Изменения

=Динамика Главной особенностью [[динамическое программирование|динамического программирования]] по [[Дерево, эквивалентные определения | поддеревьям]] является необходимость учитывать ответы в поддеревьях, так как они могут влиять на ответы в других поддеревьях.Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьямзадачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве. == Задача о паросочетании максимального веса в дереве == {{Задача|definition = Пусть задано взвешенное дерево, с весами, обозначенными как <tex>w_{i,j}</tex>, где <tex>i</tex> и <tex>j</tex> — вершины дерева, соединённые ребром.. Необходимо составить такое [[Теорема_о_максимальном_паросочетании_и_дополняющих_цепях | паросочетание]], чтобы суммарный вес всех рёбер, входящих в него, был максимальным.}}Для решения данной задачи существует несколько алгоритмов. Например, [[алгоритм_Куна_для_поиска_максимального_паросочетания | алгоритм Куна]], который имеет верхнюю оценку порядка <tex>O \left ( n^3 \right )</tex>. Но так как нам дано дерево, то можно использовать динамическое программирование, время работы алгоритма с которым улучшается до <tex>O \left ( n \right )</tex>. Обозначим <tex>a[i]</tex> как паросочетание максимального веса в поддереве с корнем в <tex>i</tex>-той вершине, при этом <tex>i</tex>-тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, входящей в поддерево <tex>i</tex>-ой вершины; аналогично <tex>b[i]</tex> {{---}} как паросочетание максимального веса в поддерева с корнем в <tex>i</tex>-той вершине, но только при этом <tex>i</tex>-тая вершина соединена ребром, входящим в паросочетание, с вершиной, не входящей в поддерево <tex>i</tex>-ой вершины; а <tex>c[i]=\max \left ( a[i],b[i] \right )</tex>, таким образом, ответ на задачу будет находиться в <tex>c[root]</tex>, где <tex>root</tex> {{---}} корень дерева. Идея динамического программирования здесь состоит в том, что для того, чтобы найти паросочетание максимального веса с корнем в вершине <tex>i</tex>, нам необходимо найти максимальное паросочетание для всех поддеревьев <tex>i</tex>-ой вершины. Обозначим <tex>Ch(x)</tex> {{---}} как множество сыновей вершины <tex>x</tex> и будем находить значения <tex>a[x]</tex> и <tex>b[x]</tex> следующим образом: Если вершина <tex>x</tex> {{---}} лист, то <tex>a[x]=b[x]=0</tex>,

Главной особенностью в противном же случае * <tex>a[x]=\max_{y \in Ch(x)}\limits \left ( b[y]+w_{x,y} +\sum_{\substack{z \neq y\\z \in Ch(x)}} \limits \max \left ( a[динамическое программирование|динамического программированияz],b[z] по поддеревьям является необходимость учитывать ответы в поддеревьях\right )\right )</tex>, т.к. они могут влиять на ответы в других поддеревьях.Рассмотрим для лучшего понимания динамики по поддеревьям задачу о максимальном взвешенном паросочетании в дереве.* <tex>b[x]=\sum_{z \in Ch(x)} \limits \max \left ( a[z], b[z] \right )</tex>==Задача о максимальном взвешенном паросочетании на дереве==С учётом того, что <tex>c[i]===Формулировка===Пусть дано подвешенное за корень дерево\max \left ( a[i], имеющее веса на каждом из его ребер. Необходимо выбрать такое множество реберb[i] \right )</tex>, чтобы сумма значений была максимальнойэти формулы можно переписать как * <tex>a[x]=\max_{y \in Ch(x)}\limits \left ( b[y]+w_{x, и при этом выбранные ребра не имели бы общих вершин. Т.е. необходимо решить задачу о максимальном взвешенном паросочетанииy}-c[y] \right )+b[x]</tex>* <tex>b[x]=\sum_{z \in Ch(x)} \limits c[z]</tex>.

Рассмотрим наше первое состояниеТеперь оценим количество операций, когда еще не выбрана ни одна вершинанеобходимых нам для нахождения <tex>c[root]</tex>. В этом случае мы можем сделать две вещи:* Разрешить выбирать ребро из корня к ребенкуТак как <tex>c[i]=\max \left ( a[i],b[i] \right )</tex>, то для вычисления <tex>c[root]</tex> необходимо вычислить <tex>a[root]</tex>, <tex>b[root]</tex>.* Запретить выбирать ребра из корняДля вычисления и того, и другого необходимо время порядка <tex>O \left ( \sum_{x=1}^n \limits \left | Ch(x) \right | \right )=O \left ( n \right )</tex>, где <tex> n </tex> — число вершин в дереве.

===Рекуррентная формулаПсевдокод ===Обозначим в качестве <texfont color = darkgreen>dp// в основной процедуре вызываем dfs от корня(vertexroot), use\_root)после этого ответ будет хранится в c[root] </texfont color = darkgreen> функцию '''function''' dfs(x: '''int''', a: '''int[]''', b: '''int[]''', c: '''int[]''', w: '''int[][]''', Ch: '''int[]'''): '''for''' (i : Ch[x]) dfs(i, a, b, c, w, возвращающую ответ для поддерева Ch) a[x] = max(a[x], b[i] + w[x][i] - с корнем [i]) <texfont color = darkgreen>vertex</tex>.Если <tex>use\_root=1</tex>по формуле выше, то но без b[x] (прибавим его один раз в этом поддереве мы разрешаем занимать корень, иначе нет. Обозначим вес ребра из <tex>vконце) </texfont color = darkgreen> в b[x] += с[i] a[x] += b[x] <texfont color = darkgreen>u</tex> / так как в a[x] пока что хранится только на сколько мы можем увеличить ответ если будем использовать вершину x<tex/font color = darkgreen>w c[x] = max(a[vx],ub[x]</tex> )

<tex>dp(u, 0) = \sum_= Задача о сумме длин всех путей в дереве =={\text{childЗадача|definition = Найти сумму длин всех путей в дереве.}\ v\ of\ u}dpРешим эту задачу за <tex> O(v, 1n)</tex>. Пусть задано подвешенное дерево. Рассмотрим пути проходящие в поддереве вершины <brtex>v </tex>dp(u. Во-первых, это пути, 1) = \max\left\{dp(uне проходящие через эту вершину, 0)то есть все пути в поддеревьях её сыновей. Во-вторых,\ \max_{\text{child}\ x\ of\ u}\{dp(xпути, 0)\ +\ \sum_{\text{child}\ которые оканчиваются вершиной <tex> v\ of\ u; \ </tex>. И в-третьих, это пути, проходящие через вершину <tex> v \ne x }dp(</tex>, они начинаются из поддерева одного из сыновей этой вершины и заканчиваются в другом поддереве одного из сыновей вершины <tex> v, 1)\ +\ w[u, x] \}\right\}</tex>.

ЗаметимТеперь подсчитаем пути для каждого варианта. Обозначим <tex> S[v]\ - </tex> размер поддерева <tex> v </tex>, <tex> F[v]\ - </tex> сумма длин всех путей в поддереве вершины <tex> v </tex>, <tex> G[v]\ - </tex> сумма длин всех путей начинающихся в поддереве вершины v и оканчивающихся вершиной <tex> v </tex>, <tex> H[v]\ - </tex> сумма длин всех путей проходящих через вершину <tex> v </tex>. Если вершина <tex> u </tex> лист, то <tex> S[u] </tex> = 1, что вторую формулу можно упростить:а <tex> G[u] </tex> = <tex> H[u] <br/tex>= 0.# Пути не проходящие через эту вершину. Это просто сумма суммы длин путей для всех поддеревьев детей или <tex>\sum_{x \in Ch(v)} \textlimits F[x]</tex>.# Пути оканчивающиеся в вершине <tex> v </tex>. Рассмотрим ребро, соединяющее вершину <tex> v </tex> и одного ее сына, пусть это будет вершина <tex> g </tex>. Переберем все пути, которые начинаются с этого ребра и идут вниз. Сумма длин всех таких путей будет сумма путей оканчивающихся в <tex> g + S[g] </tex>, так как суммарная длина путей оканчивающихся в вершине <tex> g </tex> уже сосчитана и каждый такой путь, которых ровно <tex> S[g] </tex> мы продлили ребром, соединяющим вершины <tex> v </tex> и <tex> g </tex>. Суммарная длина таких путей: <tex> G[v] = \sum_{childx \in Ch(v)}\ limits {\Bigl(G[x] + S[x]\Bigl)}</tex>.# Пути проходящие через вершину <tex> v</tex>. Рассмотрим двух сыновей этой вершины: <tex> x </tex> и <tex> y </tex>. Нам надо подсчитать все пути, которые поднимаются из поддерева <tex> x </tex> в <tex> v </tex> и затем опускаются в поддерево <tex> y </tex> и наоборот. То есть по каждому пути, оканчивающимся в вершине <tex> x </tex> мы пройдем столько раз сколько элементов в поддереве <tex> y </tex>, следовательно суммарная длина таких путей будет <tex> G[x]S[y] </tex>. Аналогично, если будем подниматься из поддерева <tex> y </tex>. Также надо учитывать сколько раз мы проходим по ребрам, соединяющим вершины <tex> x </tex> <tex> v </tex> и <tex> y </tex> <tex> x </tex>. Итого для двух вершин <tex> x </tex> и <tex> y </tex>: <tex> G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y] </tex>, следовательно ( <tex> x,y \ ofin Ch(v)</tex>) <tex> H[v] = \ u; sum_{x,y\ v x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y] + G[y]S[x] + 2S[x]S[y]\Bigl)} </tex>. Но такой подсчет испортит асимптотику до <tex> O(n^2) </tex>. Заметим, что <tex> \sum_{x ,y}dp\limits {\Bigl(vG[x]S[y]\Bigl)} = \sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} </tex>. Но еще надо учесть, что <tex> x \ne y </tex>, следовательно <tex> \sum_{x, 1y\ x \ne y} \limits{\Bigl(G[x]S[y]\Bigl) } = dp\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(u, 0G[x]S[x]\Bigl)} </tex>. Аналогично для <tex> S[x]S[y] </tex>. Итак: <tex> H[v] = \biggl(\sum_{x} \limits {G[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - \sum_{x} \limits {\Bigl(G[x]S[x]\Bigl)} \biggl) + \biggl(\sum_{x} \limits {S[x]} \sum_{y} \limits {S[y]} - dp\sum_{x} \limits {\Bigl(S[x, 1]S[x]\Bigl)} \biggl)</tex>.

Теперь наши формулы имеют видОтвет задачи:<br><tex>dp(u, 0) F[v] = \sum_{x \text{childin Ch(v)}\ limits F[x] + G[v\ of\ u}dp(] + H[v, 1)] </tex><br>. Асимптотика каждого слагаемого равна <tex>dp(u, 1) = \maxO \left\{dp(u, 0),\ \max_sum_{\text{childx=1}^n \ xlimits \ of\ u}\{dpleft | Ch(x, 0)\ +right | \right )=O \ dpleft (u, 0n \right ) - dp(x</tex>, 1)\ +\ w[uгде <tex> n </tex> — число вершин в дереве,x] следовательно и время работы самого алгоритма <tex> O \}left (n \right\}) </tex>.

Заметим== Амортизированные оценки для ДП на дереве =={{Теорема|statement=Пусть какой-либо алгоритм на дереве работает за время <tex>O \left ( \left |Ch \left ( x \right) \right |^k \right )</tex> для вершины x, что с помощью этого преобразования мы сократили общее тогда время вычисления с обработки им всего дерева не превышает <tex>O\left (n^2k \right )</tex>:|proof=<tex>\forall x \in \left \{ 1 \dots n \right \}: \left | Ch(x)\right | \leqslant n</tex> до , поэтому <tex>O\sum_{x=1}^n \limits \left | Ch \left (x \right ) \right |^k \leqslant \sum_{x=1}^n\limits | Ch \left ( x \right )| \cdot n^{k-1}=n \cdot n^{k-1}=n^k</tex>.}}

==См. также=Реализация=== calculate(v, useRoot): if dp* [v][useRoot] не было посчитанно ранее: return dp[v][useRoot] //вернули уже посчитанное значение dp[vertex][root] sum = 0 if use_root == 0: //случай 1: не берем ребра из корня for (для) всех u из множества детей v: sum += calculate(uЗадача коммивояжера, 1) dp[vДП по подмножествам][useRoot] = sum return sum max1 = dp* [v][0Задача о числе путей в ациклическом графе] //случай 2: берем какое-то ребро for (для) всех x из множества детей v: max1 = max(max1, calculate(x, 0) + calculate(vertex, 0) - calculate(x, 1) + w[v,x]) dp[v][useRoot] = max1 return dp[v][useRoot]

==СсылкиИсточники информации==*[http://www.mathnet.ru/links/502560b495f4a3fab62422161e16895fc14aca73a4926918a879905ffcd4ad7a/timb86.pdf Научная статьяВ. В. Лепин, решающая похожую задачу из примера (pdf)Линейный алгоритм для нахождения максимального индуцированного паросочетания наименьшего веса в реберно-взвешенном дереве]* [http://ru.wikipedia.org/wiki/Паросочетание Википедия — Паросочетание]