Изменения

==Структура==Пусть есть множество <tex>m[0 '''Дерево ван Эмде Боаса''' (англ.. M''Van Emde Boas tree, vEB tree'') {{---1}} структура данных, представляющая собой [[Дерево поиска, наивная реализация|дерево поиска]]</tex> мы хотим записать эти данный , позволяющее хранить целые неотрицательные числа в дерево.Будем называть наше дерево интервале <tex>T</tex>.В корне(root[0;2^k) будут храниться: *массив детей размером <tex>sqrt{M}</tex> (T.children[]) *значение текущего минимума и максимума в дерево (T.min, Tосуществлять над ними все соответствующие дереву поиска операции.max)*вспомогательный массив (T.aux)

Элемент массива из детей с индексом Проще говоря, данная структура позволяет хранить <tex>k</tex>-битные числа и производить над ними операции <tex>i=\lfloor xmathrm{find}</M^tex>, <tex>\mathrm{1insert}</2tex>, <tex>\mathrm{remove}</tex>, <tex>\rfloormathrm{next}</tex> является также деревом для множества , <tex>[i*M^1\mathrm{prev}</2 .. (i+1)M^1tex>, <tex>\mathrm{\min}</2 - 1]tex>, <tex>\mathrm{max}</tex>и некоторые другие операции, которые присущи всем деревьям поиска.

В вспомогательном дереве хранится информация о томОсобенностью этой структуры является то, что все операции выполняются за <tex>O(\log k)</tex>, что асимптотически лучше, какие клетки уже заняты. То есть значение чем <tex>iO(\log n)</tex> хранится в вспомогательном дереве только если занят элемент с индексом большинстве других деревьев поиска, где <tex>in</tex> {{---}} количество элементов в массиве детейдереве.

Рассмотрим две опeрации == Структура ==Insert(x)Delete(T[[Файл:Дерево_ван_Эмде_Боаса.png|right|680px|thumb|4-дерево, содержащее в себе 0, 1, 2, 3, 5, x)14 и 15. Красным цветом выделены непустые поддеревья]]

==Insert==операция добавления(insert)пусть добавляем мы элемент Для удобства работы с деревом будем использовать <tex>xk </tex>Если дерево пусто, то меняем значения минимума и максимума на x;Если x<T.min тогда мы кладем T.min в поддерево i соответствующее T.min и ставим T.min = x. Если поддерево[i] до этого было пусто то мы также добавляем i в вспомогательное дерево.Аналогично если x>T.max.Если T.min< x < T.max тогда кладем x в поддерево i соответствующее x и меняем вспомогательное дерево.<pre>Insert(T, x) if (T.min > T.max) // T is empty T.min = T.max = x; return if (T.min = T.max) if (x < T.min) T.min = x; if (x > T.max) T.max = x; return if (x < T.min) swap(x, T.min) if (x > T.max) swap(x, T.max) i = x/sqrt(M) Insert(Tравные степени двойки.children[i], x % sqrt(M)) if (T.children[i].min = T.children[i].max) Insert(T.aux, i)</pre>

==Delete==Если T.min = T.max = x, значит в дереве один элементКак уже было сказано выше, мы его удалим и как<tex>k</tex>-нибудь пометим, что дерево пусто(на будущеехранит числа в интервале <tex>[0;2^k)</tex>.Если x Тогда при <tex>k = T.min1</tex> дерево хранит информацию,то мы должны найти следующий второй минимум удалить его из того места где он находится и поставить содержатся ли в T.min Второй минимум - это либо T.max, либо T.children[T.aux.min].min.Аналогично для случая x = T.maxЕсли же x = T.min нем <tex>0</tex> и x = T.max, то мы должны удалить x из поддерева i отвечающего x. Важно, что Delete реализован рекурсивно от дерева в котором идет удаления.Так же нельзя забывать, что если мы удаляем последнее вхождение x, то мы должны удалить i из вспомогательного дерева<tex>1</tex>.

Построим <pretex>k</tex>-дерево, при <tex>k \neq 1</tex>. В нем будут храниться:*массив <tex>children</tex>, состоящий из <tex>2^{k/2}</tex> <tex>k/2</tex>-деревьев*вспомогательное <tex>k/2</tex>-дерево, которое назовем <tex>aux</tex>*максимальный и минимальный элементы, хранящиеся в этом дереве (если оно не является пустым), причем дополнительно в массиве <tex> chilren </tex> эти элементы хранить не будем. Пусть у нас есть <tex>k</tex>-битное число <tex>x</tex>. Разобьем это число таким образом, что <tex>\mathrm{high(x)}</tex> {{---}} число, соответствующее <tex>k/2</tex> старшим битам числа <tex>x</tex>, а <tex>\mathrm{low(x)}</tex> соответствует <tex>k/2</tex> младшим битам. Тогда информация, хранится ли в данном дереве число <tex>x</tex>, эквивалентна информации, содержится ли в дереве <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex> число <tex>\mathrm{low(x)}</tex>. Нетрудно увидеть, что высота подобного дерева <tex>\log_{2} k</tex>, так как каждый следующий уровень дерева содержит числа, количество битов в которых в 2 раза меньше, чем в предыдущем. Во вспомогательном дереве <tex>aux</tex> будем хранить все такие числа <tex>p</tex>, что дерево <tex>children[p]</tex> не пусто. == Операции ===== empty ===Чтобы определить, пусто ли дерево, будем изначально инициализировать поле <tex>\min</tex> числом, которое не лежит в интервале <tex>[0;2^k)</tex>. Назовем это число <tex>none</tex>. Например, это может быть <tex>-1</tex>, если мы храним в числа в знаковом целочисленном типе, или <tex>2^k</tex>, если в беззнаковом. Тогда проверка на пустоту дерева будет заключаться лишь в сравнении поля <tex>\min</tex> с этим числом.<code> '''boolean''' empty(t: '''Tree'''): '''if''' t.min == ''none'' '''return''' ''true'' '''else''' '''return''' ''false''</code> === min и max ===Так как мы храним в дереве минимальное и максимальное значения, то данные операции не требуют ничего, кроме вывода значения поля <tex>\min</tex> или <tex>\max</tex> в соответствии с запросом. Время выполнения данных операций соответственно <tex>O(1)</tex>. === find ===Алгоритм поиска сам напрашивается из выше описанной структуры:*если дерево пусто, то число не содержится в нашей структуре.*если число равно полю <tex>\min</tex> или <tex>\max</tex>, то число в дереве есть.*иначе ищем число <tex>\mathrm{low(x)}</tex> в поддереве <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex>. Delete<code> '''boolean''' find(Tt: '''Tree''', x: '''int'''): '''if ''' empty(Tt) '''return''' ''false'' '''if''' t.min == Tx '''or''' t.max == x '''return''' ''true'' '''return''' find(t.children[high(x)], low(x))</code> Заметим, что выполняя операцию <tex>\mathrm{find}</tex>, мы либо спускаемся по дереву на один уровень ниже, либо, если нашли нужный нам элемент, выходим из нее. В худшем случае мы спустимся от корня до какого-нибудь 1-дерева, то есть выполним операцию <tex>\mathrm{find}</tex> столько раз, какова высота нашего дерева. На каждом уровне мы совершаем <tex>O(1)</tex> операций. Следовательно время работы <tex>O(\log k)</tex>. === insert ===Операция вставки элемента <tex>x</tex> состоит из нескольких частей: *если дерево пусто или в нем содержится единственный элемент (<tex> \min = \max </tex>), то присвоим полям <tex>\min</tex> и <tex>\max</tex> соответствующие значения. Делать что-то еще бессмысленно, так как информация записанная в <tex>\min</tex> и <tex>\max</tex> полностью описывает состояние текущего дерева и удовлетворяет структуре нашего дерева.*иначе:**если элемент <tex>x</tex> больше <tex>\max</tex> или меньше <tex>\min</tex> текущего дерева, то обновим соответствующее значение минимума или максимума, а старый минимум или максимум добавим в дерево.**вставим во вспомогательное дерево <tex>aux</tex> число <tex>\mathrm{high(x)}</tex>, если соответствующее поддерево <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex> до этого было пусто.**вставим число <tex>\mathrm{low(x)}</tex> в поддерево <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex>, за исключением ситуации, когда текущее дерево {{---}} это 1-дерево, и дальнейшая вставка не требуется. <code> '''function''' insert(t: '''Tree''', x: '''int'''): '''if''' empty(t) <span style="color:#008000">// проверка на пустоту текущего дерева</span> Tt.min = Mx t.max = x '''else''' '''if''' t.min == t.max <span style="color:#008000">// проверка, что в дереве один элемент</span> '''if''' T.min < x t.max = x '''else''' t.min = x '''else''' '''if''' t.min > x swap(t.min, x) <span style="color:#008000">// релаксация минимума</span> '''if''' t.max < x swap(t.max, x) <span style="color:#008000">// релаксация максимума</span> '''if''' t.k != 1 '''if''' empty(t.children[high(x)]) insert(t.aux, high(x)) <span style="color:#008000">// вставка high(x) во вспомогательно дерево aux</span> insert(t.children[high(x)], low(x)) <span style="color:#008000">// вставка low(x) в поддерево children[high(x)]</span></code> Нетрудно увидеть, что данная операция работает за время <tex>O(\log k)</tex>. На каждом уровне дерева мы выполняем <tex>O(1)</tex> операций. После этого возможны 2 случая: поддерево <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex> пусто, и мы будем производить дальнейшую вставку и в него, и во вспомогательное дерево <tex>aux</tex>, или же поддерево не пусто, и мы просто спустимся на уровень ниже. Но если поддерево <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex> пусто, то вставка в него будет выполнена за <tex>O(1)</tex>, так как мы всего лишь обновим поля <tex>\min</tex> и <tex>\max</tex>. Все остальные операции будут выполнятся уже со вспомогательным деревом <tex>aux</tex>, высота которого на 1 уровень меньше, чем высота текущего. Если же поддерево <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex> не пусто, то мы просто перейдем к вставке элемента в это поддерево, высота которого так же на 1 меньше, чем у текущего. В итоге, каждый раз, выполнив <tex>O(1)</tex> операций, мы переходим к дереву, высота которого на 1 меньше, чем у текущего. Следовательно, количество операций пропорционально высоте дерева, которая, как уже было показано, <tex>O(\log k)</tex>. То есть операция вставки займет <tex>O(\log k)</tex> времени. === remove ===Удаление из дерева также делится на несколько подзадач:*если <tex> \min = \max = x </tex>, значит в дереве один элемент, удалим его и отметим, что дерево пусто.*если <tex> x = \min </tex>, то мы должны найти следующий минимальный элемент в этом дереве, присвоить <tex>\min</tex> значение второго минимального элемента и удалить его из того места, где он хранится. Второй минимум {{-1--}} это либо <tex> \max </tex>, либо <tex> children[aux.min].min </tex> (для случая <tex> x = \max </tex> действуем аналогично).*если же <tex> x \neq \min </tex> и <tex> x \neq \max </tex>, то мы должны удалить <tex>\mathrm{low(x)}</tex> из поддерева <tex>children[\mathrm{high(x)}]</tex>.Так как в поддеревьях хранятся не все биты исходных элементов, а только часть их, то для восстановления исходного числа, по имеющимся старшим и младшим битам, будем использовать функцию <tex> merge </tex>. Также нельзя забывать, что если мы удаляем последнее вхождение <tex>x</tex>, то мы должны удалить <tex>\mathrm{high(x)}</tex> из вспомогательного дерева. <code> return '''function''' remove(t: '''Tree''', x: '''int'''): '''if (''' t.min == x '''and''' t.max == x <span style="color:#008000">// случай, когда в дереве один элемент</span> t.min = T''none'' '''return''' '''if''' t.min)== x '''if ''' empty(Tt.aux is empty) Tt.min = Tt.max '''return''' else x = Tmerge(t.aux.min, t.children[Tt.aux.min].min) T t.min = x '''if (x ''' t.max == T.max)x '''if ''' empty(Tt.aux is empty) Tt.max = Tt.min '''return''' '''else''' x = Tmerge(t.aux.max, t.children[Tt.aux.max].max) Tt.max = x '''if ''' empty(Tt.aux is empty) <span style="color:#008000">// случай, когда элемента x нет в дереве</span> '''return''' remove(t.children[high(x)], low(x)) i '''if''' empty(t.children[high(x)]) <span style= floor"color:#008000">// если мы удалили из поддерева последний элемент</span> remove(t.aux, high(x)) <span style="color:#008000">// то удаляем информацию, что это поддерево не пусто</span></sqrtcode> Оценка времени работы операции <tex>\mathrm{remove}</tex> такая же, как и у операции <tex>\mathrm{insert}</tex>. На каждом уровне дерева мы совершаем <tex>O(M1)</tex> операций и переходим к удалению элементов максимум в двух деревьях(в одном поддереве и во вспомогательном дереве), чьи высоты на один меньше текущей. Но если мы производим операцию удаления из вспомогательного дерева, значит удаление из поддерева потребовало <tex>O(1)</tex> операций, так как оно содержало всего один элемент. В итоге, количество операций пропорционально высоте дерева, то есть <tex>O(\log k)</tex>. === next и prev ===Алгоритм нахождения следующего элемента, как и два предыдущих, сводится к рассмотрению случая, когда дерево содержит не более одного элемента, либо к поиску в одном из его поддеревьев:*если дерево пусто, или максимум этого дерева не превосходит <tex> x </tex>, то следующего элемента в этом дереве не существует.*если <tex> x </tex> меньше поля <tex> \min </tex>, то искомый элемент и есть <tex> \min </tex>.*если дерево содержит не более двух элементов, и <tex> x < \max </tex>, то искомый элемент <tex> \max </tex>.*если же в дереве более двух элементов, то: Delete**если в дереве есть еще числа, большие <tex> x </tex>, и чьи старшие биты равны <tex>\mathrm{high(T.x)} </tex>, то продолжим поиск в поддереве <tex> children[i\mathrm{high(x)}]</tex>, где будем искать число, следующее после <tex>\mathrm{low(x%sqrt)} </tex>.**иначе искомым элементом является либо минимум следующего непустого поддерева, если такое есть, либо максимум текущего дерева в противном случае. <code> '''int''' next(Mt: '''Tree''', x: '''int''') '''if''' empty(t)'''or''' t.max <= x '''return''' ''none''; <span style="color:#008000">// следующего элемента нет</span> '''if''' t.min > x '''return''' t.min; '''if ''' empty(Tt.aux) '''return''' t.max; <span style="color:#008000">// в дереве не более двух элементов</span> '''else''' '''if''' '''not''' empty(t.children[high(x)]) '''and '''t.childen[high(x)].max > low(x) '''return''' merge(high(x), next(t.children[ihigh(x)] is empty, low(x))); <span style="color:#008000">// случай, когда следующее число начинается с high(x) </span> Delete'''else''' <span style="color:#008000">// иначе найдем следующее непустое поддерево</span> '''int''' nextHigh = next(Tt.aux, high(x)); '''if''' nextHigh == ''none'' '''return''' t.max; <span style="color:#008000">// если такого нет, вернем максимум</span> '''else''' '''return''' merge(nextHigh, t.children[nextHigh].min); <span style="color:#008000"> // если есть, вернем минимум найденного поддерева</span></code> Время работы, как и всех предыдущих функций, оценивается так же, и равно <tex>O(\log k)</tex>. Функция <tex>\mathrm{prev} </tex> реализуется аналогично. == Преимущества и недостатки == === Преимущества ===Главным преимуществом данной структуры является ее быстродействие. Асимптотически время работы операций дерева ван Эмде Боаса лучше, чем, например, у [[АВЛ-дерево|АВЛ]], [[Красно-черное дерево|красно-черных]], [[2-3 дерево|2-3]], [[Splay-дерево|splay]] и [[Декартово дерево|декартовых]] деревьев уже при небольшом количестве элементов. Конечно, из-за довольно непростой реализации возникают немалые постоянные множители, которые снижают практическую эффективность данной структуры. Но все же, при большом количестве элементов, эффективность дерева ван Эмде Боаса проявляется и на практике, что позволяет нам использовать данную структуру не только как эффективное дерево поиска, но и в других задачах. Например:*cортировка последовательности из <tex> n </tex> чисел. Вставим элементы в дерево, найдем минимум и <tex> n - 1</tex> раз вызовем функцию <tex> \mathrm{next} </tex>. Так как все операции занимают не более <tex> O(\log k)</tex> времени, то итоговая асимптотика алгоритма <tex> O(n \cdot \log k)</tex>, что даже лучше, чем [[Цифровая сортировка|цифровая сортировка]], асимптотика которой <tex> O(n \cdot k)</tex>.*[[Алгоритм Дейкстры|алгоритм Дейкстры]]. Данный алгоритм с использованием [[Двоичная куча|двоичной кучи]] для поиска минимума работает за <tex> O(E \cdot \log V)</tex>, где <tex> V </tex> {{---}} количество вершин в графе, а <tex> E </tex> {{---}} количество ребер между ними. Если же вместо кучи использовать дерево ван Эмде Боаса, то релаксация и поиск минимума будут занимать уже не <tex> \log V </tex>, а <tex> \log k </tex>, и итоговая асимптотика этого алгоритма снизится до <tex> O(E \cdot \log k)</tex>. === Недостатки ===*существенным недостатком данной структуры является то, что она позволяет хранить лишь целые неотрицательные числа, что существенно сужает область ее применения, по сравнению с другими деревьями поиска, которые не используют внутреннюю структуру элементов, хранящихся в них.*другим серьезным недостатком является количество занимаемой памяти. Дерево, хранящее <tex> k </tex>-битные числа, занимает <tex> \Theta(2^k) </tex> памяти, что несложно доказывается индукцией, учитывая, что <tex> S(2^k)=(2^{k/2} + 1) \cdot S(2^{k/2}) + O(2^{k/2})</tex>, где <tex> S(2^i)</pretex> {{---}} количество памяти, занимаемое деревом, в котором хранятся <tex> i </tex>-битные числа. Впрочем, можно попытаться частично избежать огромного расхода памяти, создавая необходимые поддеревья «лениво», то есть только тогда, когда они нам потребуются. ==См. также==* [[Поисковые структуры данных]]* [[Дерево поиска, наивная реализация|Дерево поиска]]* [[Алгоритм Дейкстры]] == Источники информации == *[http://en.wikipedia.org/wiki/Van_Emde_Boas_tree Van Emde Boas tree — Wikipedia]*[http://habrahabr.ru/post/125499 Дерево ван Эмде Боаса — habrahabr.ru] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Деревья поиска]][[Категория: Структуры данных]]