Дерево отрезков. Построение — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Структура)
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 147 промежуточных версий 22 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Дерево отрезков''' {{---}} это структура данных, которая позволяет эффективно (за асимптотику <tex dpi = "140">O(log n))</tex> реализовать операции следующего вида: нахождение суммы (задача RSQ), минимума или максимума (задача RMQ) элементов массива в заданном отрезке (<tex dpi = "140">a[i...j]</tex>, где <tex dpi = "140">i</tex> и <tex dpi = "140">j</tex> поступают на вход алгоритма), при этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива (т.е. разрешается присвоить всем элементам <tex dpi = "140">a[i...j]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число). Структура занимает <tex dpi = "140">O(n)</tex> памяти и выстраивается из массива за <tex dpi = "140">O(n)</tex>.
+
'''Дерево отрезков''' (англ. ''Segment tree'') {{---}} это структура данных, которая позволяет за асимптотику <tex>O(\log n)</tex> реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на [[Моноид | моноиде]]. Например, суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера <tex>N*N</tex>, объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и многочленов.
 +
 
 +
При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и [[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления | изменение элементов на целом подотрезке массива]], например разрешается присвоить всем элементам <tex>a[l \ldots r]</tex> какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает <tex>O(n)</tex> памяти, а ее построение требует <tex>O(n)</tex> времени.  
  
 
==Структура==
 
==Структура==
[[Файл:Segment_tree.jpg|right|400px|thumb|Пример дерева отрезков для вычисления сумм]]Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по 2 ребёнка и содержат сумму или минимум/максимум своих детей (в зависимости от поставленной задачи). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex dpi = "140">[0...n]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <tex dpi = "140">[0...n/2]</tex>, а правый, соответственно результат на <tex dpi = "140">[n/2+1...n]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.
+
Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по <tex>2</tex> ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива <tex>[0\ldots n-1]</tex>, левый ребёнок корня содержит результат функции на <tex dpi=120>[0\ldots\dfrac{n}{2}]</tex>, а правый, соответственно результат на <tex dpi=120>[\dfrac{n}{2}+1\ldots n-1]</tex>. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.
  
 
==Построение дерева==
 
==Построение дерева==
Пусть исходный массив <tex dpi = "140">a</tex> состоит из <tex dpi = "140">n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex dpi = "140">a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex dpi = "140">2^k</tex>, где <tex dpi = "140">2^k \ge n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы можно заполнить нулями или бесконечностями (за бесконечностью стоит понимать, например, число, больше которого в данных ничего не появится) в зависимости от поставленной задачи. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex dpi = "140">t</tex>  из  <tex dpi = "140">2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex dpi = "135">n+n/2+n/4...+1 < 2n</tex>, где <tex dpi = "140">n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
+
Пусть исходный массив <tex>a</tex> состоит из <tex>n</tex> элементов. Для удобства построения увеличим длину массива <tex>a</tex> так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. <tex>2^k</tex>, где <tex>2^k \geqslant n</tex>. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив <tex>t</tex>  из  <tex>2^{k+1}</tex> элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой <tex>n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4} \ldots +1 < 2n</tex>, где <tex>n=2^k</tex>. Таким образом, структура занимает линейную память.
 +
 
 +
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex>t</tex>. Заполним этот массив таким образом, чтобы <tex>i</tex>-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex>, то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей (обозначим в коде эту операцию как  "<tex> \circ </tex>"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив <tex>a</tex>,  а также переменные <tex>\mathtt{tl}</tex> и <tex>\mathtt{tr}</tex>, обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex>i=0</tex>,  <tex>\mathtt{tl}=0</tex>,  <tex>\mathtt{tr}=n</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив <tex> a </tex>). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex>O(n)</tex>.
 +
 
 +
Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении [[Реализация запроса в дереве отрезков снизу | снизу]] алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива <tex>t</tex> от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента <tex> i </tex> его дети <tex>2i+1</tex> и <tex>2i+2</tex> уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху | сверху]] спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.
 +
 
 +
[[Файл:Segment_tree.png|Пример дерева отрезков для минимума]]
 +
 
 +
Реализация построения сверху:
 +
 
 +
'''function''' treeBuild('''T''' a[], '''int''' i, '''int''' tl, '''int''' tr):  <font color=green>// мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) </font>
 +
    '''if''' tr - tl == 1
 +
        t[i] = a[tl]
 +
    '''else'''
 +
        tm = (tl + tr) / 2                            <font color=green>// середина отрезка</font>
 +
        treeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm)
 +
        treeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)
 +
        t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
 +
 
 +
Реализация построения снизу:
 +
 
 +
'''function''' treeBuild('''T''' a[]):
 +
    '''for''' i = 0 '''to''' n - 1
 +
        t[n - 1 + i] = a[i]
 +
    '''for''' i = n - 2 '''downto''' 0
 +
        t[i] = t[2 * i + 1] <tex> \circ </tex> t[2 * i + 2]
 +
 
 +
==См. также==
 +
* [[Реализация запроса в дереве отрезков сверху]]
  
Далее будем считать, что дерево выстраиваем для задачи вычисления суммы на отрезке. Для минимума и максимума операция построения проделывается аналогично.
+
*[[Реализация запроса в дереве отрезков снизу]]
  
Процесс построения дерева заключается в заполнении массива <tex dpi = "140">t</tex>. Заполним массив таким образом, чтобы <tex dpi = "140">i</tex>-й элемент являлся бы суммой элемента c номером <tex dpi = "140">2i</tex> и элемента с номером <tex dpi = "140">2i+1</tex>, т.е. родитель являлся бы суммой своих сыновей. Лучше всего эту процедуру делать рекурсивно. Создадим функцию от исходного массива <tex dpi = "140">a</tex>, переменной <tex dpi = "140">i</tex>, обозначающей номер элемента в массиве <tex dpi = "140">t</tex>, а так же переменные <tex dpi = "140">tl</tex> и <tex dpi = "140">tr</tex>, обозначающие соответственно левую и правую границы текущего отрезка. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков (<tex dpi = "140">i=1</tex>,  <tex dpi = "140">tl=0</tex>,  <tex dpi = "140">tr=n-1</tex>), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива. Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, <tex dpi = "140">O(n)</tex>.
+
*[[Несогласованные поддеревья. Реализация массового обновления]]
  
Реализация:
+
==Источники информации==
 +
* [http://habrahabr.ru/post/115026/ Хабрахабр — Статья Максима Ахмедова]
  
TreeBuild(a[], i, tl, tr)
+
* [http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006  Дискретная математика: Алгоритмы — Визуализатор дерева отрезков]
  if (tl = tr)
 
    t[i] = a[tl];
 
  else
 
    tm = (tl + tr) / 2; //середина отрезка
 
    TreeBuild(a, 2*v, tl, tm);
 
    TreeBuild(a, 2*v+1, tm+1, tr);
 
    t[v] = t[2*v] + t[2*v+1];
 
  
 +
* [http://e-maxx.ru/algo/segment_tree  MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
  
==Ссылки==
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  Википедия — Дерево отрезков]
[http://rain.ifmo.ru/cat/view.php/vis/trees/segment-2006 - Визуализатор дерева отрезков]
 
  
[http://e-maxx.ru/algo/segment_tree - MAXimal :: algo :: Дерево отрезков]
+
* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Моноид  Википедия — Моноид]
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BE%D1%82%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%BA%D0%BE%D0%B2  - Дерево отрезков — Википедия]
+
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Дерево отрезков]]
 +
[[Категория: Структуры данных]]

Текущая версия на 19:43, 4 сентября 2022

Дерево отрезков (англ. Segment tree) — это структура данных, которая позволяет за асимптотику [math]O(\log n)[/math] реализовать любые операции, определяемые на множестве, на котором данная операция ассоциативна, и существует нейтральный элемент относительно этой операции, то есть на моноиде. Например, суммирование на множестве натуральных чисел, поиск минимума на любом числовом множестве, перемножение матриц на множестве матриц размера [math]N*N[/math], объединение множеств, поиск наибольшего общего делителя на множестве целых чисел и многочленов.

При этом дополнительно возможно изменение элементов массива: как изменение значения одного элемента, так и изменение элементов на целом подотрезке массива, например разрешается присвоить всем элементам [math]a[l \ldots r][/math] какое-либо значение, либо прибавить ко всем элементам массива какое-либо число. Структура занимает [math]O(n)[/math] памяти, а ее построение требует [math]O(n)[/math] времени.

Структура

Структура представляет собой дерево, листьями которого являются элементы исходного массива. Другие вершины этого дерева имеют по [math]2[/math] ребенка и содержат результат операции от своих детей (например минимум или сумму). Таким образом, корень содержит результат искомой функции от всего массива [math][0\ldots n-1][/math], левый ребёнок корня содержит результат функции на [math][0\ldots\dfrac{n}{2}][/math], а правый, соответственно результат на [math][\dfrac{n}{2}+1\ldots n-1][/math]. И так далее, продвигаясь вглубь дерева.

Построение дерева

Пусть исходный массив [math]a[/math] состоит из [math]n[/math] элементов. Для удобства построения увеличим длину массива [math]a[/math] так, чтобы она равнялась ближайшей степени двойки, т.е. [math]2^k[/math], где [math]2^k \geqslant n[/math]. Это сделано, для того чтобы не допустить обращение к несуществующим элементам массива при дальнейшем процессе построения. Пустые элементы необходимо заполнить нейтральными элементами моноида. Тогда для хранения дерева отрезков понадобится массив [math]t[/math] из [math]2^{k+1}[/math] элементов, поскольку в худшем случае количество вершин в дереве можно оценить суммой [math]n+\dfrac{n}{2}+\dfrac{n}{4} \ldots +1 \lt 2n[/math], где [math]n=2^k[/math]. Таким образом, структура занимает линейную память.

Процесс построения дерева заключается в заполнении массива [math]t[/math]. Заполним этот массив таким образом, чтобы [math]i[/math]-й элемент являлся бы результатом некоторой бинарной операции (для каждой конкретной задачи своей) от элементов c номерами [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math], то есть родитель являлся результатом бинарной операции от своих сыновей (обозначим в коде эту операцию как "[math] \circ [/math]"). Один из вариантов — делать рекурсивно. Пусть у нас имеются исходный массив [math]a[/math], а также переменные [math]\mathtt{tl}[/math] и [math]\mathtt{tr}[/math], обозначающие границы текущего полуинтервала. Запускаем процедуру построения от корня дерева отрезков ([math]i=0[/math], [math]\mathtt{tl}=0[/math], [math]\mathtt{tr}=n[/math]), а сама процедура построения, если её вызвали не от листа, вызывает себя от каждого из двух сыновей и суммирует вычисленные значения, а если её вызвали от листа — то просто записывает в себя значение этого элемента массива (Для этого у нас есть исходный массив [math] a [/math]). Асимптотика построения дерева отрезков составит, таким образом, [math]O(n)[/math].

Выделяют два основных способа построения дерева отрезков: построение снизу и построение сверху. При построении снизу алгоритм поднимается от листьев к корню (Просто начинаем заполнять элементы массива [math]t[/math] от большего индекса к меньшему, таким образом при заполнении элемента [math] i [/math] его дети [math]2i+1[/math] и [math]2i+2[/math] уже будут заполнены, и мы с легкостью посчитаем бинарную операцию от них), а при построении сверху спускается от корня к листьям. Особенные изменения появляются в реализации запросов к таким деревьям отрезков.

Пример дерева отрезков для минимума

Реализация построения сверху:

function treeBuild(T a[], int i, int tl, int tr):  // мы находимся в вершине с номером i, который отвечает за полуинтервал [tl, tr) 
    if tr - tl == 1
        t[i] = a[tl]
    else
        tm = (tl + tr) / 2                            // середина отрезка
        treeBuild(a, 2 * i + 1, tl, tm)
        treeBuild(a, 2 * i + 2, tm, tr)
        t[i] = t[2 * i + 1] [math] \circ [/math] t[2 * i + 2]

Реализация построения снизу:

function treeBuild(T a[]):
    for i = 0 to n - 1
        t[n - 1 + i] = a[i]
    for i = n - 2 downto 0
        t[i] = t[2 * i + 1] [math] \circ [/math] t[2 * i + 2]

См. также

Источники информации