Диаграмма Вороного — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Диаграмма k-го порядка)
(Алгоритм Чана)
 
(не показаны 32 промежуточные версии 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
{{В разработке}}
 
 
 
== Определения ==
 
== Определения ==
 
=== Совсем неформальное определение ===
 
=== Совсем неформальное определение ===
Строка 7: Строка 5:
  
 
=== Неформальное определение ===
 
=== Неформальное определение ===
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.
+
Есть множество точек <tex>P</tex> на плоскости. Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки <tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.
  
 
=== Формальное определение ===
 
=== Формальное определение ===
Строка 33: Строка 31:
 
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
 
|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>
 
}}
 
}}
Отсюда получаем, что что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.
+
Отсюда получаем, что ячейка Вороного — это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.
  
 
=== Топология диаграммы Вороного ===
 
=== Топология диаграммы Вороного ===
Строка 50: Строка 48:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
 
|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>n_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
+
|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>v_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также у из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (n + 1)</tex>.
+
Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>, так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (v + 1)</tex>.
 
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
 
Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \leqslant 2n - 5</tex>. Далее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.
 
}}
 
}}
Строка 80: Строка 78:
 
== Построение ==
 
== Построение ==
 
=== Наивный алгоритм ===
 
=== Наивный алгоритм ===
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо <tex>n</tex> раз пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.
+
Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>.
  
 
=== Инкрементальный алгоритм ===
 
=== Инкрементальный алгоритм ===
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала [[Локализация в ППЛГ методом полос (персистентные деревья)|найдём]] сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.
+
Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее.
  
В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое ребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее ребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое ребро <tex>e+1</tex>.
+
В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>.
  
 
Обновление РСДС происходит следующим образом:
 
Обновление РСДС происходит следующим образом:
  
* создаём вершину <tex>v</tex> с ребром <tex>e</tex>;
+
* создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;
* для ребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее ребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
+
* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e'</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\mathcal{V}(i+1)</tex>, справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;
* добавляем в РСДС ребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим ребром <tex>e</tex>;
+
* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с началом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;
* удаляем все рёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
+
* удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;
* обновляем ребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.
+
* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>.
  
 
Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.
 
Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>.
Строка 104: Строка 102:
 
|}
 
|}
  
== Диаграмма <tex>k</tex>-го порядка ==
+
=== Алгоритм Форчуна ===
Ячейка Вороного <tex>k</tex>-го порядка — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей определённое множество из <tex>k</tex> сайтов. Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, нужно взять диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка и заменить каждую ячейку (она будет для некоторого множества <tex>P_{k-1}</tex> из <tex>k - 1</tex> сайтов) на диаграмму Вороного на множестве остальных сайтов. Заменив её на диаграмму для остальных сайтов, мы фактически разделяем её на несколько частей. Каждая новая часть будет частью ячейки Вороного для какой-то точки не из <tex>P_{k-1}</tex>. Но так как в изначальной ячейке все точки являются ближайшими к сайтам из <tex>P_{k-1}</tex>, в итоге получается, что в полученных новых ячейках внутри изначальной все точки являются ближайшими к <tex>k</tex> точкам.
+
Построение производится при помощи заметающей прямой и парабол позади неё (параболы в данном случае - это множества точек, равноудалённых от вершины и прямой). Сама диаграмма "рисуется" местами соприкасания соседних парабол. Несмотря на то, что в теории движение прямой происходит непрерывно, сам алгоритм обрабатывает только крайние случаи, когда происходят события. Рассматривается 2 типа событий - появление новой параболы, когда заметающая прямая касается вершины, и схлопывание параболы - когда две соседние параболы её полностью накрывают. Всего событий <tex>O(n)</tex> (<tex>n</tex> - число вершин). Для каждого события вычисляется его время (позиция заметающей прямой), события кладутся в очередь с приоритетом (отсюда <tex>O(\log n)</tex> по времени) и обрабатываются, пока очередь непуста. При обработке событий также записываются пары взаимодействующих вершин (у которых сайты имеют общую границу), это и является результатом работы алгоритма.
 +
 
 +
Сложность работы алгоритма - <tex>O(n \log n)</tex> по времени и <tex>O(n)</tex> по памяти.
 +
 
 +
Более подробно:
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%87%D1%83%D0%BD%D0%B0 Описание алгоритма на Wikipedia]
 +
* [https://www2.cs.sfu.ca/~binay/813.2011/Fortune.pdf Презентация с описанием в деталях]
 +
 
 +
=== Алгоритм Чана ===
 +
Вершины проецируются из двумерной плоскости на поверхность параболоида (<tex>x, y</tex> остаются те же, добавляется <tex>z = x^2 + y^2</tex>). Далее по ним строится нижняя [[Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|выпуклая оболочка]]. Поскольку параболоид выпуклый, никакие вершины не будут удалены. На выходе получаются рёбра между вершинами, которые соответствуют триангуляции Делоне. Сложность работы - <tex>O(n \log n)</tex>.
 +
 
 +
== Диаграмма k-го порядка ==
 +
{{Определение
 +
|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.
 +
}}
 +
 
 +
Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для некоторого набора <tex>k-1</tex> сайтов. Обозначим множество этих сайтов за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка, построенной на множестве сайтов <tex>P \setminus S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k-1</tex>-го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки).
 +
 
 +
Итого совершаем <tex>k</tex> шагов, на каждом строим <tex>O(n)</tex> диграмм Вороного за время <tex>O(n^3)</tex>, пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex> времени, а потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение происходит за <tex>O(1)</tex> за счёт структуры РСДС). Итого <tex>O(k \cdot n^3)</tex>.
  
 
{|
 
{|
Строка 111: Строка 127:
 
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
 
|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]
 
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
 
|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма десятого порядка, она же farthest-point диаграмма для данного набора сайтов]]
+
|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]
 
|}
 
|}
  
 
== Farthest-point диаграмма ==
 
== Farthest-point диаграмма ==
Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
+
{{Определение
 +
|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''farthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.
 +
}}
 +
 
 +
=== Свойства ===
 +
{{Лемма
 +
|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.
 +
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-inside.png|200px|right]]Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки.
 +
 
 +
Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p_i</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём луч <tex>q p_i</tex>. Он пересечёт ребро выпуклой оболочки <tex>p_j p_k</tex>. Получатся два смежных угла, рассмотрим тот, который оказался прямым или тупым. Тогда в полученном треугольнике <tex>\rho(q, p_j) > \rho(q, p_i)</tex>, так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
 +
|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
 +
|proof=Докажем по индукции.
 +
 
 +
База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).
 +
 
 +
Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
 +
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
 
|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
 +
|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
 
}}
 
}}
  
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
 
|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
 +
|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
 
}}
 
}}
  
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого мы строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.
+
=== Алгоритм ===
 +
Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.
  
 
{|
 
{|
Строка 132: Строка 175:
  
 
Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.
 
Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>ccw(p_i)</tex> по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>p_i cw(p_i)</tex>. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.
 +
 +
== См. также ==
 +
* [[Трапецоидная карта]]
 +
* [[Триангуляция Делоне]]
 +
* [[Straight skeleton]]
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==
 
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
 
* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Инкрементальный алгоритм]
+
* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
 
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]
* [http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Диаграммы высших порядков]
+
* [https://web.archive.org/web/20170329014016/http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]
  
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 
[[Категория: Вычислительная геометрия]]
 +
[[Категория: Триангуляция Делоне и диаграмма Вороного]]

Текущая версия на 15:03, 20 января 2020

Определения[править]

Совсем неформальное определение[править]

Пример диаграммы Вороного

Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

Неформальное определение[править]

Есть множество точек [math]P[/math] на плоскости. Кусочек плоскости из точек [math]q[/math] такой, что для всех [math]q[/math] ближайшей точкой из множества [math]P[/math] является одна и та же точка [math]p[/math], называется ячейкой Вороного точки [math]p[/math]. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек [math]p_i \in P[/math] называется диаграммой Вороного для множества [math]P[/math].

Формальное определение[править]

[math]P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}[/math] — множество точек на плоскости.


Определение:
[math]p_i \in P[/math] называется сайтом (site).


Определение:
Ячейка Вороного (Voronoi cell, [math]\mathcal{V}(p_i)[/math]) — множество точек плоскости [math]q[/math] таких, что для фиксированного сайта [math]p_i[/math] и любых других сайтов [math]p_j \in P, \ j \neq i[/math] верно неравенство [math]\rho(q, p_i) \lt \rho(q, p_j)[/math].


Определение:
Диаграмма Вороного (Voronoi diagram, [math]Vor(P)[/math]) для сайтов [math]P = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}[/math] на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из [math]P[/math].


В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного как разбиение на ячейки, так и граф из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

Свойства[править]

Связь с пересечением полуплоскостей[править]

Возьмём две точки плоскости: [math]p[/math] и [math]q[/math]. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку [math]pq[/math]; полученную полуплоскость, которая содержит в себе [math]p[/math], обозначим [math]h(p, q)[/math], другую — [math]h(q, p)[/math]. Заметим, что для точки [math]r[/math] выполняется [math]r \in h(p, q)[/math] тогда и только тогда, когда [math]\rho(r, p) \lt \rho(r, q)[/math]. Отсюда вытекает следующее:

Утверждение:
[math]\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)[/math]

Отсюда получаем, что ячейка Вороного — это пересечение [math]n - 1[/math] полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем [math]n - 1[/math] вершинами и [math]n - 1[/math] рёбрами.

Топология диаграммы Вороного[править]

Теорема:
Пусть [math]P[/math] — множество из [math]n[/math] сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то [math]Vor(P)[/math] представляет собой [math]n - 1[/math] параллельную прямую. Иначе [math]Vor(P)[/math] связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Voronoi-not-lines.png
В случае, если все сайты лежат на одной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, и, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются [math]n - 1[/math] прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро [math]e[/math], являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек [math]\mathcal{V}(p_i)[/math] и [math]\mathcal{V}(p_j)[/math]. Пусть точка [math]p_k \in P[/math] не лежит на прямой [math]p_i p_j[/math] (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к [math]p_j p_k[/math] не параллелен [math]e[/math], и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть [math]e[/math], что лежит в [math]h(p_k, p_j)[/math], не может быть границей [math]\mathcal{V}(p_j)[/math], потому что она ближе к [math]p_k[/math], чем к [math]p_j[/math]. Пришли к противоречию.

Докажем теперь, что диаграмма связна. Предположим, что это не так. Тогда на её рёбрах найдутся две точки [math]s[/math] и [math]t[/math], между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок [math]st[/math]. Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках [math]a[/math] и [math]b[/math]. От точки [math]a[/math] до точки [math]b[/math] можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из [math]s[/math] в [math]t[/math] нет, то какая-то из ячеек, пересекаемых отрезком [math]st[/math], несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

Voronoi-connected.png
[math]\triangleleft[/math]

Размер структуры[править]

Теорема:
Для [math]n \geqslant 3[/math] сайтов диаграмма Вороного содержит не больше [math]2n - 5[/math] вершин и [math] 3n - 6[/math] рёбер.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Voronoi-infinite-vertex.png
Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По формуле Эйлера [math]v - e + f = 2[/math], где [math]v[/math] — число вершин, [math]e[/math] — число рёбер и [math]f[/math] — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к [math]Vor(P)[/math], потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину [math]v_\infty[/math], и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно [math]n[/math] по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем [math](v + 1) - e + n = 2[/math].

Сумма степеней всех вершин полученного графа равна [math]2e[/math], так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем [math]2e \geqslant 3 (v + 1)[/math].

Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для [math]2 \cdot e[/math], в результате получим [math] v \leqslant 2n - 5[/math]. Далее подставим этот результат в равенство и получим [math]e \leqslant 3n - 6[/math], что и требовалось доказать.
[math]\triangleleft[/math]

Связь с триангуляцией Делоне[править]

Определение:
Наибольшая пустая окружность точки [math]q[/math] по отношению к [math]P[/math] (largest empty circle of [math]q[/math] with respect to [math]P[/math], [math]C_P(q)[/math]) — наибольшая окружность с центром в [math]q[/math] такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из [math]P[/math].


Лемма:
Точка [math]q[/math] — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда [math]C_P(q)[/math] содержит три и более сайтов на своей границе.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Предположим, что [math]q[/math] существует, а [math]p_i, \ p_j, \ p_k[/math] — соответствующие точки. Так как внутри [math]C_P(q)[/math] нет других сайтов, а [math]q[/math] равноудалена от точек [math]p_i, \ p_j, \ p_k[/math], [math]q[/math] должна быть на границе [math]\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)[/math] одновременно, то есть вершиной диаграммы.

Докажем в другую сторону: каждая вершина [math]q[/math] диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам [math]\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)[/math]. Тогда [math]q[/math] лежит на равном расстоянии от [math]p_i, \ p_j, \ p_k[/math] и не может быть другого сайта ближе к [math]q[/math], так как иначе [math]\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)[/math] не сойдутся в [math]q[/math]. Поэтому можно построить окружность с центром в [math]q[/math] и [math]p_i, \ p_j, \ p_k[/math] на границе так, что внутри не будет других сайтов.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Серединный перпендикуляр к отрезку [math]p_i p_j[/math] образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка [math]q[/math] такая, что [math]C_P(q)[/math] содержит на своей границе только сайты [math]p_i, \ p_j[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Voronoi-circles.png
Предположим, что [math]q[/math] существует. Тогда, так как [math]C_P(q)[/math] не содержит в себе сайтов и содержит [math]p_i, \ p_j[/math] на границе, [math] \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n[/math]. Отсюда выходит, что [math]q[/math] — вершина [math]Vor(P)[/math] или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что [math]q[/math] не может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, заданном серединным перпендикуляром к [math]p_i p_j[/math]. Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к [math]p_i p_j[/math] задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки [math]q[/math] на этом ребре должна содержать на границе [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] (так как [math]q[/math] равноудалена от [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math]). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она является вершиной.
[math]\triangleleft[/math]
Теорема:
Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится триангуляция Делоне для этого множества точек.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Если ячейки, соответствующие сайтам [math]p_i, \ p_j[/math], смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку [math]p_i p_j[/math] образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с [math]p_i[/math] и [math]p_j[/math] на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат те и только те рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро [math]p_i p_j[/math] является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.
[math]\triangleleft[/math]

Построение[править]

Наивный алгоритм[править]

Будем пересекать полуплоскости по свойству ячейки диаграммы. Необходимо для каждого сайта пересечь [math]n - 1[/math] плоскость, что суммарно делается за [math]O(n^2 \log n)[/math].

Инкрементальный алгоритм[править]

Храним диаграмму в РСДС. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек [math]p_1, p_2, ..., p_i[/math]. Добавим новый сайт [math]p_{i+1}[/math]. Сначала найдём сайт [math]p_j[/math], в ячейку которого попадает [math]p_{i+1}[/math], перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для [math]p_{i+1}p_j[/math], он пересечёт границу ячейки [math]\mathcal{V}(p_j)[/math] с ячейкой [math]\mathcal{V}(p_k)[/math]; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для [math]p_{i+1} p_k[/math] и так далее.

В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро [math]e[/math], порождаемое [math]p_{i+1}[/math] и [math]p_j[/math], пересекает существовавшее ранее полуребро [math]e'[/math], создаётся новая вершина [math]v[/math] и начинается новое полуребро [math]e+1[/math].

Обновление РСДС происходит следующим образом:

  • создаём вершину [math]v[/math] с полуребром [math]e[/math];
  • для полуребра [math]e[/math] в РСДС второй конец в вершине [math]v[/math], следующее полуребро — [math]e'[/math], инцидентные грани — слева [math]\mathcal{V}(i+1)[/math], справа — [math]\mathcal{V}(j)[/math];
  • добавляем в РСДС полуребро [math]e + 1[/math] с началом в [math]v[/math] и предыдущим полуребром [math]e[/math];
  • удаляем все полурёбра, лежащие между вершиной начала [math]e[/math] и вершиной конца [math]e[/math], по часовой стрелке;
  • обновляем полуребро, соответствующее грани для [math]\mathcal{V}(p_j)[/math] — им становится [math]e[/math].

Каждый шаг выполняется за [math]O(i)[/math], значит, суммарно диаграмма из [math]n[/math] сайтов с нуля создаётся за [math]O(n^2)[/math].

Локализация
Добавление первого ребра
Добавление третьего ребра
Обновление структуры при добавлении ребра

Алгоритм Форчуна[править]

Построение производится при помощи заметающей прямой и парабол позади неё (параболы в данном случае - это множества точек, равноудалённых от вершины и прямой). Сама диаграмма "рисуется" местами соприкасания соседних парабол. Несмотря на то, что в теории движение прямой происходит непрерывно, сам алгоритм обрабатывает только крайние случаи, когда происходят события. Рассматривается 2 типа событий - появление новой параболы, когда заметающая прямая касается вершины, и схлопывание параболы - когда две соседние параболы её полностью накрывают. Всего событий [math]O(n)[/math] ([math]n[/math] - число вершин). Для каждого события вычисляется его время (позиция заметающей прямой), события кладутся в очередь с приоритетом (отсюда [math]O(\log n)[/math] по времени) и обрабатываются, пока очередь непуста. При обработке событий также записываются пары взаимодействующих вершин (у которых сайты имеют общую границу), это и является результатом работы алгоритма.

Сложность работы алгоритма - [math]O(n \log n)[/math] по времени и [math]O(n)[/math] по памяти.

Более подробно:

Алгоритм Чана[править]

Вершины проецируются из двумерной плоскости на поверхность параболоида ([math]x, y[/math] остаются те же, добавляется [math]z = x^2 + y^2[/math]). Далее по ним строится нижняя выпуклая оболочка. Поскольку параболоид выпуклый, никакие вершины не будут удалены. На выходе получаются рёбра между вершинами, которые соответствуют триангуляции Делоне. Сложность работы - [math]O(n \log n)[/math].

Диаграмма k-го порядка[править]

Определение:
Ячейка Вороного [math]k[/math]-го порядка ([math]\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)[/math]) — множество точек, имеющих в качестве ближайших [math]k[/math] соседей множество сайтов [math]p_1, p_2, ..., p_k[/math].


Чтобы построить диаграмму [math]k[/math]-го порядка, возьмём диаграмму [math]k - 1[/math]-го порядка. Каждая ячейка построена для некоторого набора [math]k-1[/math] сайтов. Обозначим множество этих сайтов за [math]S[/math]. Пересечём каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка, построенной на множестве сайтов [math]P \setminus S[/math]. Когда мы пересекаем ячейку [math]k-1[/math]-го порядка для точек [math]S[/math] с ячейкой первого порядка для точки [math]p_i[/math], получаем ячейку для множества [math]S \cup \{p_i\}[/math]. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки).

Итого совершаем [math]k[/math] шагов, на каждом строим [math]O(n)[/math] диграмм Вороного за время [math]O(n^3)[/math], пересекаем [math]O(n)[/math] ячеек с [math]O(n)[/math] ячейками за [math]O(n)[/math] времени, а потом объединяем ячейки за [math]O(n)[/math] (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение происходит за [math]O(1)[/math] за счёт структуры РСДС). Итого [math]O(k \cdot n^3)[/math].

Диаграмма первого порядка
Диаграмма второго порядка
Диаграмма третьего порядка
Диаграмма [math]n - 1[/math]-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов

Farthest-point диаграмма[править]

Определение:
Диаграмма [math]n - 1[/math]-го порядка является farthest-point диаграммой, т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.


Свойства[править]

Лемма:
Для любой точки [math]q[/math] плоскости самый удалённый от неё сайт из [math]P[/math] должен лежать на выпуклой оболочке [math]P[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Voronoi-farthest-inside.png
Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки. Пусть самый удалённый от точки [math]q[/math] сайт [math]p_i[/math] не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё). Проведём луч [math]q p_i[/math]. Он пересечёт ребро выпуклой оболочки [math]p_j p_k[/math]. Получатся два смежных угла, рассмотрим тот, который оказался прямым или тупым. Тогда в полученном треугольнике [math]\rho(q, p_j) \gt \rho(q, p_i)[/math], так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
Пусть это не так и сайт [math]p[/math] лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка [math]q[/math]. Но по предыдущей лемме самый удалённый для [math]q[/math] сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт [math]p[/math] не может быть самым удалённым для [math]q[/math]. Пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]
Лемма:
Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Докажем по индукции.

База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (дальняя от сайта полуплоскость).

Переход: добавим сайт [math]p[/math] так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между [math]p[/math] и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если [math]p[/math] совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.
[math]\triangleright[/math]
Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.
[math]\triangleleft[/math]
Утверждение:
Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.
[math]\triangleright[/math]
Voronoi-farthest-unbounded.png
Пусть [math]p_i[/math] — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а [math]q[/math] — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на [math]p_i q[/math], начинающемся в [math]q[/math] и не проходящим через [math]p_i[/math], сайт [math]p_i[/math] будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта [math]p_i[/math] в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.
[math]\triangleleft[/math]

Алгоритм[править]

Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через [math]p_1, p_2, ..., p_m[/math]. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке ([math]cw(p_i)[/math]) и против часовой ([math]ccw(p_i)[/math]) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек (пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления.

Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы

Для точки [math]p_i[/math] ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими [math]cw(p_i)[/math] и [math]ccw(p_i)[/math]. Перед добавлением [math]p_i[/math] [math]cw(p_i)[/math] и [math]ccw(p_i)[/math] — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к [math]p_i ccw(p_i)[/math] даст новое ребро, которое лежит в farthest-point ячейке [math]ccw(p_i)[/math] и является частью границы ячейки [math] p_i[/math]. Обойдём ячейку [math]ccw(p_i)[/math] по часовой стрелке, чтоб понять, какое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки [math]p_j[/math], и серединный перпендикуляр [math]p_i p_j[/math] тоже даст ребро ячейке [math]p_i[/math]. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для [math]p_i cw(p_i)[/math]. После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки.

См. также[править]

Источники[править]