Деревья Эйлерова обхода — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Свойство эйлерова обхода)
(Декартово дерево по неявному ключу)
 
(не показаны 64 промежуточные версии 5 участников)
Строка 26: Строка 26:
 
<br>
 
<br>
  
===Свойство эйлерова обхода===
+
Представим дерево в виде последовательности вершин, посещенных в порядке эйлерова обхода, начиная с вершины <tex>a</tex>.
 
 
Представим дерево в виде последовательности вершин, посещеннных в порядке эйлерова обхода с корнем в вершине <tex>a</tex>.
 
 
[[Файл:Tour1.png|thumb|320px|center]]
 
[[Файл:Tour1.png|thumb|320px|center]]
При этом последовательность вершин между первым и последним вхождением вершины <tex>h</tex> дает эйлеров обход поддерева с корнем <tex>h</tex>.
 
[[Файл:Tour2.png|thumb|320px|center]]
 
  
==Операции==
+
==Операции c эйлеровыми обходами==
 
 
===Изменение корня дерева (переподвешивание)===
 
Дано дерево с корнем в вершине <tex>a</tex>. Требуется переподвесить его к вершине <tex>h</tex>.
 
 
 
[[Файл:Tour14.png |thumb|320px|center]]
 
 
 
Для переподвешивания (англ. ''rerooting'') необходимо:
 
*Разбить эйлеров обход на три части <tex>S1 </tex>, <tex>H</tex>, и <tex>S2 </tex>, где <tex>H</tex> состоит из вершин между первым и последним вхождением нового корня <tex>h</tex>.
 
*Удалить первую вершину в <tex>S1 </tex>.
 
*Соединить в следующем порядке: <tex>H</tex>, <tex>S2 </tex>, <tex>S1 </tex>.
 
*Добавить <tex>\{h\}</tex> в конец последовательности.
 
 
 
[[Файл:Tour13.png |thumb|320px|center]]
 
 
 
В результате получим:
 
 
 
[[Файл:Proba.png |center]]
 
  
 
===Добавление ребра===
 
===Добавление ребра===
  
[[Файл:Link11.png |thumb|400px|center]]
+
Для добавления ребра <tex>(c, g)</tex>:
 
+
*Выберем любое вхождение вершины <tex>c</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T1</tex>.
Для связывания деревьев <tex>T1 </tex> и <tex>T2</tex>, где <tex>c\in T1\ </tex>, а <tex>g\in T2\</tex> добавлением ребра <tex>\{c, g\} \</tex> необходимо:
+
*Разрежем эйлеров обход <tex>T1</tex> на две части:
*Переподвесить дерево <tex>T1</tex> к вершине <tex>c</tex>.
+
*: <tex>A1</tex> {{---}} часть обхода до выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
*Переподвесить дерево <tex>T2</tex> к вершине <tex>g</tex>.
+
*: <tex>A2</tex> {{---}} часть обхода после выбранного вхождения вершины <tex>c</tex>, включая ее.
*Соединить получившиеся эйлеровы обходы.
+
*Аналогично, выберем любое вхождение вершины <tex>g</tex> в эйлеров обход дерева <tex>T2</tex> и разрежем его на две части <tex>B1</tex> и <tex>B2</tex>.
*Добавить <tex>\{c\}</tex> в конец последовательности.
+
*Соберем результирующий эйлеров обход в порядке <tex>A1, B2, B1</tex> (без первой повторяющейся вершины), <tex>A2</tex>.
 
 
[[Файл:Link2.png|thumb|400px |center]]
 
  
В результате получим:
+
Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев <tex>T1</tex> и <tex>T2</tex>, будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска.
 +
Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.
 +
Для каждой вершины дерева <tex>(T1, T2)</tex> будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход.
 +
Тогда за <tex>O(1)</tex> переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за <tex>O(\log n)</tex> можно будет разделить дерево поиска на две части.
  
[[Файл:Link3.png|center]]
+
[[Файл:Link22.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходный лес <br>Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев<br> Рис.1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов <br> Рис.1d Результирующий эйлеров обход]]
  
 
===Разрезание ребра===
 
===Разрезание ребра===
[[Файл:Cut1.png|thumb|350px|center]]
 
 
Для разбиения дерева на два поддерева путем разрезания ребра <tex>\{g, j\} \</tex> необходимо:
 
*Переподвесить дерево к вершине <tex>g</tex>.
 
*Разделить дерево на части <tex>E1, V, E2</tex>, где <tex>V</tex> отрезок между первым и последним вхождением вершины <tex>j</tex>.
 
*Эйлеров обход первого поддерева образуется соединением <tex>E1</tex> и <tex>E2</tex>, с удалением повторного <tex>\{g\}</tex> в месте их соединения.
 
*Эйлеров обход второго поддерева образует <tex>V</tex>.
 
  
[[Файл:Cut2.png|thumb|350px|center]]
+
Для удаления ребра <tex>(g, j)</tex>:
 +
*Найдем в эйлеровом обходе дерева <tex>T</tex> две пары посещений концов удаляемого ребра <tex>g,j</tex> и <tex>j,g</tex>, которые соответствуют прохождениям по ребру <tex>(g, j)</tex> в дереве <tex>T</tex>.
 +
*Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на три части: <tex>A1, A2, A3</tex>.
 +
*Соединив <tex>A1</tex> и <tex>A3</tex> (без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход первого дерева, а <tex>A2</tex> дает эйлеров обход второго дерева.
  
В результате получим:
+
Чтобы быстро находить места в эйлеровом обходе, которые соответствуют прохождению удаляемого ребра в дереве, будем для каждого ребра в дереве хранить ссылку на те места эйлерова обхода, где последовательно посещаем концы удаляемого ребра.
[[Файл:Cut3.png|thumb|350px|center]]
+
Так, для ребра <tex>(g, j)</tex> храним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра.
  
==Реализация структуры==
+
[[Файл:Link23.png |thumb|400px|center|Рис.1a Исходное дерево <br>Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева<br> Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода <br> Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев]]
  
{{Задача
+
===Проверка на связность===
|definition = Определить структуру данных для хранения эйлеровых обходов деревьев для наиболее эффективного выполнения указанных операций.
+
Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.
}}
 
  
При представлении деревьев в виде их эйлерова обхода выполнение каждой операции <tex>\mathrm{link}</tex> и <tex>\mathrm{cut}</tex> сводится к <tex>O(1)</tex> соединений и разбиений отрезков в последовательности вершин эйлерова обхода.
+
==Способы реализации структуры==
  
Рассмотрим следующие структуры данных для определения времени выполнения разбиения и соединения последовательностей, а также определение принадлежности вершин одной компоненте связности.
+
===Сбалансированное дерево поиска===
  
===Связные списки===
+
Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде [[Красно-черное дерево|красно-черного дерева]]. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.
  
[[Файл:Linked lists.png |center]]
+
Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex><ref>[http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.109.4875&rep=rep1&type=pdf Ron Wein {{---}} Efficient Implementation of Red-Black Trees.]</ref>.
  
 +
===Декартово дерево по неявному ключу===
  
Каждое разбиение и соединение последовательностей требует <tex>O(1)</tex>.
+
Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в [[Декартово_дерево_по_неявному_ключу|декартовом дереве по неявному ключу]]. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из <tex>n</tex> вершин, будет поддерживаться равной <tex>O(\log n)</tex>.  
  
Для каждой вершины будем хранить указатели на первое и последнее вхождение вершины в последовательность. Тогда возможно определять первое и последнее вхождение вершины за <tex>O(1)</tex>.
+
Операции объединения и разделения также выполняются за <tex>O(\log n)</tex>.
 
 
Однако,используя [[Список|двусвязные списки]] определение принадлежности вершин одной компоненте связности занимает <tex>O(\log n)</tex> в худшем случае.
 
 
 
===Balanced Trees===
 
[[Файл:Balanced tree.png |center|Пример ]]
 
 
 
Представим последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева. Будем использовать [[Красно-черное дерево|красно-черное дерево]].
 
 
 
Объединение и разделение красно-черных деревьев выполняется за <tex>O(\log n)</tex>.  
 
 
 
Для каждой вершины храним указатели на её первое и последнее вхождение в последовательность. Значит, имеем доступ к ним за <tex>O(1)</tex>.
 
 
 
Запрос о принадлежности вершин к одной компоненте связности выполняется за <tex>O(\log n)</tex> проверкой лежат ли эти вершины в одном дереве.
 
 
 
[[Файл:Balanced tree1.png |center|Пример ]]
 
  
 
==См. также==
 
==См. также==
 
* [[Link-Cut Tree]]
 
* [[Link-Cut Tree]]
 +
 +
== Примечания ==
 +
<references/>
  
 
==Источники информации==
 
==Источники информации==
Строка 123: Строка 87:
 
* [http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring07/scribe/lec05.pdf Advanced Data Structures {{---}} Euler tour trees]
 
* [http://courses.csail.mit.edu/6.851/spring07/scribe/lec05.pdf Advanced Data Structures {{---}} Euler tour trees]
 
* [http://codeforces.com/blog/entry/18369?mobile=true&locale=en CodeForces {{---}} On Euler tour trees]
 
* [http://codeforces.com/blog/entry/18369?mobile=true&locale=en CodeForces {{---}} On Euler tour trees]
 +
* [http://logic.pdmi.ras.ru/csclub/node/2819 Лекториум{{---}} Лекция Павла Маврина об эйлеровых обходах]
  
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
 +
[[Категория: Обходы графов]]
 +
[[Категория: Эйлеровы графы]]

Текущая версия на 10:27, 26 октября 2019

Задача о динамической связности[править]

Задача:
Для динамически изменяющегося дерева выполнить следующие запросы:
  • [math]\mathrm{link(u, w)}[/math] — добавить ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] принадлежат разным деревьям),
  • [math]\mathrm{cut(u, w)}[/math] — разрезать ребро [math](u, w)[/math] (при условии, что ребро [math](u, w)[/math] принадлежит дереву),
  • [math]\mathrm{isConnected(u, w)}[/math] — определить принадлежат ли вершины [math]u[/math] и [math]w[/math] одной компоненте связности.


Для решения поставленной задачи будем представлять дерево в виде его эйлерова графа, а затем будем работать с эйлеровым обходом (англ.Euler tour tree) этого графа. Это позволит выполнять указанные запросы за [math]O(\log n)[/math].

Представление деревьев в виде эйлерова графа[править]

Пример дерева
Соответствующий эйлеров граф

Для представления дерева в виде эйлерового графа заменим каждое ребро [math]\{u, v\} \[/math] дерева на два ребра [math](u, v)[/math] и [math](v, u)[/math].

Получившийся ориентированный граф будет эйлеровым согласно критерию.







Представим дерево в виде последовательности вершин, посещенных в порядке эйлерова обхода, начиная с вершины [math]a[/math].

Tour1.png

Операции c эйлеровыми обходами[править]

Добавление ребра[править]

Для добавления ребра [math](c, g)[/math]:

  • Выберем любое вхождение вершины [math]c[/math] в эйлеров обход дерева [math]T1[/math].
  • Разрежем эйлеров обход [math]T1[/math] на две части:
    [math]A1[/math] — часть обхода до выбранного вхождения вершины [math]c[/math], включая ее.
    [math]A2[/math] — часть обхода после выбранного вхождения вершины [math]c[/math], включая ее.
  • Аналогично, выберем любое вхождение вершины [math]g[/math] в эйлеров обход дерева [math]T2[/math] и разрежем его на две части [math]B1[/math] и [math]B2[/math].
  • Соберем результирующий эйлеров обход в порядке [math]A1, B2, B1[/math] (без первой повторяющейся вершины), [math]A2[/math].

Чтобы быстро находить место, где разрезать эйлеровы обходы деревьев [math]T1[/math] и [math]T2[/math], будем хранить эйлеровы обходы в двоичных деревьях поиска. Ключом вершины для построения дерева поиска будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом. Для каждой вершины дерева [math](T1, T2)[/math] будем хранить указатель на вершину в дереве поиска, которая соответствует вхождению вершины дерева в эйлеров обход. Тогда за [math]O(1)[/math] переходим от вершины дерева к вершине дерева поиска, по которой за [math]O(\log n)[/math] можно будет разделить дерево поиска на две части.

Рис.1a Исходный лес
Рис.1b Эйлеровы обходы деревьев
Рис.1с Двоичные деревья поиска для хранения эйлеровых обходов
Рис.1d Результирующий эйлеров обход

Разрезание ребра[править]

Для удаления ребра [math](g, j)[/math]:

  • Найдем в эйлеровом обходе дерева [math]T[/math] две пары посещений концов удаляемого ребра [math]g,j[/math] и [math]j,g[/math], которые соответствуют прохождениям по ребру [math](g, j)[/math] в дереве [math]T[/math].
  • Разрежем эйлеров обход дерева по этим парам на три части: [math]A1, A2, A3[/math].
  • Соединив [math]A1[/math] и [math]A3[/math] (без повторяющейся первой вершины), получим эйлеров обход первого дерева, а [math]A2[/math] дает эйлеров обход второго дерева.

Чтобы быстро находить места в эйлеровом обходе, которые соответствуют прохождению удаляемого ребра в дереве, будем для каждого ребра в дереве хранить ссылку на те места эйлерова обхода, где последовательно посещаем концы удаляемого ребра. Так, для ребра [math](g, j)[/math] храним ссылки на узлы дерева поиска, соответствующие парам посещений концов этого ребра.

Рис.1a Исходное дерево
Рис.1b Эйлеров обход исходного дерева
Рис.1с Двоичное дерево поиска для хранения эйлерового обхода
Рис.1d Эйлеровы обходы получившихся деревьев

Проверка на связность[править]

Для того, чтобы проверить, лежат ли две вершины в одном дереве, достаточно подняться от вхождения каждой вершины в эйлеров обход (ссылку на которое мы храним) до корня дерева поиска, хранящего этот эйлеров обход.

Способы реализации структуры[править]

Сбалансированное дерево поиска[править]

Будем хранить последовательность вершин эйлерова обхода в виде сбалансированного двоичного дерева поиска, например, в виде красно-черного дерева. При построении дерева ключом вершины будет время посещения этой вершины эйлеровым обходом.

Операции объединения и разделения красно-черных деревьев выполняется за [math]O(\log n)[/math][1].

Декартово дерево по неявному ключу[править]

Также, можем хранить последовательности вершин эйлерова обхода в декартовом дереве по неявному ключу. Глубина декартового дерева, построенного на массиве из [math]n[/math] вершин, будет поддерживаться равной [math]O(\log n)[/math].

Операции объединения и разделения также выполняются за [math]O(\log n)[/math].

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]