1632
правки
Изменения
м
== Описание структуры ==
Дерево палиндромов состоит из вершин. Каждая вершина соответствует палиндрому. Через <tex>u.value</tex> будем обозначать строку, которой соответствует вершина <tex>u</tex>.
[[Файл:palindrome_tree_nodes.png|Пример четырех вершин дерева палиндромов|border]]
Ребра Стоит обратить внимание на то, что название структуры данных выбрано не совсем удачно. На самом деле структура представляет из себя два дерева {{---}} одно для палиндромов ориентированные и помечены символамичётной длины, другое для палиндромов нечётной длины. Ребро с символом Обозначим корни этих деревьев за <tex>xroot_{even}</tex> из вершины <tex>u</tex> в вершину <tex>v</tex> означает, что <tex>v.value=x+u.value+x</tex>. Тут и <tex>``+"root_{odd}</tex> означает конкатенацию строксоответственно.
[[Файл:palindrome_tree_edgeПомимо вершин и рёбер в дереве палиндромов также присутствуют ''суффиксные ссылки''. Для каждой вершины <tex>u</tex> её суффиксная ссылка ведет в такую вершину <tex>w</tex>, что <tex>w'</tex> является наибольшим суффиксом строки <tex>u'</tex> относительно других вершин. При этом важно понимать, что суффиксная ссылка из вершины одного дерева может вести как в то же, так и в другое дерево.png|В данном примере мы получаем палиндром aba добавлением символа a к обоим сторонам палиндрома b|border]]
Также в дереве палиндромов присутствуют ''суффиксные ссылки''. Суффиксная ссылка из вершины <tex>u</tex> ведет в вершину <tex>w</tex>, если <tex>w.value</tex> является наибольшим суффиксом строки <tex>u.value</tex>.
== Реализация ==
Название структуры данных выбрано не совсем удачно, т.к. на самом деле она представляет из себя два дерева, однако суффиксные ссылки могут вести как в то же, так и в другое дерево. Это сделано для удобства реализации. Также в целях экономии памяти мы будем хранить для каждой вершины не строки, а позицию в исходной строке (<tex>u.pos</tex>) и размер палиндрома (<tex>u.len</tex>).
Итак, у нас будет два дерева. Одно дерево для палиндромов четной длины, другое {{Утверждение|author=1|statement=Строка <tex>xAx</tex> {{---} для палиндромов нечетной длины} это единственная подстрока-палиндром строки <tex>px</tex>, которой, возможно, нет в <tex>p</tex> (т.е. Каждое дерево будет иметь фиктивный кореньвсе другие подстроки-палиндромы есть).Обозначим корни четного |proof= Заметим, что все новые подстроки-палиндромы, которых не было в <tex>p</tex>, должны оканчиваться на символ <tex>x</tex>, и нечетного дерева соответственно поэтому должны быть палиндромом-суффиксом строки <tex>px</tex>. Из-за того, что <tex>xAx</tex>root_{even{---}}наибольший палиндром-суффикс строки <tex>px</tex>, все остальные меньшие палиндромы-суффиксы этой строки уже есть в каком-то префиксе строки <tex>xAx</tex> (т.к. для каждого суффикса палиндрома есть равный ему префикс) и , соответственно, уже есть в <tex>root_{odd}p</tex>.}}
rollbackEdits.php mass rollback
'''Дерево палиндромов''' (англ. ''palindromic tree'') {{---}} структура данных, позволяющая решить некоторые интересные задачи на палиндромы.
Эту структуру данных придумал Михаил Рубинчик<ref name="ref1">[http://codeforces.com/profile/MikhailRubinchik Михаил РубинчикCodeforces {{---}} MikhailRubinchik] </ref> и рассказал ее её на летних сборах в Петрозаводске в 2014 году.Наиболее подробное о дереве палиндромов или овердреве (palindromic tree, eertree) можно прочитать в диссертации Михаил Рубинчика [http://www.pdmi.ras.ru/pdmi/dissertatiton/2016-05-25t000000-%D1%80%D1%83%D0%B1%D0%B8%D0%BD%D1%87%D0%B8%D0%BA-%D0%BC%D0%B8%D1%85%D0%B0%D0%B8%D0%BB-%D0%B2%D0%B0%D0%BB%D0%B5%D0%BD%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BE%D0%B2%D0%B8%D1%87]
== Описание структуры ==
[[Дерево,_эквивалентные_определения|Дерево]] палиндромов состоит из вершин, каждая из которых соответствует палиндрому. Все вершины соответствуют разным палиндромам. Через <tex>u'</tex> будем обозначать строку, которой соответствует вершина <tex>u</tex>.
[[Основные_определения_теории_графов#def_graph_edge_1|Рёбра]] дерева палиндромов ориентированные и помечены символами. Ребро с символом <tex>x</tex> ведет из вершины <tex>u</tex> в вершину <tex>v</tex> тогда и только тогда, когда <tex>v'=xu'x</tex>.
[[Файл:palindrome_tree_nodes.png|Пример четырех вершин дерева палиндромов|border]] [[Файл:palindrome_tree_edge.png|В данном примере мы получаем палиндром aba добавлением символа a к обоим сторонам палиндрома b|border]]
[[Файл:palindrome_tree_suffix_link.png|Мы добавили суффиксную ссылку (пунктирная линия) из aba к a потому, что a является наибольшим паллиндромом-суффиксом строки aba|border]]
При реализации в целях экономии памяти мы не будем хранить для каждой вершины соответствующую ей строку-палиндром. Этот подход был бы неэффективным с точки зрения памяти. Вместо этого мы будем хранить только длину палиндрома (и для некоторых задач позицию палиндрома в строке).
Итак, структура будет состоять из двух деревьев и, соответственно, двух корней. Для удобства реализации каждый корень будет соответствовать фиктивной строке.
* <tex>root_{odd}</tex> будет соответствовать палиндрому длины <tex>-1</tex>. Это нужно для того, чтобы не обрабатывать отдельно случай добавления палиндрома длины <tex>1</tex>. Теперь каждый раз при добавлении ребра из вершины <tex>u</tex> к вершине <tex>v</tex>, мы будем просто считать что <tex>|v'|=|u'| + 2</tex>.
* <tex>root_{even}</tex> будет соответствовать фиктивному палиндрому длины <tex>0</tex>.
Суффиксные ссылки обоих корней будут вести к вершине <tex>root_{odd}</tex>. Это соглашение нужно также для удобства реализации {{---}} теперь каждая вершина имеет суффиксную ссылку.
== Построение ==
Опишем далее по шагам процесс построения дерева палиндромов для данной строки. Изначально оно состоит из двух фиктивных вершин, а далее будет достраиваться инкрементально после каждого рассмотренного символа строки.
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|Будем обрабатывать строку символ за символом. Пусть мы уже обработали некоторый префикс <tex>p</tex> и теперь хотим добавить следующий символ строки, назовем его <tex>x</tex>.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|[[Файл:palindrome_tree_build1.png|500px]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|Будем также поддерживать максимальный палиндром-суффикс обработанного префикса <tex>p</tex>. Назовем его <tex>t</tex>.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|[[Файл:palindromic_tree_nodes.png|500px]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|Т.к. <tex>t</tex> находится в уже обработанной части строки, то ему соответствует какая-то вершина в дереве. У этой вершины есть суффиксная ссылка на какую-то другую вершину, у которой тоже есть суффиксная ссылка и т.д.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|[[Файл:palindrome_tree_build3.png|500px|Цепочка суффиксных ссылок из t]]
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|Найдем теперь палиндром-суффикс строки <tex>px</tex> (т.е. нового префикса). Искомая строка будет иметь вид <tex>xAx</tex>, где <tex>A</tex> {{---}} какая-то строка, возможно пустая (или фиктивная строка длины <tex>-1</tex>, соответствующая корню <tex>root_{odd}</tex>, если искомый палиндром-суффикс {{---}} это просто символ <tex>x</tex>).
Т.к. <tex>xAx</tex> {{---}} палиндром, то <tex>A</tex> {{---}} тоже палиндром, и, более того, это суффикс строки <tex>p</tex>. Поэтому он может быть достигнут из <tex>t</tex> по суффиксным ссылкам.
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"|[[Файл:palindrome_tree_build4.png|500px]]
|}
Таким образом, чтобы обработать очередной символ <tex>x</tex>, нужно просто спуститься по суффиксным ссылкам вершины <tex>t</tex> до тех пор, пока мы не найдем подходящую строку <tex>root_{odd}A</tex> будет соответствовать фиктивному палиндрому (причем мы всегда можем найти такую строку, возможно длины <tex>-1</tex>, если очередная суффиксная ссылка будет вести в корень). Это Затем нужно для тогопроверить, есть ли уже ребро по символу <tex>x</tex> из вершины, соответствующей <tex>A</tex>, чтобы не обрабатывать отдельно случай добавления палиндрома длины 1и если нет, добавить это ребро в новую вершину <tex>xAx</tex>. Теперь каждый раз при добавлении новой нужно добавить суффиксную ссылку из вершины <tex>uxAx</tex>. Если эта вершина уже существовала до добавления символа <tex>x</tex>, ничего делать не нужно {{---}} суффиксная ссылка и так указывает на правильную вершину. Иначе нужно найти наибольший палиндром-суффикс строки <tex>xAx</tex>, который будет иметь вид <tex>xBx</tex> к вершине , где <tex>vB</tex> {{---}} это некоторая строка, возможно, пустая. Следуя той же логике, которую мы будем просто указывать ее длину равной использовали раньше, <tex>B</tex> {{---}} это палиндром-суффикс строки <tex>p</tex> и может быть достигнут из <tex>t</tex>uпо суффиксным ссылкам.len {{Утверждение|author=2|statement= Очередная добавленная вершина <tex>u</tex> не может быть максимальным палиндромом-суффиксом какой-либо ранее добавленной вершины <tex>v</tex>|proof=Предположим, что это не так.len + 2Тогда оказывается, что не все подпалиндромы строки <tex>v'</tex>были добавлены в дерево палиндромов ранее. А это противоречит утверждению 1.}} Таким образом, добавление очередного символа по описанному алгоритму происходит корректно.
== Оценка сложности ==
=== Память ===
Каждая вершина в дереве соответствует подпалиндрому, всего различных подпалиндромов в строке не более <tex>n</tex> (т.к. при добавлении очередного символа появляется не более одного нового палиндрома).
Поэтому дерево палиндромов занимает <tex>O(n)</tex> памяти.
=== Время ===
Чтобы оценить временную сложность алгоритма, нужно заметить, что по мере того, как мы обрабатываем строку символ за символом, левая граница наибольшего палиндрома-суффикса уже обработанной строки сдвигается только вправо. Очевидно, эта граница может двигаться вправо не более <tex>n</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} длина строки, для которой мы строим дерево. То же самое относится и к левой границе той строки, на которую ведет суффиксная ссылка вновь добавленной вершины.
Таким образом, суммарное время работы построения алгоритма <tex>O(n)</tex>.
== Применения ==
=== Число новых палиндромов, порождаемых очередным символом ===
{{Задача
|definition=
Необходимо определить число подпалиндромов, которые будут новыми после добавления символа <tex>x</tex> в конец строки <tex>s</tex>.}}
Например, при добавлении символа <tex>a</tex> к строке <tex>aba</tex>, которая уже состоит из палиндромов <tex>a</tex>, <tex>b</tex> и <tex>aba</tex>, добавляется новый палиндром <tex>aa</tex>.
Мы знаем, что число новых подпалиндромов при добавлении символа <tex>0</tex> или <tex>1</tex>. Так что решение задачи довольно простое {{---}} будем строить дерево палиндромов символ за символом и для каждого нового символа отвечать, был ли добавлен новый палиндром или нет (определить это можно, например, по тому, были ли добавлены новые вершины к структуре).
Также данную структуру можно использовать для подсчета числа различных подпалиндромов строки. Это будет просто число вершин. === Число подпалиндромов ==={{Задача|definition=Требуется определить число подпалиндромов, которые содержатся в данной строке.}} Например, строка <tex>aba</tex> имеет четыре подпалиндрома: дважды <tex>a</tex>, <tex>b</tex> и <tex>aba</tex>. Для решения задачи будем строить дерево палиндромов для данной строки и на каждом шаге добавлять к ответу все палиндромы, которые содержат этот новый символ. Рассмотрим очередной шаг алгоритма после добавления символа <tex>x</tex>. Обозначим за <tex>t</tex> вершину, соответствующую максимальному палиндрому-суффиксу, содержащую этот последний символ. Заметим, что новые палиндромы, которые добавляет <tex>x</tex> {{---}} это <tex>t'</tex>, а также все палиндромы, достижимые из <tex>t</tex> по суффиксным ссылкам (т.к. только они содержат новый символ <tex>x</tex>). Для того чтобы быстро найти их число, будем хранить в каждой вершине длину цепочки суффиксных ссылок до корня (включая саму вершину), а затем будем просто прибавлять к ответу это число для каждого очередного <tex>t</tex> по мере добавления новых символов. Эта задача также может быть решена [[Алгоритм_Манакера|алгоритмом Манакера]] за ту же асимптотику, однако данный алгоритм не может быть расширен для более широкого класса задач, в отличие от дерева палиндромов. === Число вхождений каждого подпалиндрома в строку ==={{Задача|definition=Необходимо найти число вхождений каждого подпалиндрома строки в неё саму.}} Чтобы решить эту задачу деревом палиндромов, нужно обратить внимание на то, что при добавлении нового символа увеличивается количество вхождений наибольшего палиндрома-суффикса <tex>t</tex>, содержащего новый символ, и всех палиндромов, достижимых из <tex>t</tex> по суффиксным ссылкам. Для каждой вершины <tex>u</tex> дерева палиндромов будем хранить число вхождений строки <tex>u'</tex> в исходную строку (не обязательно актуальные данные) и число, которое необходимо добавить к числу вхождений всех потомков <tex>v</tex> вершины <tex>u</tex>. Назовем такую операцию добавления ''операцией релаксации''. После того, как релаксация будет выполнена для всех предков вершины <tex>u</tex>, можно будет считать, что посчитанное число вхождений соответствует действительности. Данный метод очень похож на метод, описанный в статье [[Несогласованные_поддеревья._Реализация_массового_обновления|про реализацию массовых обновлений в деревьях отрезков]]. === Поиск рефрен-палиндрома ==={{Задача|definition=Для данной строки необходимо найти палиндром, произведение длины которого на количество вхождений в строку является максимальным.}} Для решения данной задачи применим тот же алгоритм, что и в прошлой задаче, а затем пройдем по всем вершинам дерева палиндромов и выберем подходящую. == См. также ==* [[Алгоритм Манакера]]* [[Сжатое суффиксное дерево]]* [[Суффиксный массив]] == Примечания ==<references/> == Источники информации ==* [http://adilet.org/blog/25-09-14/ Adilet.org {{---}} Palindromic tree, Adilet ADJA Zhaxybay]
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Деревья поиска]]
[[Категория:Основные определения. Простые комбинаторные свойства слов]]
