Изменения

Если у узла есть правое поддерево, то следующий за ним элемент будет минимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет правого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является левым дочерним узлом своего родителя. Поиск предыдущего выполнятся аналогично. Если у узла есть левое поддерево, то следующий за ним предыдущий ему элемент будет максимальным элементом в этом поддереве. Если у него нет левого поддерева, то нужно следовать вверх, пока не встретим узел, который является правым дочерним узлом своего родителя.

При рекурсивном удалении узла из бинарного дерева нужно рассмотреть три случая: удаляемый элемент находится в левом поддереве текущего поддерева, удаляемый элемент находится в правом поддереве или удаляемый элемент находится в корне. В двух первых случаях нужно рекурсивно удалить элемент из нужного поддерева. Если удаляемый элемент находится в корне текущего поддерева и имеет два дочерних узла, то нужно заменить его минимальным элементом из правого поддерева и рекурсивно удалить '''этот''' минимальный элемент из правого поддерева. Иначе, если удаляемый элемент имеет один дочерний узел, нужно заменить его потомком. Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(h)</tex>.

root.right = delete(root.right, root.right.key)

root = root.right''null''

===Проверка того, что заданное дерево является деревом поиска===

[[Файл:Not_Enough.png|right|thumb|291px|Пример дерева, для которого недостаточно проверки лишь его соседних вершин]]Для того чтобы решить эту задачу, применим [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Запустим от корня рекурсивную логическую функцию, которая выведет <tex>\mathtt{true}</tex>, если дерево является BST и <tex>\mathtt{false}</tex> в противном случае. Чтобы дерево не являлось BST, в нём должна быть хотя бы одна вершина, которая не попадает под определение дерева поиска. То есть достаточно найти всего одну такую вершину, чтобы выйти из рекурсии и вернуть значение <tex>\mathtt{false}</tex>. Если же, дойдя до листьев, функция не встретит на своём пути такие вершины, она вернёт значение <tex>\mathtt{true}</tex>. Функция принимает на вход исследуемую вершину, а также два значения: <tex>\mathtt{min}</tex> и <tex>\mathtt{max}</tex>, которые до вызова функции равнялись <tex> \infty </tex> и <tex> -\infty </tex> соответственно, где <tex> \infty </tex> — очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулю. Казалось бы, два последних параметра не нужны. Но без них программа может выдать неверный ответ, так как сравнения только вершины и её детей недостаточно. Необходимо также помнить, в каком поддереве для более старших предков мы находимся. Например, в этом дереве вершина с номером <tex>8</tex> находится левее вершины, в которой лежит <tex>5</tex>, чего не должно быть в дереве поиска, однако после проверки функция бы вернула <tex>\mathtt{true}</tex>.

'''bool''' isBinarySearchTree(root: '''Node'''): <font color="green">// Здесь root — корень заданного двоичного дерева.</font> '''bool''' check(v : '''Node''', min: '''integerT''', max: '''integerT'''): <font color="green">//min и max - — минимально и максимально допустимые значения в вершинах поддерева.</font> '''if''' v.left !== ''null'' '''return''' ''true'' '''if''' v.left.key > v.key <= min '''or''' max <= v.left.key < min '''return''''' false'' '''elsereturn''' check(v.left, min, v.key) '''if''' v.right.key < v.key '''or''' v.right.key > max '''return''' false '''elseand''' check(v.right, v.key, max) '''return''' truecheck(root, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>)

Время работы алгоритма {{---}} <tex>O(n)</tex>, где <tex>n</tex> {{---}} количество вершин в дереве. ===Поиск Задачи на поиск максимального поддерева, являющегося BST, в заданном двоичном дереве===

|definition = Найти в данном дереве максимальное из поддеревьев такую вершину, что она будет корнем поддерева поискас наибольшим количеством вершин.

Будем рассматривать каждую вершину дерева, предполагая, что она может являться корнем максимального поддерева поискаВведём <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v. Найдём для каждой из них количество всех вершинmax}</tex>, которые могут находиться будут хранить минимум в таком левом поддеревевершины и максимум в правом. Максимальный из результатовТогда мы должны будем проверить, получаемых на каждом шагеявляются ли эти поддеревья деревьями поиска и, будем запоминатьесли да, лежит ли ключ вершины <tex>\mathtt{v}</tex> между этими значениями <tex>\mathtt{v.min}</tex> и <tex>\mathtt{v.max}</tex>. Вместе с Если вершина является листом, она автоматически становится деревом поиска, а её ключ {{---}} минимумом или максимумом будем запоминать и соответствующую ему вершинудля её родителя (в зависимости от расположения вершины). Функция <tex>\mathtt{cnt}</tex> записывает в <tex>\mathtt{v. После тогоkol}</tex> количество вершин в дереве, как мы обошли всё дерево и нашли корень дерева если оно является деревом поиска или <tex>\mathtt{-1}</tex> в противном случае. После выполнения функции ищем за линейное время вершину с наибольшим количеством вершин, запускаем процедуру, выводящую все вершины на экранзначением <tex>\mathtt{v.kol}</tex>.

'''int''' count(root: '''Node''' ): <font color="green">// root— корень заданного двоичного дерева.</font> '''int''' cnt(v: '''Node'''): '''if''' v == ''null'' v.kol = 0 maxdp '''return''' = 0 '''if''' cnt(v.left) != -1 '''and''' cnt(v.right) != -1 maxroot '''if''' v.left == ''null'' '''and''' v.right == ''null'' v.min = v.key v.max = v.key v.kol = 1 '''forreturn''' u 1 '''inif''' Tree <font colorv.left =="green"''null'' '''if''' v.right.max >// Здесь Tree – заданное двоичное деревоv.key v.min = v.key v.kol = cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''if''' v.right == ''null'' '''if''' v.left.min </font>v.key v.max = v.key dp v.kol = dfscnt(u, <tex> -\infty </tex>, <tex> \infty </tex>v.left)+ 1 '''return''' v.kol '''if''' dp v.left.min < v.key '''and''' v.right.max > maxdpv.key maxdp v.min = v.left.min v.max = v.right.max v.kol = dpv.left.kol + v.right.kol + 1 maxroot v.kol = ucnt(v.left) + cnt(v.right) + 1 '''return''' v.kol '''return''' -1 '''return''' maxrootcnt(root)

Функция Алгоритм работает за <tex>\mathtt{dfs}O(n)</tex> позволяет найти для каждой вершин максимально возможное количество узлов поддерева. На вход функции подаются сама анализируемая вершина и левая и правая границы интервала, в которой могут находиться значения в её поддереве. Начальные значения двух последних аргументов равны <tex> -\infty </tex> и <tex> \infty </tex> соответственнотак как мы прошлись по дереву два раза за время, где <tex> \infty </tex> - очень большое число, т.е. ни один ключ дерева не превосходит его по модулюравное количеству вершин.

В основе функции также лежит [[Обход в глубину, цвета вершин|обход в глубину]]. Рекурсивная функция обходит всех существующих детей вершины, поданной на вход, и, если ребёнок не нарушает условия ===Восстановление дерева поиска, она добавляет его в поддерево и анализирует его потомков. В этом случае роль <tex>\v</tex> будет разыгрывать ребёнок, удовлетворяющий условию дерева поиска. Если он был левым сыном, то максимально возможному значению присваивается число, стоящее в его родителе, а минимальное возможное значение не изменяется. Наоборот, если он был правым сыном, увеличиваем минимум, а максимум оставляем тем же. В случае, когда левый или правый сын не удовлетворяет условию дерева поиска, этот узел не включается в искомое поддерево и дальше не рассматривается.по результату обхода preorderTraversal===

Функция возвращает значение переменной <tex>\mathtt{res}</tex>, где записано количество вершин поддерева.  '''int''' dfs(v: '''Node''', max: '''T''', min: '''T'''){Задача res |definition = 1 '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max res += dfs(v.left, v.left.keyВосстановить дерево по последовательности, min) '''if''' v.right != ''null'' '''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min res += dfs(v.left, max, v.left.key) '''return''' res Наконец, рассмотрим процедуру выведенной после выполнения процедуры <tex>\mathttmathrm{dfsPrintpreorderTraversal}</tex>, выводящую максимальное дерево поиска. Она также будет принимать на вход вершину и границы, между которыми должны стоять ключи вершин-претендентов на попадание в поддерево.}} '''procedure''' dfsPrint(v: '''Node''', max: '''T''', min[[Файл: '''T''') '''print''' v.key '''if''' v.left != ''null'' '''if''' v.left.key < v.key '''and''' v.left.key > max dfsPrint(v.left, v.left.key, min) '''if''' vBST_from_seq.gif|right != ''null'' '''if''' v.right.key > v.key '''and''' v.right.key < min dfsPrint(v.left, max, v.left.key)|thumb|257px|Восстановление дерева поиска по последовательности ключей]]

[[ФайлКак мы помним, процедура <tex>\mathrm{preorderTraversal}</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом:BST_from_seqсначала идёт до упора влево, затем на каком-то моменте делает шаг вправо и снова движется влево.gif|right|thumb|300px|Восстановление дерева поиска Это продолжается до тех пор, пока не будут выведены все вершины. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Первая вершина всегда будет в корне. Затем, пока не будут использованы все значения, будем последовательно подвешивать левых сыновей к последней добавленной вершине, пока не найдём номер, нарушающий убывающую последовательность, а для каждого такого номера будем искать вершину без правого потомка, хранящую наибольшее значение, не превосходящее того, которое хотим поставить, и подвешиваем к ней элемент с таким номером в качестве правого сына. Когда мы, желая найти такую вершину, встречаем какую-нибудь другую, уже имеющую правого сына, проходим по последовательности ключей]]ветке вправо. Мы имеем на это право, так как если такая вершина стоит, то процедура обхода в ней уже побывала и поворачивала вправо, поэтому спускаться в другую сторону смысла не имеет. Вершину с максимальным ключом, с которой будем начинать поиск, будем запоминать. Она будет обновляться каждый раз, когда появится новый максимум.

Заметим, что Процедура восстановления дерева работает за <tex>dfsPrintO(n)</tex> выводит значения в узлах поддерева следующим образом: сначала идёт до упора влево, затем делает шаг вправо, потом снова влево и так до тех пор, пока не будет выведено <tex>maxdp</tex> вершин. Полученная последовательность позволит нам однозначно определить расположение всех узлов поддерева. Происходит это так:

- для каждого номера, нарушающего убывающую последовательность, ищем вершину с наибольшим значением, не превосходящим его, среди вершин без правого потомка и к этому элементу подвешиваем вершину с таким номером в качестве правого сынаРазберём алгоритм на примере последовательности <tex>\mathtt{8}</tex> <tex>\mathtt{2}</tex> <tex>\mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{4}</tex> <tex>\mathtt{3}</tex> <tex>\mathtt{5}</tex>.

Первое число Будем выделять красным цветом вершины, рассматриваемые на каждом шаге, чёрным жирным {{---}} их родителей, курсивом {{---}} убывающие подпоследовательности (в случаях, когда мы их рассматриваем) или претендентов на добавление к ним правого ребёнка (когда рассматривается вершина, нарушающая убывающую последовательность).{| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Состояние последовательности !style="background-color:#EEE"| Действие!style="background-color:#EEE"| Пояснение|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| <span style="color:red">'''8'''</span> 2 1 4 3 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Делаем вершину корнем.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Первая вершина всегда находится в корнебудет корнем, так как вывод ключей вершин начинался с него.''|-Разберём алгоритм на примере последовательности для приведённого выше дерева. Она выглядит так|style="background-color:#FFF;padding: 2px 10px"| '''''8 ''''' <span style="color:red">'''''2 '''''</span> ''1 '' 4 3 5|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"|Находим убывающую подпоследовательность. Каждую вершину подвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына.|rowspan=2 style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Каждая последующая вершина становится левым сыном предыдущей, так как выводя ключи, мы двигались по дереву поиска влево, пока есть вершины. Сначала в корень записывается ''|-| style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8''. Затем его левым сыном становится вершина с номером '2''''' <span style="color:red">'2'', а её левым сыном - ''1''. Следующее значение '''</span> 4 3 5|-|style="background- color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8 '''2''''' 1 <span style="color:red">'''4'' '</span> 3 5|style="background- color:#FFF;padding:2px 10px"| Для вершины, нарушившей убывающую последовательность, ищем максимальное значение, меньшее его. В данном случае оно равно <tex>\mathtt{2}</tex>. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''На моменте вывода следующего номера процедура обратилась уже нарушает убывающую подпоследовательностьк какому-то из правых поддеревьев, так как влево идти уже некуда. Подберём Значит, нам необходимо найти узел, для него которого данная вершина являлась бы правым сыном. Очевидно, что в её родителе не может лежать значение, которое больше её ключа. Но эту вершинунельзя подвесить и к меньшим, где лежит иначе нашёлся бы более старший предок, также хранящий какое-то значение, меньшее егокоторое меньше, причём такая чем в исследуемой. Для этого предка вершина максимальна (бы попала в противном случае левое поддерево. И тогда возникает противоречие с определением дерева поиска. Отсюда следует, что родитель определяется единственным образом {{---}} он будет превосходить и прародителяхранит максимум среди ключей, находясь не превосходящих значения в его левом поддеревеподвешиваемой вершине, а это противоречит определению дерева поиска)что и требовалось доказать. Это узел с числом ''|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| 8 21 '''''4''''' <span style="color:red">'''''3'''''</span> 5|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Находим убывающую подпоследовательность. Сделаем его правым сыном рассматриваемую Каждую вершинуподвешиваем к последней из взятых ранее в качестве левого сына. Затем |style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Зайдя в правое поддерево, процедура обхода снова дадим левых потомков последней добавленной вершине, опять же, пока не найдём ключдо упора начала двигаться влево, нарушающий порядок убыванияпоэтому действуем аналогичным образом. В нашем случае в дерево дописывается ''3|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''8'' 2 1 '''. Для следующего значения снова ищем родителя, для которого он станет правым сыном. Это значение равно ''4''. Добавляем ''' 3 <span style="color:red">'''5'' как правого сына для '</span>|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| Для этой вершины ищем максимальное значение, меньшее его. Затем добавляем вершину.|style="background-color:#FFF;padding:2px 10px"| ''Здесь процедура снова обратилась к правому поддереву. Рассуждения аналогичны. Ключ родителя этой вершины равен <tex>\mathtt{4}</tex>.''. Итак, мы построили дерево.|}

* [[АВЛ-дерево]]