Изменения

Теперь оценим количество операций, необходимых нам для нахождения <tex>c[root]</tex>. Так как <tex>c[i]=\max \left ( a[i],b[i] \right )</tex>, то для вычисления <tex>c[root]</tex> необходимо вычислить <tex>a[root]</tex>, <tex>b[root]</tex>. Для вычисления и того, и другого необходимо время порядка <tex>O \left ( \sum_{x=1}^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — количество число вершин в дереве. 

<font color = darkgreen>// в основной процедуре вызываем dfs от корня(root), после этого ответ будет хранится в c[root] </font color = darkgreen> '''function''' dfs(x: '''int''', a: '''int[]''', b: '''int[]''', c: '''int[]''', w: '''int[][]''', Ch: '''int[]'''): '''for''' (child i : Ch[x]) dfs(childi, a, b, c, w, Ch) a[x] = max(a[x], b[childi] + w[x][childi] - с[childi]) <font color = darkgreen>//по формуле выше, но без b[x](прибавим его один раз в конце) </font color = darkgreen> b[x] += с[childi] a[x] += b[x] <font color = darkgreen>// так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем увеличить ответ если будем использовать вершину x</font color = darkgreen>

Решим эту задачу за <tex> O(n) </tex>. Пуcть задано подвешенное дерево. Рассмотрим количество путей для вершины <tex> v </tex>. Во-первых, это пути не проходящие через эту вершину, то есть все пути между её сыновьями. Во-вторых, пути, которые оканчиваются вершиной <tex> v </tex>. И в третьих, это пути проходящие через вершину <tex> v </tex>, они начинаются из поддерева одного из сыновей этой вершины и заканчиваются в другом поддереве одного из сыновей вершины <tex> v </tex>. Теперь подсчитаем пути для каждого варианта. Обозначим <tex> S[v]\ - </tex> размер поддерева <tex> v </tex>, <tex> F[v]\ - </tex> сумма длин всех путей в поддереве вершины <tex> v </tex>, <tex> G[v]\ - </tex> количество сумма длин всех путей начинающихся в поддереве вершины v и оканчивающихся вершиной <tex> v </tex>, <tex> H[v]\ - </tex> количество сумма длин всех путей проходящих через вершину <tex> v </tex>. Если вершина <tex> u </tex> лист, то <tex> S[u] </tex> = 1, а <tex> G[u] </tex> = <tex> H[u] </tex> = 0. 1. # Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин путей для всех поддеревьев детей или <tex> \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x]</tex>. 2. # Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Это Сумма длин всех таких путей будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина поддерева путей оканчивающихся в вершине <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь , которых ровно <tex> S[g] </tex> мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Всего Суммарная длина таких путей: <tex> G[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits {\Bigl(G[x] + S[x]\Bigl)}</tex>. 3. # Пути проходящие через вершину <tex> v </tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y] </tex>, следовательно ( <tex> x,y \in Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>.  Заметим, что <tex> \sum_{x,y} \limits {\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x,y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = 2\biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + 2\biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(S[x]S[x]\Bigl)}\biggl)</tex>.

Ответ задачи: <tex> F[v] = \sum_{x \in Ch(v)} \limits F[x] + G[v] + H[v] </tex>. Асимптотика каждого слагаемого равна <tex>O \left ( \sum_{x=1}^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — количество число вершин в дереве, следовательно и <tex> F[v] </tex> находится за время работы самого алгоритма <tex> O\left (n\right ) </tex>.

==См. Такжетакже==