Изменения
→Реализация с использованием информации о родителе
=== Поиск следующего и предыдущего элемента ===
====Реализация с использованием информации о родителе====
Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.
'''Node''' next(x : '''Node'''):
'''if''' x.right != ''null''
'''return''' y
Обе операции выполняются за время <tex>O(h)</tex>.
====Реализация без использования информации о родителе====
Рассмотрим поиск следующего элемента для некоторого ключа <tex>x</tex>. Поиск будем начинать с корня дерева, храня текущий узел <tex>current</tex> и узел <tex>successor</tex>, последний посещенный узел, ключ которого больше <tex>x</tex>. <br>
successor.right.parent = successor.parent
'''else'''
successor.parent.right = successor.rightleft '''if''' successor.right left != ''null''
successor.right.parent = successor.parent
====Рекурсивная реализация====
При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.
Рекурсивная функция, возвращающая дерево с удаленным элементом <tex>z</tex>:
'''Node''' delete(root : '''Node''', z : '''T'''): <font color="green">// корень поддерева, удаляемый ключ</font>
'''else if''' root.left != ''null'' '''and''' root.right != ''null''
root.key = minimum(root.right).key
root.right = delete(root.right, root.right.key)
'''else'''
'''if''' root.left != ''null''
root = root.left
'''else if''' root.right != ''null''
root = root.right
'''else'''
root = root.right''null''
'''return''' root
Функция принимает на вход исследуемую вершину, а также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся. Например, в этом дереве вершина с номером <tex>8</tex> находится левее вершины, в которой лежит <tex>5</tex>, чего не должно быть в дереве поиска, однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true}</tex>.
'''functionbool''' lookisBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь root — корень заданного двоичного дерева.</font>
'''bool''' check(v : '''Node''', min: '''intT''', max: '''intT'''): <font color="green">// min и max — минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font> '''if''' v.left !== ''null'' '''return''' ''true'' '''if''' v.left.key > v.key <= min '''or''' max <= v.left.key < min '''return''' ''false'' '''else''' '''return''' check(v.left, min, v.key) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key < v.key '''or''' v.right.key > max '''return''' ''false'' '''else''' '''returnand''' check(v.right, v.key, max) '''return''' ''true''
'''return''' check(root, <tex> -\infty </tex>, <tex> -\infty </tex>) <font color="green">// root - корень дерева.</font>
Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в дереве.
{{Задача
|definition = Найти в данном дереве такую вершину, что поддерево, для которого она является будет корнем, будет максимальным деревом поддерева поиска.}} {{Задача|definition = Выделить в данном дереве наибольшее возможное количество соседних с наибольшим количеством вершин, образующих дерево поиска.
}}
Введём <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>, которые будут хранить минимум в левом поддереве вершины и максимум в правом. Тогда мы должны будем проверить, являются ли эти поддеревья деревьями поиска и, если да, лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v}</tex> между этими значениями <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>. '''Node''' rootЕсли вершина является листом, она автоматически становится деревом поиска, а её ключ {{---}} минимумом или максимумом для её родителя (в зависимости от расположения вершины) maxdp = -1 maxroot = ''null'' '''for''' u '''in''' Tree . Функция <font color="green"tex>\mathtt{cnt}<// Здесь Tree — заданное двоичное деревоtex> записывает в <tex>\mathtt{v.kol}</fonttex> dp = dfs(uколичество вершин в дереве, если оно является деревом поиска или <tex> \mathtt{-\infty 1}</tex>, в противном случае. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим значением <tex> \infty mathtt{v.kol}</tex>) '''if''' dp > maxdp maxdp = dp maxroot = u '''return''' maxroot.
===Восстановление дерева по результату обхода preorderTraversal===
|definition = Восстановить дерево по последовательности, выведенной после выполнения процедуры <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex>.
}}
[[Файл:BST_from_seq.gif|right|thumb|260px257px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]] Как мы помним, процедура <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо и снова движется влево. Это продолжается до тех пор, пока не будут выведены все вершины. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына. Когда мы, желая найти такую вершину, встречаем какую-нибудь другую, уже имеющую правого сына, проходим по ветке вправо. Мы имеем на это право, так как если такая вершина стоит, то процедура обхода в ней уже побывала и поворачивала вправо, поэтому спускаться в другую сторону смысла не имеет. Вершину с максимальным ключом, с которой будем начинать поиск, будем запоминать. Она будет обновляться каждый раз, когда появится новый максимум. Процедура восстановления дерева работает за <tex>O(n)</tex>.
Разберём алгоритм на примере последовательности <tex>\mathtt{8}</tex> <tex>\mathtt{2}</tex> <tex>\mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{4}</tex> <tex>\mathtt{3}</tex> <tex>\mathtt{5}</tex>.
Будем выделять красным цветом вершины, рассматриваемые на каждом шаге, чёрным жирным {{---}} их родителей, курсивом {{---}} убывающие подпоследовательности (в случаях, когда мы их рассматриваем) или претендентов на добавление к ним правого ребёнка (когда рассматривается вершина, нарушающая убывающую последовательность).
{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"
!style="background-color:#EEE"| Состояние
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Первая вершина всегда будет корнем, так как вывод начинался с него.''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| '''''8''''' <span style="color:red">'''''2'''''</span> ''1 '' 4 3 5|rowspan=2|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына.|rowspan=2|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Каждая последующая вершина становится левым сыном предыдущей, так как выводя ключи, мы двигались по дереву поиска влево, пока есть вершины.''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2''''' <span style="color:red">'''''1'''''</span> 4 3 5
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2 ''''' 1 <span style="color:red">'''4'''</span> 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для первой вершины, нарушившей убывающую последовательность, ищем максимальное значение, меньшее его. В данном случае оно равно <tex>\mathtt{2}</tex>. Затем добавляем вершину. |style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''На моменте вывода следующего номера процедура обратилась уже к какому-то из правых поддеревьев, так как влево идти уже некуда. Значит, нам необходимо найти узел, для которого данная вершина являлась бы правым сыном. Очевидно, что в её родителе не может лежать значение, которое больше её ключа. Но эту вершину нельзя подвесить и к меньшим, иначе нашёлся бы более старший предок, также хранящий какое-то значение, которое меньше, чем в исследуемой. Для этого предка вершина бы попала в левое поддерево. И тогда возникает противоречие с определением дерева поиска. Отсюда следует, что родитель определяется единственным образом {{-- -}} он хранит максимум среди ключей, не превосходящих значения в подвешиваемой вершине, что и требовалось доказать.''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 2 1 '''''4''''' <span style="color:red">'''4 ''3'''''</span> 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим первый минимальный элемент {{---}} '''1'Зайдя в правое поддерево, процедура обхода снова до упора начала двигаться влево, поэтому действуем аналогичным образом.''
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '' 2 1 '''''4 ''''' 3 <span style="color:red">'''5'''</span>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для этой вершины ищем максимальное значение, меньшее его. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим первый минимальный элемент ''Здесь процедура снова обратилась к правому поддереву. Рассуждения аналогичны. Ключ родителя этой вершины равен <tex>\mathtt{{---4}} '''1'</tex>.''
|}
==См. также==
* [[Рандомизированное бинарное дерево поиска]]
* [[Красно-черное дерево]]
==Источники информации==
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B2%D0%BE%D0%B8%D1%87%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%B4%D0%B5%D1%80%D0%B5%D0%B2%D0%BE_%D0%BF%D0%BE%D0%B8%D1%81%D0%BA%D0%B0 Википедия {{---}} Двоичное дерево поиска]
