Изменения

Для изменения пересчёта дерева Фенвика при изменении величины <tex>a_{k}</tex> необходимо изменить элементы дерева <tex>T_{i}</tex>, для индексов <tex>i</tex> которых верно неравенство <tex>F(i) \leqslant k \leqslant i</tex> .

|statement= Все такие <tex> i </tex> , для которых меняется <tex>T_i</tex> при изменении <tex>a_k</tex>, можно найти по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>, где <tex> \mid </tex> — это операция побитового логического <tex> OR </tex>.|proof=Из доказанной выше леммы следует, что первый элемент последовательности само <tex> k </tex>. Для него выполняется равенство, так как <tex> F(i) \leqslant i </tex>. По формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> мы заменим первый ноль на единицу. Неравенство при этом сохранится, так как <tex>F(i)</tex> осталось прежним или уменьшилось, а <tex> i </tex> увеличилось. <tex> F(i) </tex> не может увеличитсяувеличиться, так как функция <tex> F </tex> заменяет последние подряд идущие единицы числа <tex> i </tex> на нули, а по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex> у нового значения <tex> i </tex> увеличивается количество единиц в конце, что не может привести к увеличению <tex> F(i) </tex>. ПокажемДокажем от противного, почему не стоит что нельзя рассматривать значения <tex> i </tex>, отличные от тех, которые мы получили по формуле. Рассмотрим такое число две различные последовательности индексов. Первая последовательность получена по формуле, вторая — некоторая последовательность чисел превосходящих <tex> j k</tex>, которое больше . Возьмём число <tex>kj </tex>из второй последовательности, которого нет в первой последовательности. Пусть <tex>F(j) \leqslant k </tex>. Уберём у <tex>j</tex> все подряд идущие единицы в конце двоичной записи, столько же цифр уберём в конце числа <tex>k</tex>. Обозначим их как <tex>j_{0}</tex> и <tex>k_{0}</tex>. Чтобы выполнялось условие <tex>F(j) \leqslant k </tex>, должно выполняться неравенство <tex>j_{0} \leqslant k_{0}</tex>. Но если <tex>j_{0} < k_{0}</tex>, то и <tex>j \leqslant k</tex>, что противоречит условию <tex>j > k</tex>. Значит, <tex>j_{0} = k_{0}</tex>. Но тогда <tex>j</tex> возможно получить по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>. Получили противоречие, следовательно, <tex>F(j) > k </tex>. Получили противоречие: <tex>j</tex> можно вычислить по формуле, а это значит, что оно содержится в первой последовательности. Таким образом, нужные элементы можно искать по формуле <tex>i_{next} = i_{prev} \mid (i_{prev} + 1) </tex>.}}

Заметим, что <tex>F(i)</tex> возрастает немонотонно. Поэтому нельзя просто перебирать значения от <tex> k </tex>, пока не нарушается условие. Например, при пусть <tex> k = 3 </tex> . При данной стратегии на следующем шаге (<tex> i = 4 </tex>), нарушится условие и мы прекратим пересчитывать <tex> T_i </tex>. Но тогда мы упускаем остальные значения <tex>i</tex>, например <tex> 7 </tex>.

|style="background-color:#EEE;padding:2px 30px"| <tex>\i_{prev}</tex>

Напишем функцию, которая будет прибавлять к элементу <tex>a_i</tex> число <tex>d</tex>, и при этом меняет соответствующие частичные суммы. Так как наш массив содержит <tex>N</tex> элементов, то мы будем искать <tex>i_{next}</tex> до тех пор, пока оно не превышает значение <tex>N</tex>.

Часто можно встретить задачу, где требуется заменить значение элемента <tex>a_i</tex> на <tex>tx</tex>. Заметим, что если вычислить разность <tex>tx</tex> и <tex>a_{i}</tex>, то можно свести эту задачу к операции прибавления <tex>d</tex> к <tex>a_i</tex>.

'''function''' set(i, tx): d = t x - a[i]; a[i] = x

Обозначим <tex> G_i = \mathrm {sum(i) } = \sum\limits_{k = 0}^{i} a_k </tex>. Тогда <tex> \mathrm {sum(i, j) } = \sum\limits_{k = i}^{j} a_k = G_j - G_{i - 1} </tex>. Для нахождения <tex>\mathrm {sum(i)}</tex> будем действовать следующим образом. Берём <tex>T_i</tex>, которое является суммой элементов с индексами от <tex>F(i)</tex> до <tex>i</tex>. Теперь к этому значению нужно прибавить <tex>\mathrm {sum(F(i) - 1)}</tex>. Аналогично продолжаем складывать, пока не <tex>F(i)</tex> не станет равным <tex>0</tex>.

Покажем, что запрос суммы работает за <tex>O(\log{{Лемма|statement= n})</tex>. Рассмотрим двоичную запись числа <tex> a_i i</tex> входит в сумму для . Функция <tex> t_k F(i)</tex>заменила его последние единицы на нули (заметим, что количество нулей в конце станет больше, если чем количество единиц в конце до этого). Теперь вычтем единицу из <tex> \exists j: k = F(i \mid )</tex> (2^j - 1переход к следующему столбику) . Количество единиц в конце увеличилось, по сравнению с <tex>i</tex>, так как мы заменили все нули в конце на единицы. Проводя эти действия дальше, мы придём к тому, что получили <tex>0</tex>.}}Для доказательства леммы рассмотрим битовую запись следующих чисел: В худшем случае мы должны были повторять эти операции <tex>l</tex> раз, где <tex>l</tex> — количество цифр в двоичной записи числа <tex>i</tex>, что не превосходит <tex> k - \log_{2^}{h(k)i} + 1 </tex>. Значит, запрос суммы выполняется за <tex>O(\leqslant i \leqslant k log{n})</tex>.

 Приведем код функции <tex> \mathrm {sum(i) } </tex>:

result = 0;

'''return''' result