex>G</tex> можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является <tex>K_1</tex> или <tex>K_2</tex>. Значит <tex>G</tex> является <tex>K_3 \cup K_1</tex> или <tex>K_3 \cup K_2</tex>, которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если <tex>G</tex> ациклический и <tex> p = q + 1 </tex>, то из <tex> 4 \Rightarrow 5 </tex> и <tex> 5 \Rightarrow 6 </tex> верно, что <tex>G</tex>  — связен. В итоге получаем, что <tex>G</tex> является деревом по определению.
 
* <tex> 7 \Rightarrow 1 </tex> Если <tex>G</tex> имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой <tex>K_3</tex> по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения <tex> p = q + 1 </tex> должно быть не более одной компоненты отличной от <tex>K_3</tex>, так как в <tex>K_3</tex> <tex> p = q = 3 </tex>. Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в <tex>G</tex> можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является <tex>K_1</tex> или <tex>K_2</tex>. Значит <tex>G</tex> является <tex>K_3 \cup K_1</tex> или <tex>K_3 \cup K_2</tex>, которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если <tex>G</tex> ациклический и <tex> p = q + 1 </tex>, то из <tex> 4 \Rightarrow 5 </tex> и <tex> 5 \Rightarrow 6 </tex> верно, что <tex>G</tex>  — связен. В итоге получаем, что <tex>G</tex> является деревом по определению.

Версия 22:18, 20 октября 2016

Определение:
Дерево (англ. tree) — связный ациклический граф.

Пример дерева



Определение:
Лес (англ. forest) — граф, являющийся набором непересекающихся деревьев.

Примеры леса

Определения

Для графа [math]G[/math] эквивалентны следующие утверждения:

  1. [math]G[/math] — дерево
  2. Любые две вершины графа [math]G[/math] соединены единственным простым путем
  3. [math]G[/math] — связен и [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
  4. [math]G[/math] — ацикличен и [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер
  5. [math]G[/math] — ацикличен и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл
  6. [math]G[/math] — связный граф, отличный от [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math], а также при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл
  7. [math]G[/math] — граф, отличный от [math] K_3 \cup K_1 [/math] и [math] K_3 \cup K_2 [/math], а также [math] p = q + 1 [/math], где [math]p[/math] — количество вершин, а [math]q[/math] количество ребер, и при добавлении любого ребра для несмежных вершин появляется один простой цикл

Доказательство эквивалентности

  • [math] 1 \Rightarrow 2 [/math] Граф связен, поэтому любые две вершнины соединены путем. Граф ацикличен, значит путь единственен, а также прост, поскольку никакой путь не может зайти в одну вершину два раза, потому что это противоречит ацикличности.
  • [math] 2 \Rightarrow 3 [/math] Очевидно, что граф связен. Докажем по индукции, соотношение [math]p = q + 1[/math]. Утверждение очевидно для связных графов с одной и двумя вершинами. Предположим, что оно верно для графов, имеющих меньше [math]p[/math] вершин. Если же граф [math]G[/math] имеет [math]p[/math] вершин, то удаление из него любого ребра делает граф [math] G [/math] несвязным в силу единственности простых цепей; более того, получаемый граф будет иметь в точности две компоненты. По предположению индукции в каждой компоненте число вершин на единицу больше числа ребер. Таким образом, [math] p = q + 1 [/math].
  • [math] 3 \Rightarrow 4 [/math] Очевидно, что если граф связен и ребер на одно меньше, чем вершин, то он ацикличен. Преположим, что у нас есть p вершин, и мы добавляем ребра. Если мы добавили ребро для получения цикла, то добавили второй путь между парой вершин, а значит нам не хватит его на добавление вершины и мы получим не связный граф, что противоречит условию.
  • [math] 4 \Rightarrow 5 [/math] [math]G[/math] — ациклический граф, значит каждая компонента связности графа является деревом. Так как в каждой из них вершин на единицу больше чем ребер, то [math] p = q + k [/math], где [math]k[/math] — число компонент связности. Поскольку [math] p = q + k [/math], то [math] k = 1 [/math], а значит [math]G[/math] — связен. Таким образом наш граф — дерево, у которого между любой парой вершин есть единственный простой путь. Очевидно, при добавлении ребра появится второй путь между парой вершин, то есть мы получим цикл.
  • [math] 5 \Rightarrow 6 [/math] Поскольку [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math] содержит простой цикл, то [math]G[/math] не может им являться. [math]G[/math] связен, так как в ином случае можно было бы добавить ребро так, что граф остался бы ациклическим.
  • [math] 6 \Rightarrow 7 [/math] Докажем, что любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, а тогда поскольку [math] 2 \Rightarrow 3 [/math], получим [math] p = q + 1 [/math]. Любые две вершины соединены простой цепью, так как [math]G[/math] — связен. Если две вершины соединены более чем одной простой цепью, то мы получим цикл. Причем он должен являться [math] K_3 [/math], так как иначе добавив ребро, соединяющее две вершины цикла, мы получим более одного простого цикла, что противоречит условию. [math] K_3 [/math] является собственным подграфом [math]G[/math], поскольку [math]G[/math] не является [math] K_p [/math] для [math] p \gt 3 [/math]. [math]G[/math] — связен, а значит есть вершина смежная с [math] K_3 [/math]. Очевидно, можно добавить ребро так, что образуется более одного простого цикла. Если нельзя добавить ребра так, чтобы не нарушалось исходное условие, то граф [math]G[/math] является [math]K_p[/math] для [math] p \gt 3 [/math], и мы получаем противоречие с исходным условием. Значит, любые две вершины графа соединены единственной простой цепью, что и требовалось.
  • [math] 7 \Rightarrow 1 [/math] Если [math]G[/math] имеет простой цикл, то он является отдельной компонентой [math]K_3[/math] по ранее доказанному. Все остальные компоненты должны быть деревьями, но для выполнения соотношения [math] p = q + 1 [/math] должно быть не более одной компоненты отличной от [math]K_3[/math], так как в [math]K_3[/math] [math] p = q = 3 [/math]. Если это дерево содержит простой путь длины 2, то в [math]G[/math] можно добавить ребро так, что образуются два простых цикла. Следовательно, этим деревом является [math]K_1[/math] или [math]K_2[/math]. Значит [math]G[/math] является [math]K_3 \cup K_1[/math] или [math]K_3 \cup K_2[/math], которые мы исключили из рассмотрения. Значит наш граф ацикличен. Если [math]G[/math] ациклический и [math] p = q + 1 [/math], то из [math] 4 \Rightarrow 5 [/math] и [math] 5 \Rightarrow 6 [/math] верно, что [math]G[/math] — связен. В итоге получаем, что [math]G[/math] является деревом по определению.

Литература