Изменения

Перейти к: навигация, поиск

Дерево поиска, наивная реализация

3970 байт добавлено, 07:53, 30 ноября 2019
Реализация с использованием информации о родителе
=== Поиск следующего и предыдущего элемента ===
====Реализация с использованием информации о родителе====
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
'''Node''' next(x : '''Node'''):
'''if''' x.right != ''null''
'''return''' y
Обе операции выполняются за время <tex>O(h)</tex>.
 
====Реализация без использования информации о родителе====
Рассмотрим поиск следующего элемента для некоторого ключа <tex>x</tex>. Поиск будем начинать с корня дерева, храня текущий узел <tex>current</tex> и узел <tex>successor</tex>, последний посещенный узел, ключ которого больше <tex>x</tex>. <br>
successor.right.parent = successor.parent
'''else'''
successor.parent.right = successor.rightleft '''if''' successor.right left != ''null''
successor.right.parent = successor.parent
====Рекурсивная реализация====
При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.
Рекурсивная функция, возвращающая дерево с удаленным элементом <tex>z</tex>:
'''Node''' delete(root : '''Node''', z : '''T'''): <font color="green">// корень поддерева, удаляемый ключ</font>
'''else if''' root.left != ''null'' '''and''' root.right != ''null''
root.key = minimum(root.right).key
root.right = delete(root.right, root.right.key)
'''else'''
'''if''' root.left != ''null''
root = root.left
'''else if''' root.right != ''null''
root = root.right
'''else'''
root = root.right''null''
'''return''' root
Для того чтобы решить эту задачу, применим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Запустим от корня рекурсивную логическую функцию, которая выведет <tex>\mathtt{true}</tex>, если дерево является BST и <tex>\mathtt{false}</tex> в противном случае. Чтобы дерево не являлось BST, в нём должна быть хотя бы одна вершина, которая не попадает под определение дерева поиска. То есть достаточно найти всего одну такую вершину, чтобы выйти из рекурсии и вернуть значение <tex>\mathtt{false}</tex>. Если же, дойдя до листьев, функция не встретит на своём пути такие вершины, она вернёт значение <tex>\mathtt{true}</tex>.
Функция принимает на вход исследуемую вершину, а также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся. Например, в этом дереве вершина с номером <tex>8<\/tex> находится левее вершины, в которой лежит <tex>5<\/tex>, чего не должно быть в дереве поиска, однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true}</tex>.
'''bool''' isBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь root — корень заданного двоичного дерева.</font> '''bool''' check(v : '''Node''', min: '''intT''', max: '''intT'''): <font color="green">// min и max — минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font> '''if''' v.left !== ''null'' '''return''' ''true'' '''if''' v.left.key > v.key <= min '''or''' max <= v.left.key < min '''return''' ''false'' '''else''' '''return''' check(v.left, min, v.key) '''ifand''' check(v.right != ''null'' '''if''' v.right.key < , v.key '''or''' v.right.key > , max) '''return''' ''false'' '''else''' '''return''' check(v.rightroot, v.key<tex> -\infty </tex>, max<tex> \infty </tex>) '''return''' ''true''Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в дереве.
===Задачи на поиск максимального BST в заданном двоичном дереве===
{{Задача
|definition = Найти в данном дереве такую вершину, что поддерево, для которого она является будет корнем, максимально.}} {{Задача|definition = Выделить в данном дереве наибольшее возможное количество поддерева поиска с наибольшим количеством вершин, образующих дерево поиска.
}}
Рассмотрим Если мы будем приведённым выше способом проверять каждую вершину дерева, предполагая, что она может быть корнем максимального поддерева поиска. Найдём для каждой из них количество всех вершин, которые могут находиться в таком поддереве. Максимальный из результатов, получаемых на каждом шаге, будем запоминать. Вместе с максимумом будем запоминать и соответствующую ему вершину. После того, как мы обошли всё дерево и нашли корень дерева поиска справимся с наибольшим количеством вершин, при помощи обхода задачей за <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводим все вершины на экран.  '''Node''' rootO(n^2) maxdp = -1 maxroot = ''null'' '''for''' u '''in''' Tree <font color="green">// Здесь Tree — заданное двоичное дерево.</font> dp = dfs(u, <tex> -\infty . Но её можно решить за </tex>, <tex> \infty </tex>O(n) '''if''' dp > maxdp maxdp = dp maxroot = u '''return''' maxroot Функция <tex>\mathtt{dfs}</tex> позволяет найти для каждой вершин максимально возможное количество узлов поддерева. На вход функции подаются сама анализируемая вершина , идя от корня и левая и правая границы интервалапроверяя все вершины по одному разу, основываясь на следующих фактах:* Значение в вершине больше максимума в её левом поддереве;* Значение в которой могут находиться значения вершине меньше минимума в её правом поддереве. Начальные значения двух последних аргументов равны <tex> -\infty </tex> ;* Левое и <tex> \infty </tex> соответственноправое поддерево являются деревьями поиска.
В основе функции также лежит [[Обход Введём <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>, которые будут хранить минимум в глубину, цвета вершин|обход левом поддереве вершины и максимум в глубину]]правом. Рекурсивная функция обходит всех существующих детей вершины, поданной на входТогда мы должны будем проверить, являются ли эти поддеревья деревьями поиска и, если ребёнок не нарушает условия дерева поискада, она добавляет его в поддерево лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v}</tex> между этими значениями <tex>\mathtt{v.min}</tex> и анализирует его потомков. В этом случае роль <tex>\mathtt{v.max}</tex> будет разыгрывать ребёнок, удовлетворяющий условию дерева поиска. Если он был левым сыномвершина является листом, то максимально возможному значению присваивается числоона автоматически становится деревом поиска, стоящее а её ключ {{---}} минимумом или максимумом для её родителя (в его родителе, а минимальное возможное значение не изменяетсязависимости от расположения вершины). Функция <tex>\mathtt{cnt}</tex> записывает в <tex>\mathtt{v. Наоборотkol}</tex> количество вершин в дереве, если он был правым сыном, увеличиваем минимум, а максимум оставляем тем же. В случае, когда левый оно является деревом поиска или правый сын не удовлетворяет условию дерева поиска, этот узел не включается <tex>\mathtt{-1}</tex> в искомое поддерево и дальше не рассматриваетсяпротивном случае. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим значением <tex>\mathtt{v.kol}</tex>.
Функция возвращает значение переменной '''int''' count(root: '''Node'''): <texfont color="green">\mathtt{res}// root — корень заданного двоичного дерева.</texfont> '''int''' cnt(v: '''Node'''): '''if''' v == ''null'' v.kol = 0 '''return''' = 0 '''if''' cnt(v.left) != -1 '''and''' cnt(v.right) != -1 '''if''' v.left == ''null'' '''and''' v.right == ''null'' v.min = v.key v.max = v.key v.kol = 1 '''return''' 1 '''if''' v.left == ''null'' '''if''' v.right.max >, где записано количество вершин поддереваv.key v.min = v.key v.kol = cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.right == ''null'' '''if''' v.left.min < v.key v.max = v.key v.kol = cnt(v.left) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.left.min < v.key '''and''' v.right.max > v.key v.min = v.left.min v.max = v.right.max v.kol = v.left.kol + v.right.kol + 1 v.kol = cnt(v.left) + cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''return''' -1 '''return''' cnt(root)
'''int''' dfs(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T''') res = 1 '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key Алгоритм работает за < v.key '''and''' v.left.key tex> max res += dfsO(v.left, v.left.key, minn) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key </tex> v.key '''and''' v.right.key < min res += dfs(v.left, maxтак как мы прошлись по дереву два раза за время, vравное количеству вершин.left.key) '''return''' res
===Восстановление дерева по результату обхода preorderTraversal===
|definition = Восстановить дерево по последовательности, выведенной после выполнения процедуры <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex>.
}}
[[Файл:BST_from_seq.gif|right|thumb|260px257px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]]
Как мы помним, процедура <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо и снова движется влево. Это продолжается до тех пор, пока не будут выведены все вершины. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына. Когда мы, желая найти такую вершину, встречаем какую-нибудь другую, уже имеющую правого сына, проходим по ветке вправо. Мы имеем на это право, так как если такая вершина стоит, то процедура обхода в ней уже побывала и поворачивала вправо, поэтому спускаться в другую сторону смысла не имеет. Вершину с максимальным ключом, с которой будем начинать поиск, будем запоминать. Она будет обновляться каждый раз, когда появится новый максимум.
Процедура восстановления дерева работает за <tex>O(n)</tex>.  Разберём алгоритм на примере последовательности для приведённого выше дерева<tex>\mathtt{8}</tex> <tex>\mathtt{2}</tex> <tex>\mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{4}</tex> <tex>\mathtt{3}</tex> <tex>\mathtt{5}</tex>. Будем выделять красным цветом вершины, рассматриваемые на каждом шаге, чёрным жирным {{---}} их родителей, курсивом {{---}} убывающие подпоследовательности (в случаях, когда мы их рассматриваем) или претендентов на добавление к ним правого ребёнка (когда рассматривается вершина, нарушающая убывающую последовательность).{| style="background-color:#CCC;margin:0. Она выглядит так5px"!style="background-color:#EEE"| Состояние последовательности!style="background-color:#EEE"| Действие!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <span style="color: red">'''8 '''</span> 2 1 4 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Делаем вершину корнем.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Первая вершина всегда будет корнем, так как вывод начинался с него. Сначала в корень записывается ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''''8''''' <span style="color:red">'''''2'''''</span> ''1'' 4 3 5|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|Находим убывающую подпоследовательность. Затем его Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына.|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Каждая последующая вершина становится левым сыном становится вершина с номером предыдущей, так как выводя ключи, мы двигались по дереву поиска влево, пока есть вершины.''|-| style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2'', а её левым сыном — ''' <span style="color:red">'''''1''. Следующее значение — '''</span> 4 3 5|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2''''' 1 <span style="color:red">'''4'' — уже нарушает '</span> 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для вершины, нарушившей убывающую подпоследовательность. Подберём для него вершинупоследовательность, где лежит ищем максимальное значение, меньшее его, причём такая вершина максимальна. В противном данном случае он будет превосходить и прародителяоно равно <tex>\mathtt{2}</tex>. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''На моменте вывода следующего номера процедура обратилась уже к какому-то из правых поддеревьев, так как влево идти уже некуда. Значит, находясь в его левом поддеревенам необходимо найти узел, а это противоречит определению дерева поискадля которого данная вершина являлась бы правым сыном. Очевидно, что в её родителе не может лежать значение, которое больше её ключа. Но эту вершину нельзя также подвесить его и к вершинеменьшим, иначе нашёлся бы более старший предок, которая хранить большее также хранящий какое-то значение, которое меньше, чем в исследуемой. Для вершины этого предка вершина бы попала в левое поддерево. И тогда возникает противоречие с определением дерева поиска. Отсюда следует, что родитель определяется единственным образом {{---}} он хранит максимум среди ключей, не превосходящих значения в подвешиваемой вершине, что и требовалось доказать.'' |-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 2 1 '''''4'' родителем будет узел с числом ''2' <span style="color:red">'''''3'''''</span> 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Сделаем его правым сыном рассматриваемую Каждую вершинуподвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем |style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Зайдя в правое поддерево, процедура обхода снова дадим левых потомков последней добавленной вершинедо упора начала двигаться влево, опять же, пока не найдём ключ, нарушающий порядок убыванияпоэтому действуем аналогичным образом. В нашем случае в дерево дописывается ''3|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8'' 2 1 '''. Для следующего значения снова ищем родителя, для которого он станет правым сыном. Это значение равно ''4''. Добавляем ''' 3 <span style="color:red">'''5'' как правого сына для '</span>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для этой вершины ищем максимальное значение, меньшее его. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Здесь процедура снова обратилась к правому поддереву. Рассуждения аналогичны. Ключ родителя этой вершины равен <tex>\mathtt{4}</tex>.''. Вершины закончились, мы построили дерево.|}
==См. также==
* [[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]
* [[Красно-черное дерево]]
* [[АВЛ-дерево]] 
==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Двоичное дерево поиска]
Анонимный участник

Навигация