Дерево отрезков. Построение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 9 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на [[Моноид | моноиде]]. Например, суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера <tex>N*N</tex>, объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и многочленов.
 
'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на [[Моноид | моноиде]]. Например, суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера <tex>N*N</tex>, объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и многочленов.
  
При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[l...r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.  
+
При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[l \ldots r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.  
  
 
==Структура==
 
==Структура==
Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по 2 ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0\ldots n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <tex dpi=120>[0\ldots\dfrac{n}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <tex dpi=120>[\dfrac{n}{2}+1\ldots n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.
+
Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по <tex>2</tex> ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0\ldots n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <tex dpi=120>[0\ldots\dfrac{n}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <tex dpi=120>[\dfrac{n}{2}+1\ldots n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.
  
 
==Построение дерева==
 
==Построение дерева==
Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex>  из  <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4}...+1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
+
Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex>  из  <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4} \ldots +1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
  
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей. Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>,  а также переменные <tex>tl</tex> и <tex>tr</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>,  <tex>tl=0</tex>,  <tex>tr=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.
+
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей (обозначим в коде эту операцию как  "<tex> \circ </tex>"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>,  а также переменные <tex>\mathtt{tl}</tex> и <tex>\mathtt{tr}</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>,  <tex>\mathtt{tl}=0</tex>,  <tex>\mathtt{tr}=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.
  
 
Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.
 
Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.
  
[[Файл:Segment_tree.png|Пример дерева отрезков для максимума]]
+
[[Файл:Segment_tree.png|Пример дерева отрезков для минимума]]
  
 
Реализация построения сверху:
 
Реализация построения сверху:
  
 
  '''function''' treeBuild('''T''' a[], '''int''' i, '''int''' tl, '''int''' tr):  <font color=green>// мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) </font>
 
  '''function''' treeBuild('''T''' a[], '''int''' i, '''int''' tl, '''int''' tr):  <font color=green>// мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) </font>
  '''if''' tl == tr
+
     '''if''' tr - tl == 1
     '''return'''
+
        t[i] = a[tl]
  '''if''' tr - tl == 1
+
    '''else'''
    t[i] = a[tl]
+
        tm = (tl + tr) / 2                            <font color=green>// середина отрезка</font>
  '''else'''
+
        treeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm)
    tm = (tl + tr) / 2                            <font color=green>// середина отрезка</font>
+
        treeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)
    TreeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm)
+
        t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
    TreeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)
 
    t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
 
  
 
Реализация построения снизу:
 
Реализация построения снизу:
  
 
  '''function''' treeBuild('''T''' a[]):
 
  '''function''' treeBuild('''T''' a[]):
     '''for''' i = 0 .. n - 1
+
     '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 
         t[n - 1 + i] = a[i]
 
         t[n - 1 + i] = a[i]
     '''for''' i = n - 2 .. 0
+
     '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
 
         t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
 
         t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
  

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Дерево отрезков (англ. Segment tree) — это структура данных, которая позволяет за асимптотику [math]O(\log n)[/math] реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на моноиде. Например, суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера [math]N*N[/math], объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и многочленов.

При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива, например разрешается присвоить всем элементам [math]a[l \ldots r][/math] какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает [math]O(n)[/math] памяти, а ее построение требует [math]O(n)[/math] времени.

Структура

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по [math]2[/math] ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива [math][0\ldots n-1][/math], левый ребёнок корня содержит результат функции на [math][0\ldots\dfrac{n}{2}][/math], а правый, соответственно результат на [math][\dfrac{n}{2}+1\ldots n-1][/math]. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

Построение дерева

Пусть исходный массив [math]a[/math] состоит из [math]n[/math] элементов. Для удобства построения увеличим длину массива [math]a[/math] так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. [math]2^k[/math], где [math]2^k \geqslant n[/math]. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив [math]t[/math] из [math]2^{k+1}[/math] элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой [math]n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4} \ldots +1 \lt 2n[/math], где [math]n=2^k[/math]. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива [math]t[/math]. Заполним этот массив таким образом, чтобы [math]i[/math]-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math], то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей (обозначим в коде эту операцию как "[math] \circ [/math]"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив [math]a[/math], а также переменные [math]\mathtt{tl}[/math] и [math]\mathtt{tr}[/math], обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков ([math]i=0[/math], [math]\mathtt{tl}=0[/math], [math]\mathtt{tr}=n[/math]), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив [math] a [/math]). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, [math]O(n)[/math].

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении снизу алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива [math]t[/math] от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента [math] i [/math] его дети [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math] уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении сверху спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

Пример дерева отрезков для минимума

Реализация построения сверху:

function treeBuild(T a[], int i, int tl, int tr):  // мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) 
    if tr - tl == 1
        t[i] = a[tl]
    else
        tm = (tl + tr) / 2                            // середина отрезка
        treeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm)
        treeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)
        t[i] = t[2 * i + 1] [math] \circ [/math] t[2 * i + 2]

Реализация построения снизу:

function treeBuild(T a[]):
    for i = 0 to n - 1
        t[n - 1 + i] = a[i]
    for i = n - 2 downto 0
        t[i] = t[2 * i + 1] [math] \circ [/math] t[2 * i + 2]

См. также

Источники информации