Деревья Эйлерова обхода

Задача о динамической связности

Задача:

Для динамически изменяющегося дерева выполнить следующие запросы: [math]\mathrm{link(u, w)}[/math] — добавить ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] принадлежат разным деревьям), [math]\mathrm{cut(u, w)}[/math] — разрезать ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что ребро [math](u, w)[/math] принадлежит дереву), [math]\mathrm{isConnected(u, w)}[/math] — определить принадлежат ли вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] одной компоненте связности.

Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его эйлерова графа, а затем будем работать с эйлеровым обходом (англ.Euler tour tree) этого графа. Это позволит выполнять указанные запросы за [math]O(\log n)[/math].

Представление деревьев в виде эйлерова графа

Пример дерева

Соответствующий эйлеров граф

Для представления дерева в виде эйлерового графа заменим каждое ребро [math]\{u, v\} \[/math] дерева на два ребра [math](u, v)[/math] и [math](v, u)[/math].

Получившийся ориентированный граф будет эйлеровым согласно критерию.

Представим дерево с корнем в вершине [math]a[/math] в виде последовательности вершин, посещеннных в порядке эйлерова обхода.

Утверждение:

Последовательность вершин между первым и последним вхождениями вершины [math]h[/math] в эйлеров обход дерева, представляет эйлеров обход поддерва с корнем в [math]h[/math].

[math]\triangleright[/math]

Действительно, при обходе дерева последний раз выйдем из вершины, только после посещения всех вершин ее поддерева.

[math]\triangleleft[/math]

Операции c эйлеровыми обходами

Представление деревьев в виде их эйлеровых обходов позволяет свести задачу о динамической связности к следующим операциям с последовательностями вершин:

Добавление ребра

Для добавления ребра (c, g):

• Выберем любое вхождение вершины c в эйлеров обход T1.
• Разрежем эйлеров обход T1 на 2 части:

  A1 - часть обхода до выбранного вхождения вершины c.

  A2 - часть обхода после выбранного вхождения вершины c.

• Аналогично, выберем любое вхождение вершины g в эйлеров обход T2 и разрежем его на 2 части B1 и B2.
• Соберем результирующий эйлеров обход в порядке A1 B2 B1 A2.

Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев T1 и T2, будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска. Ключом вершины, для построения дерева поиска, будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом. Для каждой вершины дерева (T1, T2) будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход. Тогда за O(1) переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за O(log n) можно будет разделить дерево поиска на 2 части.

Разрезание ребра

Для разбиения дерева на два поддерева путем разрезания ребра [math]\{g, j\} \[/math] необходимо:

• Переподвесить дерево к вершине [math]g[/math].
• Разделить дерево на части [math]E1, V, E2[/math], где [math]V[/math] отрезок между первым и последним вхождением вершины [math]j[/math].
• Эйлеров обход первого поддерева образуется соединением [math]E1[/math] и [math]E2[/math], с удалением повторного [math]\{g\}[/math] в месте их соединения.
• Эйлеров обход второго поддерева образует [math]V[/math].

В результате получим:

Реализация структуры

Представим последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева. Будем использовать красно-черное дерево.

Объединение и разделение красно-черных деревьев выполняется за [math]O(\log n)[/math].

Для каждой вершины храним указатели на её первое и последнее вхождение в последовательность. Значит, имеем доступ к ним за [math]O(1)[/math].

Запрос о принадлежности вершин к одной компоненте связности выполняется за [math]O(\log n)[/math] проверкой лежат ли эти вершины в одном дереве.

См. также

• Link-Cut Tree

Источники информации

• Wikipedia — Euler tour technique
• Advanced Data Structures — Euler tour trees
• CodeForces — On Euler tour trees