Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Дерево поиска, наивная реализация

4796 байт добавлено, 07:53, 30 ноября 2019
Реализация с использованием информации о родителе
=== Поиск следующего и предыдущего элемента ===
====Реализация с использованием информации о родителе====
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
'''Node''' next(x : '''Node'''):
'''if''' x.right != ''null''
'''return''' y
Обе операции выполняются за время <tex>O(h)</tex>.
 
====Реализация без использования информации о родителе====
Рассмотрим поиск следующего элемента для некоторого ключа <tex>x</tex>. Поиск будем начинать с корня дерева, храня текущий узел <tex>current</tex> и узел <tex>successor</tex>, последний посещенный узел, ключ которого больше <tex>x</tex>. <br>
successor.right.parent = successor.parent
'''else'''
successor.parent.right = successor.rightleft '''if''' successor.right left != ''null''
successor.right.parent = successor.parent
====Рекурсивная реализация====
При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.
Рекурсивная функция, возвращающая дерево с удаленным элементом <tex>z</tex>:
'''Node''' delete(root : '''Node''', z : '''T'''): <font color="green">// корень поддерева, удаляемый ключ</font>
'''else if''' root.left != ''null'' '''and''' root.right != ''null''
root.key = minimum(root.right).key
root.right = delete(root.right, root.right.key)
'''else'''
'''if''' root.left != ''null''
root = root.left
'''else if''' root.right != ''null''
root = root.right
'''else'''
root = root.right''null''
'''return''' root
|definition = Определить, является ли заданное двоичное дерево деревом поиска.
}}
[[Файл:Not_Enough.png|right|thumb|291px|Пример дерева, для которого недостаточно проверки лишь его соседних вершин]]
Для того чтобы решить эту задачу, применим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Запустим от корня рекурсивную логическую функцию, которая выведет <tex>\mathtt{true}</tex>, если дерево является BST и <tex>\mathtt{false}</tex> в противном случае. Чтобы дерево не являлось BST, в нём должна быть хотя бы одна вершина, которая не попадает под определение дерева поиска. То есть достаточно найти всего одну такую вершину, чтобы выйти из рекурсии и вернуть значение <tex>\mathtt{false}</tex>. Если же, дойдя до листьев, функция не встретит на своём пути такие вершины, она вернёт значение <tex>\mathtt{true}</tex>.
'''bool''' check(v : '''Node'''Функция принимает на вход исследуемую вершину, min: '''int''', maxа также два значения: '''int'''): <font color="green"tex>\mathtt{min}<// min tex> и <tex>\mathtt{max — минимально }</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.<tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </fonttex> '''if''' v— очень большое число, т.left != ''null'' '''if''' vе.leftни один ключ дерева не превосходит его по модулю.key > vКазалось бы, два последних параметра не нужны.key '''or''' vНо без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно.leftНеобходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся.key Например, в этом дереве вершина с номером < min '''return''' ''false'' '''else''' check(v.lefttex>8</tex> находится левее вершины, min, v.key) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key в которой лежит <tex>5< v.key '''or''' v.right.key /tex> max '''return''' ''false'' '''else''' check(v.right, v.keyчего не должно быть в дереве поиска, max) '''return''' ''однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true''}</tex>.
'''bool''' isBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь root — корень заданного двоичного дерева.</font>
'''bool''' check(v : '''Node''', min: '''T''', max: '''T'''): <font color="green">// min и max — минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font>
'''if''' v == ''null'' '''return''' ''true''
'''if''' v.key <= min '''or''' max <= v.key '''return''' ''false''
'''return''' check(v.left, min, v.key) '''and''' check(v.right, v.key, max)
'''return''' check(root, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>)
[[Файл:Tree_mistakesВремя работы алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в дереве.png|right|thumb|260px|Пример дерева, для которого недостаточно проверки лишь его соседей]]
Функция принимает на вход исследуемую вершину, а также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся. ===Поиск Задачи на поиск максимального поддерева, являющегося BST, в заданном двоичном дереве===
{{Задача
|definition = Найти в данном дереве максимальное из поддеревьев такую вершину, что она будет корнем поддерева поискас наибольшим количеством вершин.
}}
Будем рассматривать Если мы будем приведённым выше способом проверять каждую вершину дерева, предполагая, что она может являться корнем максимального поддерева поиска. Найдём для каждой из них количество всех вершин, которые могут находиться в таком поддереве. Максимальный из результатов, получаемых на каждом шаге, будем запоминать. Вместе мы справимся с максимумом будем запоминать и соответствующую ему вершинузадачей за <tex>O(n^2)</tex>. После того, как мы обошли всё дерево и нашли корень дерева поиска с наибольшим количеством вершин, при помощи обхода Но её можно решить за <tex>\mathrm{preorderTraversal}O(n)</tex> выводим , идя от корня и проверяя все вершины по одному разу, основываясь на экранследующих фактах:* Значение в вершине больше максимума в её левом поддереве;* Значение в вершине меньше минимума в её правом поддереве;* Левое и правое поддерево являются деревьями поиска.
Введём <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>, которые будут хранить минимум в левом поддереве вершины и максимум в правом. Тогда мы должны будем проверить, являются ли эти поддеревья деревьями поиска и, если да, лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v}</tex> между этими значениями <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>. '''Node''' rootЕсли вершина является листом, она автоматически становится деревом поиска, а её ключ {{---}} минимумом или максимумом для её родителя (в зависимости от расположения вершины) maxdp = -1 maxroot = ''null'' '''for''' u '''in''' Tree . Функция <font color="green"tex>\mathtt{cnt}<// Здесь Tree — заданное двоичное деревоtex> записывает в <tex>\mathtt{v.kol}</fonttex> dp = dfs(uколичество вершин в дереве, если оно является деревом поиска или <tex> \mathtt{-\infty 1}</tex>, в противном случае. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим значением <tex> \infty mathtt{v.kol}</tex>) '''if''' dp > maxdp maxdp = dp maxroot = u '''return''' maxroot.
Функция '''int''' count(root: '''Node'''): <texfont color="green">\mathtt{dfs}// root — корень заданного двоичного дерева.</texfont> позволяет найти для каждой вершин максимально возможное количество узлов поддерева '''int''' cnt(v: '''Node'''): '''if''' v == ''null'' v.kol = 0 '''return''' = 0 '''if''' cnt(v. На вход функции подаются сама анализируемая вершина и левая и правая границы интервала, в которой могут находиться значения в её поддеревеleft) != -1 '''and''' cnt(v. Начальные значения двух последних аргументов равны <tex> right) != -\infty </tex1 '''if''' v.left == ''null'' '''and''' v.right == ''null'' v.min = v.key v.max = v.key v.kol = 1 '''return''' 1 '''if''' v.left == ''null'' '''if''' v.right.max > и v.key v.min = v.key v.kol = cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.right == ''null'' '''if''' v.left.min <tex> \infty v.key v.max = v.key v.kol = cnt(v.left) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.left.min </texv.key '''and''' v.right.max > соответственноv.key v.min = v.left.min v.max = v.right.max v.kol = v.left.kol + v.right.kol + 1 v.kol = cnt(v.left) + cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''return''' -1 '''return''' cnt(root)
В основе функции также лежит [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Рекурсивная функция обходит всех существующих детей вершины, поданной на вход, и, если ребёнок не нарушает условия дерева поиска, она добавляет его в поддерево и анализирует его потомков. В этом случае роль Алгоритм работает за <tex>vO(n)</tex> будет разыгрывать ребёнок, удовлетворяющий условию дерева поиска. Если он был левым сыном, то максимально возможному значению присваивается число, стоящее в его родителе, а минимальное возможное значение не изменяется. Наоборот, если он был правым сыном, увеличиваем минимум, а максимум оставляем тем же. В случае, когда левый или правый сын не удовлетворяет условию дерева поиска, этот узел не включается в искомое поддерево и дальше не рассматривается. Функция возвращает значение переменной <tex>\mathtt{res}</tex>так как мы прошлись по дереву два раза за время, где записано количество равное количеству вершин поддерева '''int''' dfs(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T''') res = 1 '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max res += dfs(v.left, v.left.key, min) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min res += dfs(v.left, max, v.left.key) '''return''' res
===Восстановление дерева по результату обхода preorderTraversal===
|definition = Восстановить дерево по последовательности, выведенной после выполнения процедуры <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex>.
}}
[[Файл:BST_from_seq.gif|right|thumb|257px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]]
 
Как мы помним, процедура <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо и снова движется влево. Это продолжается до тех пор, пока не будут выведены все вершины. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына. Когда мы, желая найти такую вершину, встречаем какую-нибудь другую, уже имеющую правого сына, проходим по ветке вправо. Мы имеем на это право, так как если такая вершина стоит, то процедура обхода в ней уже побывала и поворачивала вправо, поэтому спускаться в другую сторону смысла не имеет. Вершину с максимальным ключом, с которой будем начинать поиск, будем запоминать. Она будет обновляться каждый раз, когда появится новый максимум.
Процедура восстановления дерева работает за <tex>O(n)</tex>.
[[Файл:BST_from_seq.gif|right|thumb|260px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]]
Как мы помним, процедура Разберём алгоритм на примере последовательности <tex>\mathtt{8}</tex> <tex>\mathtt{2}</tex> <tex>\mathrmmathtt{preorderTraversal1}</tex> <tex>\mathtt{4}</tex> <tex>\mathtt{3}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо и снова движется влево. Это продолжается до тех пор, пока не будет выведено <tex>\mathtt{maxdp5}</tex> вершин. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына.
Разберём алгоритм Будем выделять красным цветом вершины, рассматриваемые на примере каждом шаге, чёрным жирным {{---}} их родителей, курсивом {{---}} убывающие подпоследовательности (в случаях, когда мы их рассматриваем) или претендентов на добавление к ним правого ребёнка (когда рассматривается вершина, нарушающая убывающую последовательность).{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Состояние последовательности для приведённого выше дерева. Она выглядит так!style="background-color:#EEE"| Действие!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <span style="color: red">'''8 '''</span> 2 1 4 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Делаем вершину корнем.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Первая вершина всегда будет корнем, так как вывод начинался с него. Сначала в корень записывается ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''''8''''' <span style="color:red">'''''2'''''</span> ''1'' 4 3 5|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|Находим убывающую подпоследовательность. Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем его |rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Каждая последующая вершина становится левым сыном становится вершина с номером предыдущей, так как выводя ключи, мы двигались по дереву поиска влево, пока есть вершины.''|-| style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2'', а её левым сыном — ''' <span style="color:red">'''''1''. Следующее значение — '''</span> 4 3 5|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2''''' 1 <span style="color:red">'''4'' '</span> 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для вершины, нарушившей убывающую последовательность, ищем максимальное значение, меньшее его. В данном случае оно равно <tex>\mathtt{2}</tex>. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''На моменте вывода следующего номера процедура обратилась уже к какому-то из правых поддеревьев, так как влево идти уже нарушает убывающую подпоследовательностьнекуда. Подберём Значит, нам необходимо найти узел, для него которого данная вершина являлась бы правым сыном. Очевидно, что в её родителе не может лежать значение, которое больше её ключа. Но эту вершинунельзя подвесить и к меньшим, иначе нашёлся бы более старший предок, где лежит также хранящий какое-то значение, меньшее егокоторое меньше, причём такая чем в исследуемой. Для этого предка вершина максимальна (бы попала в противном случае левое поддерево. И тогда возникает противоречие с определением дерева поиска. Отсюда следует, что родитель определяется единственным образом {{---}} он будет превосходить и прародителяхранит максимум среди ключей, находясь не превосходящих значения в его левом поддеревеподвешиваемой вершине, а это противоречит определению дерева поиска)что и требовалось доказать. Это узел с числом ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 21 '''''4''''' <span style="color:red">'''''3'''''</span> 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Сделаем его правым сыном рассматриваемую Каждую вершинуподвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем |style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Зайдя в правое поддерево, процедура обхода снова дадим левых потомков последней добавленной вершинедо упора начала двигаться влево, опять же, пока не найдём ключ, нарушающий порядок убыванияпоэтому действуем аналогичным образом. В нашем случае в дерево дописывается ''3|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8'' 2 1 '''. Для следующего значения снова ищем родителя, для которого он станет правым сыном. Это значение равно ''4''. Добавляем ''' 3 <span style="color:red">'''5'' как правого сына для '</span>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для этой вершины ищем максимальное значение, меньшее его. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Здесь процедура снова обратилась к правому поддереву. Рассуждения аналогичны. Ключ родителя этой вершины равен <tex>\mathtt{4}</tex>.''. Итак, мы построили дерево.|}
==См. также==
* [[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]
* [[Красно-черное дерево]]
* [[АВЛ-дерево]] 
==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Двоичное дерево поиска]
Анонимный участник

Навигация