Изменения

{{В разработке}}== Определения ====Обозначения и определения= Совсем неформальное определение ==='''Сайт''' (''site'') {{[[Файл:voronoi---}} общее название diagram.png|200px|thumb|right|Пример диаграммы Вороного]]Пусть есть карта города, на которой точками обозначены почтовые отделения. Человек хочет отправить письмо, и он пойдёт на ближайшую почту. Ему интересно знать, какое отделение ближе, для любой точки <tex>p</tex> или замкнутого отрезка <tex>t</tex>города — необходимость отправить письмо может наступить неожиданно. Для этого он может взять карту и расчертить её на ячейки так, чтобы внутри каждой ячейки находилось только одно отделение, а для всех остальных точек ячейки именно эта почта была ближайшей. Полученная картинка и будет диаграммой Вороного для точек-почт.

=== Неформальное определение ===Есть множество точек <tex>t^\circP</tex> {{---}} внутренность отрезкана плоскости. Внутренность Кусочек плоскости из точек <tex>q</tex> такой, что для всех <tex>q</tex> ближайшей точкой из множества <tex>P</tex> является одна и та же точка <tex>p</tex>, называется ячейкой Вороного точки {{---}} пустое множество<tex>p</tex>. Разбиение плоскости на такие ячейки для всех точек <tex>p_i \in P</tex> называется диаграммой Вороного для множества <tex>P</tex>.

Два замкнутых пересекающихся сайта '''слабо пересекаются''' (''weakly intersect'')=== Формальное определение ===<tex>P = \{ p_1, если точка их пересечения не принадлежит их внутренностямp_2, то есть они касаются концами..., p_n\}</tex> — множество точек на плоскости.

Два сайта {{Определение|definition=<tex>p_i \in P</tex> называется '''сильно пересекаютсясайтом''' (''strongly intersectsite''), если точка их пересечения принадлежит внутренности хотя бы одного из данных сайтов.}}

Расстояние от точки {{Определение|definition='''Ячейка Вороного''' (''Voronoi cell'', <tex>x \in \mathbbmathcal{EV}^2(p_i)</tex>) — множество точек плоскости <tex>q</tex> до замкнутого таких, что для фиксированного сайта <tex>S_ip_i</tex>: и любых других сайтов <tex>p_j \delta(xin P, S_i) = \min{j \{||x - y|| : y neq i</tex> верно неравенство <tex>\in S_irho(q, p_i) < \}}rho(q, p_j)</tex>.}}

Пусть <tex>H_{ij} {Определение|definition= \{x \in \mathbb{E}^2 : \delta(x, S_i) \le \delta(x, S_j)\}</tex>. '''Ячейка Диаграмма Вороного''' (''Voronoi celldiagram'') , <tex>VVor(S_iP)</tex> {{---}} множество точек, которые находятся ближе к ) для сайтов <tex>S_iP = \{ p_1, p_2, ..., p_n\}</tex>, чем к любому другому сайту, то есть на плоскости — это разбиение плоскости на ячейки Вороного для каждого сайта из <tex>V(S_i) = \cap_{i \ne j}H_{ij}P</tex>. }}

'''Ребро В зависимости от контекста будем называть диаграммой Вороного''' (''Voronoi edge'') {{---}} непрерывное множество точеккак разбиение на ячейки, которые принадлежат пересечению ровно двух ячеек Вороноготак и [[Основные определения теории графов|граф]] из вершин и рёбер, составляющих эти ячейки.

'''Вершина Вороного''' == Свойства ===== Связь с пересечением полуплоскостей ===Возьмём две точки плоскости: <tex>p</tex> и <tex>q</tex>. Проведём серединный перпендикуляр к отрезку <tex>pq</tex>; полученную полуплоскость, которая содержит в себе <tex>p</tex>, обозначим <tex>h(p, q)</tex>, другую — <tex>h(q, p)</tex>. Заметим, что для точки <tex>r</tex> выполняется <tex>r \in h(p, q)</tex> тогда и только тогда, когда <tex>\rho(r, p) < \rho(''Voronoi vertex''r, q) </tex>. Отсюда вытекает следующее:{{---Утверждение|id=intersect|statement=<tex>\mathcal{V}(p_i) = \bigcap\limits_{1 \leqslant j \leqslant n, j \neq i} h(p_i, p_j)</tex>}} точкаОтсюда получаем, которая принадлежит хотя бы трём ячейкам что ячейка Вороного— это пересечение <tex>n - 1</tex> полуплоскостей, и поэтому представляет собой (возможно, неограниченную) открытую выпуклую область с не более чем <tex>n - 1</tex> вершинами и <tex>n - 1</tex> рёбрами.

'''Диаграмма === Топология диаграммы Вороного''' (''Voronoi diagram'') ==={{Теорема|statement=Пусть <tex>P</tex> — множество из <tex>n</tex> сайтов. Если они все лежат на одной прямой, то <tex>VVor(\SigmaP)</tex> множества сайтов представляет собой <tex>\Sigman - 1</tex> {{параллельную прямую. Иначе <tex>Vor(P)</tex> связная и все её рёбра — либо отрезки, либо лучи.|proof=[[Файл:voronoi-not--}} разбиение плоскости lines.png|200px|right]] В случае, если все сайты лежат на вершиныодной прямой, каждая пара соседних сайтов порождает серединный перпендикуляр к отрезку, содержащему их, рёбра и ячейки Вороного, соответственно, к прямой, которая содержит все сайты. Так получаются <tex>n - 1</tex> прямая, каждая из которых перпендикулярна прямой, содержащей сайты, а значит, эти прямые параллельны.

'''1-каркас''' Рассмотрим теперь случай, когда сайты не лежат на одной прямой. Покажем, что рёбра — это отрезки или лучи, от противного. Предположим, что есть ребро <tex>e</tex>, являющееся прямой. Пусть оно — граница ячеек <tex>\mathcal{V}(''1-skeleton''p_i) </tex> и <tex>V_1\mathcal{V}(p_j)</tex>. Пусть точка <tex>p_k \Sigmain P</tex> не лежит на прямой <tex>p_i p_j</tex> (по условию такая точка существует). Тогда серединный перпендикуляр к <tex>p_j p_k</tex> не параллелен <tex>e</tex>, и, значит, он его пересекает. Но тогда та часть <tex>e</tex>, что лежит в <tex>h(p_k, p_j)</tex>, не может быть границей <tex>\mathcal{{---V}} набор вершин и рёбер Вороного(p_j)</tex>, потому что она ближе к <tex>p_k</tex>, чем к <tex>p_j</tex>. Пришли к противоречию.

В процессе работы алгоритма множество сайтовДокажем теперь, которые подаются на входчто диаграмма связна. Предположим, может изменитьсячто это не так. Чтобы различать начальное Тогда на её рёбрах найдутся две точки <tex>s</tex> и конечное множество сайтов<tex>t</tex>, будем обозначать входное множество через между которыми нет пути по рёбрам диаграммы. Рассмотрим отрезок <tex>\Sigma_Ist</tex>, а множество сайтов, которые присутствуют на результирующей диаграмме Вороного, через . Он пересекает некоторое количество ячеек диаграммы. Пусть он пересекает какую-то ячейку в точках <tex>a</tex> и <tex>\Sigmab</tex>. От точки <tex>\Sigma_I всегда состоит a</tex> до точки <tex>b</tex> можно добраться по рёбрам тогда и только тогда, когда ячейка связна. Раз пути из замкнутых сайтов, а <tex>\Sigmas</tex> в <tex>t</tex> {{-нет, то какая--}} то из точек и открытых отрезковячеек, пересекаемых отрезком <tex>st</tex>, несвязная. Это возможно, только если она представляет собой полосу, ограниченную двумя параллельными прямыми. Но в нашем случае в диаграмме не может быть прямых, пришли к противоречию.

Пусть сайты <tex>S_i</tex> и <tex>S_j</tex> слабо пересекаются. Тогда '''битангентная окружность Вороного''' (''bitangent Voronoi circle'') <tex>C_{ij}</tex> {{--[[Файл:voronoi-}} окружность, касающаяся одновременно <tex>S_i</tex> и <tex>S_j</tex>connected. При рассмотрении трёх сайтов <tex>S_i</tex>, <tex>S_j</tex> и <tex>S_k</tex>, окружность, касающаяся всех трёх сайтов, называется '''тритангентной окружностью Вороного''' (''tritangent Voronoi circle''). Точки, принадлежащие рёбрам Вороного, являются центрами битангентных окружностей, а вершины {{---png|500px]]}} тритангентных.

Рассмотрим === Размер структуры ==={{Теорема|statement=Для <tex>n \geqslant 3</tex> сайтов диаграмма Вороного содержит не больше <tex>2n - 5</tex> вершин и <tex> 3n - 6</tex> рёбер.|proof=[[Файл:voronoi-infinite-vertex.png|200px|right]]Для случая сайтов, лежащих на одной прямой, утверждение напрямую следует из вида диаграммы для этого случая, поэтому рассмотрим общий случай. По [[Формула Эйлера|формуле Эйлера]] <tex>v - e + f = 2</tex>, где <tex>v</tex> — число вершин, <tex>e</tex> — число рёбер и <tex>f</tex> — число граней связного планарного графа. Мы не можем сразу применить эту формулу к <tex>Vor(P)</tex>, потому что в этом графе есть полубесконечные рёбра. Поэтому добавим вершину <tex>v_\infty</tex>, и все полубесконечные рёбра мы превратим в рёбра, инцидентные ей. Таким образом мы увеличили число вершин на одну, а число рёбер не изменилось. Число граней равно <tex>n</tex> по определению диаграммы Вороного. Тогда по формуле Эйлера получаем <tex>(v + 1) - e + n = 2</tex>.Сумма степеней всех вершин полученного графа равна <tex>2e</tex>S , так как у каждого ребра есть ровно два конца (нет петель). Также из каждой вершины исходят как минимум три ребра. Отсюда получаем <tex>2e \geqslant 3 (v + 1)</tex>.Домножим равенство на два и вычтем из него полученную нижнюю границу для <tex>2 \notin cdot e</tex>, в результате получим <tex> v \Sigma_Ileqslant 2n - 5</tex>. Будем говоритьДалее подставим этот результат в равенство и получим <tex>e \leqslant 3n - 6</tex>, что и требовалось доказать.}} === Связь с триангуляцией Делоне ==={{Определение|definition='''Наибольшая пустая окружность''' точки <tex>q</tex> по отношению к <tex>SP</tex> (''largest empty circle of 'конфликтует'<tex>q</tex>'' with respect to '' <tex>P</tex>, <tex>C_P(q)</tex>) — наибольшая окружность с окружностью центром в <tex>q</tex> такая, что во внутренности соответствующего ей круга не лежит ни одного сайта из <tex>P</tex>.}} {{Лемма|statement=Точка <tex>q</tex> — вершина диаграммы Вороного в том и только в том случае, когда <tex>CC_P(q)</tex>содержит три и более сайтов на своей границе.|proof=Предположим, что <tex>q</tex> существует, а <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> — соответствующие точки. Так как внутри <tex>C_P(q)</tex> нет других сайтов, а <tex>q</tex> равноудалена от точек <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex>, <tex>q</tex> должна быть на границе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> одновременно, то есть вершиной диаграммы.Докажем в другую сторону: каждая вершина <tex>q</tex> диаграммы инцидентна минимум трём рёбрам, и, поэтому, как минимум трём ячейкам <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex>. Тогда <tex>q</tex> лежит на равном расстоянии от <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> и не может быть другого сайта ближе к <tex>q</tex>, так как иначе <tex>\mathcal{V}(p_i), \ \mathcal{V}(p_j), \ \mathcal{V}(p_k)</tex> не сойдутся в <tex>q</tex>. Поэтому можно построить окружность с центром в <tex>q</tex> и <tex>p_i, \ p_j, \ p_k</tex> на границе так, что внутри не будет других сайтов.}} {{Лемма|statement=Серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного в том и только в том случае, если на нём есть точка <tex>q</tex>Sтакая, что <tex>C_P(q)</tex> содержит на своей границе только сайты <tex>p_i, \ p_j</tex>.|proof=[[Файл:voronoi-circles.png|200px|right]]Предположим, что <tex>q</tex> существует. Тогда, так как <tex>C_P(q)</tex> не содержит в себе сайтов и содержит <tex>p_i, \ p_j</tex> на границе, <tex> \rho(q, p_i) = \rho(q, p_j) \leqslant \rho(q, p_k), \ 1 \leqslant k \leqslant n</tex>. Отсюда выходит, что <tex>q</tex> — вершина <tex>Vor(P)</tex> или лежит на ребре диаграммы. Но по предыдущей лемме выходит, что <tex>q</tex> пересекается с кругомне может быть вершиной диаграммы. Значит, она лежит на ребре, ограниченным заданном серединным перпендикуляром к <tex>p_i p_j</tex>. Докажем в другую сторону: пусть серединный перпендикуляр к <tex>p_i p_j</tex> задаёт ребро диаграммы. Наибольшая пустая окружность любой точки <tex>q</tex> на этом ребре должна содержать на границе <tex>p_i</tex> и <tex>p_j</tex> (так как <tex>q</tex> равноудалена от <tex>p_i</tex> и <tex>Cp_j</tex>). Также эта окружность не должна содержать никаких других сайтов на границе, так как тогда она не является вершиной.}} {{Теорема|statement=Если соединить все сайты, соответствующие смежным ячейкам диаграммы Вороного, получится [[триангуляция Делоне]] для этого множества точек.|proof=Если ячейки, соответствующие сайтам <tex>p_i, \ p_j</tex>, смежны, то серединный перпендикуляр к отрезку <tex>p_i p_j</tex> образует ребро диаграммы Вороного, то есть к нему применима предыдущая лемма и можно построить окружность с <tex>p_i</tex> и <tex>Sp_j</tex> конфликтует на границе, внутри которой не будет других сайтов. Триангуляции Делоне принадлежат [[Триангуляция Делоне#Критерий Делоне для рёбер|те и только те]] рёбра (с поправкой на точки, лежащие на одной окружности), на которых можно построить такую окружность, что внутри неё не будет лежать никаких точек. Тогда ребро <tex>p_i p_j</tex> является ребром триангуляции Делоне. За счёт равносильности в обеих используемых леммах мы добавим все рёбра и не построим лишних.}} == Построение ===== Наивный алгоритм ===Будем [[Пересечение полуплоскостей, связь с выпуклыми оболочками|пересекать полуплоскости]] по [[#intersect|свойству ячейки диаграммы]]. Необходимо для каждого сайта пересечь <tex>n - 1</tex> плоскость, что суммарно делается за <tex>O(n^2 \log n)</tex>. === Инкрементальный алгоритм ===Храним диаграмму в [[ППЛГ и РСДС (PSLG и DCEL): определение, построение РСДС множества прямых|РСДС]]. Пусть у нас уже есть диаграмма для точек <tex>p_1, p_2, ..., p_i</tex>. Добавим новый сайт <tex>p_{i+1}</tex>. Сначала найдём сайт <tex>p_j</tex>, в ячейку которого попадает <tex>p_{i+1}</tex>, перебором. После этого строим новую ячейку: сначала проведём серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1}p_j</tex>, он пересечёт границу ячейки <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> с ячейкой <tex>\mathcal{V}(p_k)</tex>; на следующем шаге будем строить серединный перпендикуляр для <tex>p_{i+1} p_k</tex> и так далее. В процессе построения перпендикуляров необходимо обновлять РСДС. Каждый раз, когда новое полуребро <tex>e</tex>, порождаемое <tex>p_{i+1}</tex> и <tex>p_j</tex>, пересекает существовавшее ранее полуребро <tex>e'</tex>, создаётся новая вершина <tex>v</tex> и начинается новое полуребро <tex>e+1</tex>. Обновление РСДС происходит следующим образом: * создаём вершину <tex>v</tex> с полуребром <tex>e</tex>;* для полуребра <tex>e</tex> в РСДС второй конец в вершине <tex>v</tex>, следующее полуребро — <tex>e '</tex>, инцидентные грани — слева <tex>\in mathcal{V}(Si+1)</tex>, если он пересекается справа — <tex>\mathcal{V}(j)</tex>;* добавляем в РСДС полуребро <tex>e + 1</tex> с кругомначалом в <tex>v</tex> и предыдущим полуребром <tex>e</tex>;* удаляем все полурёбра, ограниченным одной лежащие между вершиной начала <tex>e</tex> и вершиной конца <tex>e</tex>, по часовой стрелке;* обновляем полуребро, соответствующее грани для <tex>\mathcal{V}(p_j)</tex> — им становится <tex>e</tex>. Каждый шаг выполняется за <tex>O(i)</tex>, значит, суммарно диаграмма из окружностей Вороного <tex>n</tex> сайтов с нуля создаётся за <tex>O(n^2)</tex>. {||[[Файл:voronoi-incremental-zero-step.png|200px|thumb|Локализация]]|[[Файл:voronoi-incremental-first-step.png|200px|thumb|Добавление первого ребра]]|[[Файл:voronoi-incremental.png|200px|thumb|Добавление третьего ребра]]|[[Файл:voronoi-update-dcel.png|400px|thumb|Обновление структуры при добавлении ребра]]|} === Алгоритм Форчуна ===Построение производится при помощи заметающей прямой и парабол позади неё (параболы в данном случае - это множества точек, равноудалённых от вершины и прямой). Сама диаграмма "рисуется" местами соприкасания соседних парабол. Несмотря на то, что в теории движение прямой происходит непрерывно, сам алгоритм обрабатывает только крайние случаи, когда происходят события. Рассматривается 2 типа событий - появление новой параболы, когда заметающая прямая касается вершины, и схлопывание параболы - когда две соседние параболы её полностью накрывают. Всего событий <tex>O(n)</tex> (<tex>n</tex> - число вершин). Для каждого события вычисляется его время (позиция заметающей прямой), события кладутся в очередь с приоритетом (отсюда <tex>O(\log n)</tex> по времени) и обрабатываются, пока очередь непуста. При обработке событий также записываются пары взаимодействующих вершин (у которых сайты имеют общую границу), это и является результатом работы алгоритма. Сложность работы алгоритма - <tex>O(n \log n)</tex> по времени и <tex>O(n)</tex> по памяти. Более подробно:* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%90%D0%BB%D0%B3%D0%BE%D1%80%D0%B8%D1%82%D0%BC_%D0%A4%D0%BE%D1%80%D1%87%D1%83%D0%BD%D0%B0 Описание алгоритма на Wikipedia]* [https://www2.cs.sfu.ca/~binay/813.2011/Fortune.pdf Презентация с центром описанием в точкедеталях] === Алгоритм Чана ===Вершины проецируются из двумерной плоскости на поверхность параболоида (<tex>x, y</tex> остаются те же, добавляется <tex>z = x^2 + y^2</tex>). Далее по ним строится нижняя [[Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|выпуклая оболочка]]. Поскольку параболоид выпуклый, никакие вершины не будут удалены. На выходе получаются рёбра между вершинами, принадлежащей которые соответствуют триангуляции Делоне. Сложность работы - <tex>eO(n \log n)</tex>.  == Диаграмма k-го порядка =={{Определение|definition='''Ячейка Вороного''' <tex>k</tex>'''Область конфликтов-го порядка''' (<tex>\mathcal{V}_k(p_1, p_2, ..., p_k)</tex>) — множество точек, имеющих в качестве ближайших <tex>k</tex> соседей множество сайтов <tex>p_1, p_2, ..., p_k</tex>.}} Чтобы построить диаграмму <tex>k</tex>-го порядка, возьмём диаграмму <tex>k - 1</tex>-го порядка. Каждая ячейка построена для некоторого набора <tex>k-1</tex> сайтов. Обозначим множество этих сайтов за <tex>S</tex>. [[Пересечение выпуклых многоугольников|Пересечём]] каждую из этих ячеек с ячейками диаграммы первого порядка, построенной на множестве сайтов <tex>P \setminus S</tex>. Когда мы пересекаем ячейку <tex>k-1</tex>-го порядка для точек <tex>S</tex> с ячейкой первого порядка для точки <tex>p_i</tex>, получаем ячейку для множества <tex>S \cup \{p_i\}</tex>. После пересечения ячеек необходимо объединить те, которые отвечают за одинаковый набор сайтов (это могут быть только соседние по ребру ячейки). Итого совершаем <tex>k</tex> шагов, на каждом строим <tex>O(n)</tex> диграмм Вороного за время <tex>O(n^3)</tex>, пересекаем <tex>O(n)</tex> ячеек с <tex>O(n)</tex> ячейками за <tex>O(n)</tex> времени, а потом объединяем ячейки за <tex>O(n)</tex> (линейное количество соседних рёбер ячейки, а объединение происходит за <tex>O(1)</tex> за счёт структуры РСДС). Итого <tex>O(k \cdot n^3)</tex>. {||[[Файл:voronoi-first-order.png|200px|thumb|Диаграмма первого порядка]]|[[Файл:voronoi-second-order.png|200px|thumb|Диаграмма второго порядка]]|[[Файл:voronoi-third-order.png|200px|thumb|Диаграмма третьего порядка]]|[[Файл:voronoi-tenth-order.png|200px|thumb|Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка (она же farthest-point диаграмма) для данного набора сайтов]]|} == Farthest-point диаграмма =={{Определение|definition=Диаграмма <tex>n - 1</tex>-го порядка является '''conflict regionfarthest-point диаграммой''', т.е. в каждой её ячейке все точки являются наиболее удалёнными от какого-то сайта.}} === Свойства ==={{Лемма|statement=Для любой точки <tex>q</tex> плоскости самый удалённый от неё сайт из <tex>P</tex> должен лежать на [[Статические выпуклые оболочки: Джарвис, Грэхем, Эндрю, Чен, QuickHull|выпуклой оболочке]] <tex>P</tex>.|proof=[[Файл:voronoi-farthest-inside.png|200px|right]]Сайт, не находящийся на выпуклой оболочке, лежит внутри неё по свойствам выпуклой оболочки. Пусть самый удалённый от точки <tex>q</tex> сайт <tex>p_i</tex> не лежит на выпуклой оболочке (т.е. лежит внутри неё) . Проведём луч <tex>q p_i</tex>. Он пересечёт ребро выпуклой оболочки <tex>p_j p_k</tex>R_. Получатся два смежных угла, рассмотрим тот, который оказался прямым или тупым. Тогда в полученном треугольнике <tex>\rho(q, p_j) > \Sigmarho(q, p_i)</tex>, так как напротив большего угла лежит большая сторона. Пришли к противоречию.}} {{Лемма|statement=Сайт, который лежит внутри выпуклой оболочки сайтов, не может иметь ячейку в farthest-point диаграмме.|proof=Пусть это не так и сайт <tex>p</tex> лежит внутри выпуклой оболочки и имеет ячейку в farthest-point диаграмме. Тогда внутри неё есть точка <tex>q</tex>. Но по предыдущей лемме самый удалённый для <tex>q</tex> сайт лежит на выпуклой оболочке, а значит, сайт <tex>p</tex> не может быть самым удалённым для <tex>q</tex>. Пришли к противоречию.}} {{Лемма|statement=Каждый сайт, который является вершиной выпуклой оболочки сайтов, имеет ячейку в farthest-point диаграмме.|proof=Докажем по индукции. База индукции: для двух сайтов они оба являются вершинами выпуклой оболочки и оба имеют ячейку в farthest-point диаграмме (Sдальняя от сайта полуплоскость). Переход: добавим сайт <tex>p</tex> так, что он станет новой вершиной выпуклой оболочки. Пусть он не имеет ячейку в farthest-point диаграмме, то есть уже имеющаяся перед его добавлением диаграмма не меняется. Для построения farthest-point диаграммы проводятся серединные перпендикуляры между всеми парами сайтов, и полученные полуплоскости пересекаются; раз новой ячейки не добавилось, то серединные перпендикуляры между <tex>p</tex> и остальными сайтами совпали с уже имеющимися перпендикулярами. Это возможно, только если <tex>p</tex> совпал с другим сайтом. Пришли к противоречию.}} {{Утверждение|statement=Сайт имеет ячейку в farthest-point диаграмме тогда и только тогда, когда он является вершиной выпуклой оболочки всех сайтов.|proof=Непосредственно следует из двух предыдущих лемм.}} {{Утверждение|statement=Все ячейки в farthest-point диаграмме неограничены.|proof=[[Файл:voronoi-farthest-unbounded.png|200px|right]]Пусть <tex>p_i</tex> — сайт на выпуклой оболочке сайтов, а <tex>q</tex> — точка, для которой он является наиболее удалённым. Тогда для всех точек на луче, лежащем на <tex>p_i q</tex>, начинающемся в <tex>q</tex> и не проходящим через <tex>p_i</tex>, сайт <tex>p_i</tex> будет наиболее удалённым среди остальных сайтов. Значит, ячейка сайта <tex>p_i</tex> в farthest-point диаграмме включает в себя этот луч, а значит, неограничена.}} множество  === Алгоритм ===Чтобы найти farthest-point диаграмму, сначала найдём выпуклую оболочку всех сайтов. Обозначим сайты, её образующие, через <tex>p_1, p_2, ..., p_m</tex>. Запомним порядки обхода для каждой вершины выпуклой оболочки по часовой стрелке (<tex>cw(p_i)</tex>) и против часовой (<tex>ccw(p_i)</tex>) и сделаем случайную перестановку точек. Далее удаляем из выпуклой оболочки все точки, кроме первых трёх (запоминая при этом их соседей в оболочке на момент удаления). После этого строим farthest-point диаграмму для первых трёх точек 1(пересекая полуплоскости) и последовательно добавляем остальные (удалённые) в порядке, обратном порядку удаления. {||[[Файл:voronoi-farthest-construct.png|600px|thumb|Построение очередной ячейки farthest-point диаграммы]]|} Для точки <tex>p_i</tex> ячейка встанет «между» ячейками, соответствующими <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex>. Перед добавлением <tex>p_i</tex> <tex>cw(p_i)</tex> и <tex>ccw(p_i)</tex> — соседи, поэтому между ними построен серединный перпендикуляр. Серединный перпендикуляр к <tex>p_i ccw(p_i)</tex> даст новое ребро, которое лежит в farthest-каркаса point ячейке <tex>ccw(p_i)</tex> и является частью границы ячейки <tex> p_i</tex>. Обойдём ячейку <tex>V_1ccw(\Sigmap_i)</tex>по часовой стрелке, чтоб понять, соответствующих окружностям Вороногокакое ребро пересечёт перпендикуляр. С другой стороны этого ребра лежит ячейка какой-то точки <tex>p_j</tex>, которые конфликтуют с и серединный перпендикуляр <tex>p_i p_j</tex> тоже даст ребро ячейке <tex>p_i</tex>. Аналогично совершим обход и так далее. Последний серединный перпендикуляр будет построен для <tex>Sp_i cw(p_i)</tex>.После этого удаляем рёбра, которые лежат внутри новой ячейки. == См. также ==* [[Трапецоидная карта]]* [[Триангуляция Делоне]]* [[Straight skeleton]] == Источники ==* de Berg, Cheong, van Kreveld, Overmars. Computational Geometry, Algorithms and Applicants, 2008. pp. 147-151, 164-166* [http://students.info.uaic.ro/~emilian.necula/vor2.pdf Algorithms for constructing Voronoi diagrams, Vera Sacrist´an {{---}} Incremental algorithm]* [http://en.wikipedia.org/wiki/Voronoi_diagram Wikipedia — Voronoi diagram]* [https://web.archive.org/web/20170329014016/http://www.cs.uu.nl/docs/vakken/ga/slides7b.pdf Computational Geometry {{---}} Lecture 13: More on Voronoi diagrams]