Изменения

Для поиска элемента в бинарном дереве поиска можно воспользоваться следующей процедуройфункцией, которая принимает в качестве параметров корень дерева и искомый ключ. Для каждого узла функция сравнивает значение его ключа с искомым ключом. Если ключи одинаковы, то функция возвращает текущий узел, в противном случае функция вызывается рекурсивно для левого или правого поддерева. Узлы, которые посещает функция образуют нисходящий путь от корня, так что время ее работы <tex>O(h)</tex>, где <tex>h</tex> {{---}} высота дерева.

Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.

successor.parent.right = successor.rightleft '''if''' successor.right left != ''null''

При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.

root.right = delete(root.right, root.right.key)

root = root.right''null''

==Задачи о деревьях бинарном дереве поиска и произвольных двоичных деревьях==

===Проверка того, что заданное дерево является деревом поиска===

[[Файл:Not_Enough.png|right|thumb|291px|Пример дерева, для которого недостаточно проверки лишь его соседних вершин]]Для того чтобы решить эту задачу, применим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Начнём путь Запустим от корня рекурсивную логическую функцию, которая выведет <tex>\mathtt{true}</tex>, если дерево является BST и будем рассматривать для каждой вершины её детей<tex>\mathtt{false}</tex> в противном случае. Если ребёнок Чтобы дерево не нарушает условия дерева поискаявлялось BST, спускаемся на следующий уровень. Если же нашлась в нём должна быть хотя бы одна вершина, стоящая которая не на своём месте, то этого попадает под определение дерева поиска. То есть достаточнонайти всего одну такую вершину, чтобы сказать, что заданное дерево не является деревом поиска, выйти из рекурсии и вернуть значение <tex>\mathrmmathtt{false}</tex>. Если мы дойдём же, дойдя до листьев и , функция не найдём противоречащих условию вершинвстретит на своём пути такие вершины, возвращаем она вернёт значение <tex>\mathrmmathtt{true}</tex>.====Реализация========Псевдокод==== '''bool''' check(v : '''Node''', min: '''integer''', max: '''integer'''): <font color="green">//min и max - минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font> '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key > v.key '''or''' v.left.key < min '''return''' false '''else''' check(v.left, min, v.key) '''if''' v.right.key < v.key '''or''' v.right.key > max '''return''' false '''else''' check(v.right, v.key, max) '''return''' true

===Поиск максимального поддереваФункция принимает на вход исследуемую вершину, являющегося BSTа также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в заданном двоичном каком поддереве для более старших предков мы находимся. Например, в этом дереве===вершина с номером <tex>8</tex> находится левее вершины, в которой лежит <tex>5</tex>, чего не должно быть в дереве поиска, однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true}</tex>.

{{Задача '''bool''' isBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь root — корень заданного двоичного дерева.</font>|definition '''bool''' check(v : '''Node''', min: '''T''', max: '''T'''): <font color= Найти "green">// min и max — минимально и максимально допустимые значения в данном дереве максимальное из поддеревьев поискавершинах поддерева.</font> '''if''' v == ''null'' '''return''' ''true'' '''if''' v.key <= min '''or''' max <= v.key '''return''' ''false'' '''return''' check(v.left, min, v.key) '''and''' check(v.right, v.key, max) }} '''return''' check(root, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>)

В переменную <tex>maxdp</tex>, изначально равную <tex>Время работы алгоритма {{---1</tex>, запишем число вершин максимального поддерева поиска. Будем также вместе с }} <tex>maxdp</tex> обновлять <tex>maxrootO(n)</tex>, где будет храниться корень такого поддерева. Чтобы найти <tex>maxdpn</tex>, обойдём вершины и для каждой из них с помощью процедуры <tex>dfs</tex>, на вход которой подаются сама вершина, максимально и минимально возможные элементы поддерева и {{---}} количество вершин, посчитаем число элементов, принадлежащих максимальному дереву поиска, для которого данная вершина является корнем. Если результат после обхода вершины оказался больше значения в переменной <tex>maxdp</tex>, обновляем <tex>maxdp</tex> и <tex>maxroot</tex>. Затем переходим к следующей вершине. После того как мы прошлись по всему дереву, посчитали <tex>maxdp</tex> и нашли <tex>maxroot</tex>, запускаем процедуру <tex>dfsPrint(maxroot, -INF, INF)</tex> для вывода вершин поддерева поиска. До запуска процедуры <tex>dfs</tex> от каждой вершины переменная <tex>dp</tex> равна единицедереве.

maxdp = -1 maxroot = ''null'' '''for''' u '''in''' Tree <font color="green">// Здесь Tree – заданное двоичное дерево.</font> dp Задачи на поиск максимального BST в заданном двоичном дереве= 1 dfs(u, -INF, INF, dp) '''if''' dp > maxdp maxdp = dp maxroot = u dfsPrint(maxroot, -INF, INF)

Процедура <tex>dfs(v{{Задача|definition = Найти в данном дереве такую вершину,max,min,res)</tex> позволяет подсчитать максимальное количество вершин двоичного что она будет корнем поддерева поиска с вершиной наибольшим количеством вершин.}}Если мы будем приведённым выше способом проверять каждую вершину, мы справимся с задачей за <tex>vO(n^2)</tex>. В начале работы этой процедуры Но её можно решить за <tex>max</tex> и <tex>min</tex> принимают нейтральные значения O(<tex>-INFn)</tex> , идя от корня и <tex>INF</tex> соответственнопроверяя все вершины по одному разу, где <tex>INF</tex> - очень большое число), а <tex>res</tex> равен <tex>1</tex> (одна вершина основываясь на следующих фактах:* Значение в вершине больше максимума в её левом поддереве;* Значение в вершине меньше минимума в дереве уже имеется)её правом поддереве;* Левое и правое поддерево являются деревьями поиска. Обход осуществляется следующим образом:

'''1 шаг.''' Проверяем, есть ли у вершины левый сын. Если его нет, переходим к пункту 2, иначе сравниваем значения в этой вершине и в её левом потомке, а также значение в левом сыне с максимумом в поддереве. Если значение в левом сыне меньше, чем значение в вершине и больше переменной Введём <tex>max\mathtt{v.min}</tex>, то запускаем и <tex>dfs\mathtt{v.max}</tex> из левого сына, которые будут хранить минимум в левом поддереве вершины и максимум в правом. Здесь роль v будет разыгрывать Тогда мы должны будем проверить, являются ли эти поддеревья деревьями поиска и, если да, лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v.left}</tex>, между этими значениями <tex>max\mathtt{v.min}</tex> приобретёт значение и <tex>\mathtt{v.keymax}</tex>. Если вершина является листом, <tex>min</tex> поона автоматически становится деревом поиска, а её ключ {{---прежнему останется }} минимумом или максимумом для её родителя (в зависимости от расположения вершины). Функция <tex>min\mathtt{cnt}</tex>, а записывает в <tex>res\mathtt{v.kol}</tex> увеличится на 1. ''Пояснение:'' ключи количество вершин левого поддерева не должны превосходить значения в рассматриваемой вершинедереве, поэтому мы изменяем если оно является деревом поиска или <tex>max\mathtt{-1}</tex>. На <tex>min</tex> эта вершина не влияет в противном случае левого поддерева, поэтому он не изменяется. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим значением <tex>res\mathtt{v.kol}</tex> увеличивается на 1, так как в наше поддерево добавилась ещё одна вершина.

'''2 шаг.int''' count(root: '''Node''' Аналогично действуем с правым потомком. Проверяем его наличие. Если он существует, то сравниваем значение в нём с минимумом и с ключом вершины. Если значение правого сына больше минимума в поддереве и меньше значения в вершине, то запускаем от потомка ): <texfont color="green">dfs// root — корень заданного двоичного дерева.</texfont> '''int''' cnt(v: '''Node'''): '''if''' v == ''null'' v.kol = 0 '''return''' = 0 '''if''' cnt(v.left) != -1 '''and''' cnt(v.right) != -1 '''if''' v. Теперь на место <texleft == ''null'' '''and''' v.right == ''null'' v.min = v.key v.max = v.key v.kol = 1 '''return''' 1 '''if''' v.left == ''null'' '''if''' v.right.max >v.key v.min = v.key v.kol = cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.right == ''null'' '''if''' v.left.min </tex> встаёт v.key v.max = v.key v.kol = cnt(v.left) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.left.min <tex>v.key '''and''' v.right</tex>, <tex>.max</tex> остаётся прежним, <tex>v.key v.min = v.left.min</tex> становится ключом в рассматриваемой вершине, а <tex>res</tex> снова увеличивается на v.max = v.right.max v.kol = v.left.kol + v.right.kol + 1 v. Для случая с правым поддеревом рассуждения аналогичныkol = cnt(v.left) + cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''return''' -1 '''return''' cnt(root)

'''3 шаг.''' Возвращаем результат в переменной Алгоритм работает за <tex>resO(n)</tex>, где записано количество так как мы прошлись по дереву два раза за время, равное количеству вершин поддерева.

Процедура обхода дерева представлена ниже:{{Задача  '''procedure''' dfs(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T''', res: '''integer''') '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max dfs(v.left, v.left.key, min, res+1) '''if''' v.right !|definition = ''null'' '''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min dfs(v.left, max, v.left.key, res+1) Наконец, рассмотрим процедуру <tex>dfsPrint</tex>, выводящую максимальное Восстановить дерево поиска. Так как <tex>maxdp</tex> уже посчитанопо последовательности, достаточно задать три параметра: корень поддерева и максимальное и минимальное допустимые значения. <tex>max</tex> и выведенной после выполнения процедуры <tex>min\mathrm{preorderTraversal}</tex> нам понадобятся, чтобы взять только те вершины, которые принадлежат дереву.  '''procedure''' dfsPrint(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T''') '''print''' v.key '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max dfsPrint(v.left, v.left.key, min) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min dfsPrint(v.left, max, v.left.key)}}[[Файл:BST_from_seq.gif|right|thumb|300px257px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]]

ЗаметимКак мы помним, что процедура <tex>dfsPrint\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо, потом и снова движется влево и так . Это продолжается до тех пор, пока не будет выведено <tex>maxdp</tex> вершинбудут выведены все вершины. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Происходит Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына. Когда мы, желая найти такую вершину, встречаем какую-нибудь другую, уже имеющую правого сына, проходим по ветке вправо. Мы имеем на это право, так:как если такая вершина стоит, то процедура обхода в ней уже побывала и поворачивала вправо, поэтому спускаться в другую сторону смысла не имеет. Вершину с максимальным ключом, с которой будем начинать поиск, будем запоминать. Она будет обновляться каждый раз, когда появится новый максимум.

Первое число Разберём алгоритм на примере последовательности всегда находится в корне, так как вывод ключей вершин начинался с него<tex>\mathtt{8}</tex> <tex>\mathtt{2}</tex> <tex>\mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{4}</tex> <tex>\mathtt{3}</tex> <tex>\mathtt{5}</tex>.

Разберём алгоритм Будем выделять красным цветом вершины, рассматриваемые на каждом шаге, чёрным жирным {{---}} их родителей, курсивом {{---}} убывающие подпоследовательности (в случаях, когда мы их рассматриваем) или претендентов на примере добавление к ним правого ребёнка (когда рассматривается вершина, нарушающая убывающую последовательность).{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Состояние последовательности для приведённого выше дерева. Она выглядит так!style="background-color:#EEE"| Действие!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <span style="color: red">'''8 '''</span> 2 1 4 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Делаем вершину корнем.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Первая вершина всегда будет корнем, так как вывод начинался с него. Сначала в корень записывается ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''''8''''' <span style="color:red">'''''2'''''</span> ''1'' 4 3 5|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|Находим убывающую подпоследовательность. Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем его |rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Каждая последующая вершина становится левым сыном становится вершина с номером предыдущей, так как выводя ключи, мы двигались по дереву поиска влево, пока есть вершины.''|-| style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2'', а её левым сыном - ''' <span style="color:red">'''''1''. Следующее значение '''</span> 4 3 5|-|style="background- color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2''''' 1 <span style="color:red">'''4'' '</span> 3 5|style="background- color:#FFF;padding:2px 10px"| Для вершины, нарушившей убывающую последовательность, ищем максимальное значение, меньшее его. В данном случае оно равно <tex>\mathtt{2}</tex>. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''На моменте вывода следующего номера процедура обратилась уже к какому-то из правых поддеревьев, так как влево идти уже нарушает убывающую подпоследовательностьнекуда. Подберём Значит, нам необходимо найти узел, для него которого данная вершина являлась бы правым сыном. Очевидно, что в её родителе не может лежать значение, которое больше её ключа. Но эту вершинунельзя подвесить и к меньшим, иначе нашёлся бы более старший предок, где лежит также хранящий какое-то значение, меньшее егокоторое меньше, причём такая чем в исследуемой. Для этого предка вершина максимальна (бы попала в противном случае левое поддерево. И тогда возникает противоречие с определением дерева поиска. Отсюда следует, что родитель определяется единственным образом {{---}} он будет превосходить и прародителяхранит максимум среди ключей, находясь не превосходящих значения в его левом поддеревеподвешиваемой вершине, а это противоречит определению дерева поиска)что и требовалось доказать. Это узел с числом ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 21 '''''4''''' <span style="color:red">'''''3'''''</span> 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Сделаем его правым сыном рассматриваемую Каждую вершинуподвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем |style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Зайдя в правое поддерево, процедура обхода снова дадим левых потомков последней добавленной вершине, опять же, пока не найдём ключдо упора начала двигаться влево, нарушающий порядок убыванияпоэтому действуем аналогичным образом. В нашем случае в дерево дописывается ''3|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8'' 2 1 '''. Для следующего значения снова ищем родителя, для которого он станет правым сыном. Это значение равно ''4''. Добавляем ''' 3 <span style="color:red">'''5'' как правого сына для '</span>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для этой вершины ищем максимальное значение, меньшее его. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Здесь процедура снова обратилась к правому поддереву. Рассуждения аналогичны. Ключ родителя этой вершины равен <tex>\mathtt{4}</tex>.''. Итак, мы построили дерево.|}

* [[АВЛ-дерево]]