Изменения

* '''<tex>\mathrm{link(u, w)}</tex>''' {{---}} добавить ребро <tex>(u, w)</tex> (при условии, что вершины <tex>u</tex> и <tex>w</tex> принадлежат разным деревьям),

 '''Дерево Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его [[Эйлеровость графов|эйлерова обхода''' графа]], а затем будем работать с [[Эйлеровость графов|эйлеровым обходом]] (англ.''Euler tour tree'') {{---}} способ представления динамического дерева, позволяющий этого графа. Это позволит выполнять указанные операции запросы за <tex>O(\log n)</tex>.

==Свойство эйлерова обхода== Представим дерево в виде последовательности вершин, посещеннных посещенных в порядке эйлерова обхода , начиная с корнем в вершине вершины <tex>a</tex>.

В результате получим: [[Файл:Proba.png |center]]==Операции c эйлеровыми обходами==

[[ФайлДля добавления ребра <tex>(c, g)</tex>:Link11*Выберем любое вхождение вершины <tex>c</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T1</tex>.*Разрежем эйлеров обход <tex>T1</tex> на две части:*: <tex>A1</tex> {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*: <tex>A2</tex> {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.*Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>B2</tex>.*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>A2</tex>.png |thumb|400px|center]]

Для связывания Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев <tex>T1 </tex> и <tex>T2</tex>, где будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска. Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.Для каждой вершины дерева <tex>c\in (T1\ </tex>, а <tex>g\in T2\)</tex> добавлением ребра <tex>\{cбудем хранить указатель на вершину в дереве поиска, g\} \</tex> необходимо:*Переподвесить дерево <tex>T1</tex> к вершине <tex>c</tex>которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход.*Переподвесить дерево Тогда за <tex>T2O(1)</tex> переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за <tex>g</tex>.*Соединить получившиеся эйлеровы обходы.*Добавить <tex>\{cO(\}log n)</tex> в конец последовательностиможно будет разделить дерево поиска на две части.

[[Файл:Link2Link22.png|thumb|400px |center]] В результате получим: [[Файл:Link3|Рис.1a Исходный лес <br>Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев<br> Рис.png|center1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов <br> Рис.1d Результирующий эйлеров обход]]

Для разбиения дерева на два поддерева путем разрезания удаления ребра <tex>\{(g, j\} \)</tex> необходимо:*Переподвесить дерево к вершине Найдем в эйлеровом обходе дерева <tex>T</tex> две пары посещений концов удаляемого ребра <tex>g,j</tex>.*Разделить дерево на части и <tex>E1j, V, E2g</tex>, где которые соответствуют прохождениям по ребру <tex>V(g, j)</tex> отрезок между первым и последним вхождением вершины в дереве <tex>jT</tex>.*Эйлеров Разрежем эйлеров обход первого поддерева образуется соединением дерева по этим парам на три части: <tex>E1A1, A2, A3</tex> и .*Соединив <tex>E2A1</tex>, с удалением повторного и <tex>\{g\}A3</tex> в месте их соединения.*Эйлеров (без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход второго поддерева образует первого дерева, а <tex>VA2</tex>дает эйлеров обход второго дерева.

[[Файл:Cut2Чтобы быстро находить места в эйлеровом обходе, которые соответствуют прохождению удаляемого ребра в дереве, будем для каждого ребра в дереве хранить ссылку на те места эйлерова обхода, где последовательно посещаем концы удаляемого ребра.Так, для ребра <tex>(g, j)</tex> храним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра.png|thumb|350px|center]]

В результате получим:[[Файл:Cut3Link23.png|thumb|350px400px|center|Рис.1a Исходное дерево <br>Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева<br> Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода <br> Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев]]

==Реализация структуры=Проверка на связность===Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.

{{Задача|definition = Определить структуру данных для хранения эйлеровых обходов деревьев для наиболее эффективного выполнения указанных операций.}}=Способы реализации структуры==

Рассмотрим следующие структуры данных для определения времени выполнения разбиения и соединения последовательностейБудем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, а также определение принадлежности вершин одной компоненте связностинапример, в виде [[Красно-черное дерево|красно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.

Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=Связные списки===pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees.]</ref>.

Каждое разбиение Операции объединения и соединение последовательностей требует <tex>O(1)</tex>. Для каждой вершины будем хранить указатели на первое и последнее вхождение вершины в последовательность. Тогда возможно определять первое и последнее вхождение вершины за <tex>O(1)</tex>. Однако,используя [[Список|двусвязные списки]] определение принадлежности вершин одной компоненте связности занимает <tex>O(\log n)</tex> в худшем случае. ===Balanced Trees===[[Файл:Balanced tree.png |center|Пример ]] Представим последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева. Будем использовать [[Красно-черное дерево|красно-черное дерево]]. Объединение и разделение красно-черных деревьев выполняется разделения также выполняются за <tex>O(\log n)</tex>.  Для каждой вершины храним указатели на её первое и последнее вхождение в последовательность. Значит, имеем доступ к ним за <tex>O(1)</tex>. Запрос о принадлежности вершин к одной компоненте связности выполняется за <tex>O(\log n)</tex> проверкой лежат ли эти вершины в одном дереве. [[Файл:Balanced tree1.png |center|Пример ]]