Изменения

Представим дерево в виде последовательности вершин, посещенных в порядке эйлерова обхода, начиная с корнем в вершине вершины <tex>a</tex> в виде последовательности вершин, посещеннных в порядке эйлерова обхода.

[[ФайлДля добавления ребра <tex>(c, g)</tex>:Link11*Выберем любое вхождение вершины <tex>c</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T1</tex>.*Разрежем эйлеров обход <tex>T1</tex> на две части:*: <tex>A1</tex> {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*: <tex>A2</tex> {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>B2</tex>.*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>A2</tex>.png |thumb|400px|center]]

Для добавления ребра (cЧтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев <tex>T1</tex> и <tex>T2</tex>, g):*Выберем любое вхождение вершины c будем хранить эйлеровы обходы в эйлеров обход T1двоичных деревьях поиска.*Разрежем эйлеров обход T1 на 2 части:*: A1 - часть обхода до выбранного вхождения Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины c, включая ееэйлеровым обходом.*: A2 - часть обхода после выбранного вхождения Для каждой вершины cдерева <tex>(T1, включая ее.*АналогичноT2)</tex> будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, выберем любое вхождение которая соответствует вхождению вершины g дерева в эйлеров обход T2 и разрежем его . Тогда за <tex>O(1)</tex> переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за <tex>O(\log n)</tex> можно будет разделить дерево поиска на 2 две части B1 и B2.*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке A1 B2 B1 A2.

Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы [[Файл:Link22.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходный лес <br>Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев T1 и T2, будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях <br> Рис.1с Двоичные деревья поиска. Ключом вершины, для построения дерева поиска, будет время посещения этой вершины эйлеровым обходомхранения эйлеровых обходов <br> Рис.Для каждой вершины дерева (T1, T2) будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в 1d Результирующий эйлеров обход. Тогда за O(1) переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за O(log n) можно будет разделить дерево поиска на 2 части.]]

Для удаления ребра <tex>\{(g, j\} \)</tex>:*Найдем в эйлеровом обходе дерева <tex>T </tex> две пары посещений концов удаляемого ребра gj <tex>g,j</tex> и jg<tex>j,g</tex>, которые соответствуют прохождениям по ребру <tex>(g, j) </tex> в дереве <tex>T</tex>.*Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на 3 три части: <tex>A1, A2, A3</tex>.*Соберем результирующий обход в порядке Соединив <tex>A1</tex> и <tex>A3</tex> (без повторяющейся первой вершины), A3получим эйлеров обход первого дерева, а <tex>A2</tex> дает эйлеров обход второго дерева.

Так, для ребра <tex>(g, j) </tex> храним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра. [[Файл:Link23.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходное дерево <br>Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева<br> Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода <br> Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев]]

Для того, чтобы проверить, лежат ли 2 две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот элеров эйлеров обход.

==Реализация Способы реализации структуры==

Представим последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева. Будем использовать [[Красно-черное ===Сбалансированное дерево|красно-черное дерево]].поиска===

Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде [[Файл:Balanced tree.png Красно-черное дерево|centerкрасно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.

Объединение Операции объединения и разделение разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees.]</ref>.

Запрос о принадлежности Также, можем хранить последовательности вершин к одной компоненте связности выполняется за эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из <tex>n</tex> вершин, будет поддерживаться равной <tex>O(\log n)</tex> проверкой лежат ли эти вершины в одном дереве.

[[Файл:Balanced tree1Операции объединения и разделения также выполняются за <tex>O(\log n)</tex>.png |center]]