Изменения
→Вставка точки: подправлены О-шки
В статье описан алгоритм, требующий <tex>O(\log^2{n})</tex> времени на добавление/удаление точки.
== Левая и правая выпуклые оболочки ==
Определим левую (правую) выпуклую оболочку множества точек <tex>P</tex>, как выпуклую оболочку множества <tex>P \cup \{\infty_+\}</tex> <tex>(P \cup \{\infty_-\})</tex>, где <tex>\infty_- = (-\infty, 0), \infty_+ = (+\infty, 0)</tex>. Тогда задачу можно свести к поддержанию отдельно левой и правой выпуклых оболочек. Далее будем Будем рассматривать только динамическое поддержание левой оболочки (далее, для краткости, будем называть её просто выпуклой оболочкой). Заметим также, что точки вдоль выпуклой оболочки отсортированы по ординате. {|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Файл:Lc_rc.png|400px|thumb|center|Левая и правая выпуклые оболочки некоторого множества точек]]|[[Файл:Bridge_hull.png|400px|thumb|center|Мост B между двумя выпуклыми оболочками, разделенными горизонтальной прямой]]||} Пусть множество точек <tex>P</tex> разбито горизонтальной прямой на два множества <tex>A</tex> и <tex>C</tex>. Рассмотрим выпуклые оболочки <tex>A</tex> и <tex>C</tex>. Будем называть мостом (bridge) отрезок общей касательной к этим оболочкам, заключённый между точками касания. Тогда выпуклая оболочка ко всему множеству <tex>P</tex> естественным образом получается объединением частей оболочек <tex>A</tex> и <tex>C</tex>, и моста <tex>B</tex>. Основная идея алгоритма заключается в эффективном (за <tex>O(\log{n})</tex>) отыскании моста, соединяющего две такие оболочки. == Структура данных == Будем хранить отсортированные лексикографически (<tex>p < q \Leftrightarrow p_y < q_y \lor p_y = q_y \land p_x < q_x</tex>) точки в листьях сбалансированного бинарного дерева поиска (например, [[Красно-черное дерево|красно-черного]] или [[АВЛ-дерево|AVL]]). Во внутренних вершинах будем хранить вспомогательную информацию: во-первых, наименьшую точку в поддереве с корнем в данной вершине; а во-вторых, мост между выпуклыми оболочками точек левого и правого поддеревьев данной вершины. Формально вершина дерева описывается так: '''struct''' bridge point left point right '''struct''' node node parent, left, right boolean leaf // true, если лист, иначе false bridge b // поле валидно для внутренней вершины point p // если вершина лист, то точка, хранящаяся в этом листе, // иначе наименьшая точка в поддереве с корнем в данной вершине == Объединение двух выпуклых оболочек == Теперь, когда отсортированные точки хранятся в структуре, поддерживающей эффективный поиск, мы можем воспользоватся идеями [[Целочисленный двоичный поиск|бинарного поиска]] для нахождения моста. Для этого необходим критерий спуска, по которому мы будем определять подотрезок, до которого нужно сузить задачу, имея точки <tex>p</tex> и <tex>q</tex>, определяющие секущую к выпуклым оболочкам множеств <tex>A</tex> и <tex>C</tex> . Рассмотрим дополнительно 4 точки: <tex>p^{+}</tex> {{---}} следующая за <tex>p</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>A</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>p_{y}^{+} > p_{y}</tex> и ордината <tex>p_{y}</tex> {{---}} наименьшая. <tex>p^{-}</tex> {{---}} предыдущая <tex>p</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>A</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>p_{y}^{-} < p_{y}</tex> и ордината <tex>p_{y}</tex> {{---}} наибольшая. <tex>q^{+}</tex> {{---}} следующая за <tex>q</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>C</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>q_{y}^{+} > q_{y}</tex> и ордината <tex>q_{y}</tex> {{---}} наименьшая. <tex>q^{-}</tex> {{---}} предыдущая <tex>q</tex> точка выпуклой оболочки множества <tex>C</tex> в отсортированном порядке, то есть <tex>q_{y}^{-} < q_{y}</tex> и ордината <tex>q_{y}</tex> {{---}} наибольшая. Тогда в зависимости от взаимного расположения вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex> и точек <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> можно определить, какой из 9 случаев рассматривать, а именно: :a) Все точки <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> расположены справа от вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex> (точка <tex>t</tex> находится слева (справа) от вектора <tex>\overrightarrow{qp}</tex>, если [[Предикат "левый поворот"|предикат "левый поворот"]] для точек <tex>q</tex>, <tex>p</tex>, <tex>t</tex> положительный (отрицательный)) {{---}} найден мост. :b) <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} справа, <tex>q^{-}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :c) <tex>p^{+}</tex>, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :d) Как в случае b, только слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> находится точка <tex>p^{+}</tex> :e) Как в случае c, только слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> находится точка <tex>p^{-}</tex> :f) <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex>
:h) <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> :i) <tex>p^{+}</tex>, <tex>q^{-}</tex> {{---}} справа, <tex>p^{-}</tex>, <tex>q^{+}</tex> {{---}} слева от <tex>\overrightarrow{qp}</tex> Для случаев a-h на картинках красным показано, какие части выпуклых оболочек могут быть отброшены. Случай же i немного сложнее. {|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center|[[Файл: Case_a.png|thumb|320px|center|a. Касательная найдена]]|[[Файл:Bridge_hullCase_b.png|400pxthumb|320px|center|b. Может быть отброшена часть C после q, а также часть A перед p]]|[[Файл: Case_c.png|thumb|320px|center|Мост между двумя выпуклыми оболочкамиc. Может быть отброшена часть C перед q, разделенными горизонтальной прямойа также часть A перед p]]||}
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_aCase_d.png|thumb|300px320px|center|ad. Касательная найденаПо аналогии со случаем b]]|[[Файл: Case_bCase_e.png|thumb|300px320px|center|be. Может быть отброшена часть C после q, а также часть A перед pПо аналогии со случаем c]]|[[Файл: Case_cCase_f.png|thumb|300px320px|center|cf. Может быть отброшена часть C перед после q, а также часть A перед p]]
|
|}
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_dCase_g.png|thumb|300px320px|center|dg. По аналогии со случаем bТолько часть C после q может быть отброшена]]|[[Файл: Case_eCase_h.png|thumb|300px320px|center|eh. По аналогии со случаем cg]]|[[Файл: Case_fCase_i.png|thumb|300px320px|center|fi. Может быть отброшена часть C после qВ этом случае нельзя сразу сказать, а также часть какие части A перед pи C могут быть отброшены. Случай дробится на два]]
|
|}
Рассмотрим подробно случай i. Пусть <tex>m</tex> {{---}} прямая, разбивающая <tex>P</tex> на <tex>A</tex> и <tex>C</tex>. Пусть также <tex>l_p</tex> и <tex>l_q</tex> {{---}} касательные к выпуклым оболочкам в точках <tex>p</tex> и <tex>q</tex> соответственно. Если <tex>s</tex> {{---}} точка пересечения <tex>l_p</tex> и <tex>l_q</tex> лежит ниже прямой <tex>m</tex>, то точка пересечения моста и выпуклой оболочки <tex>A</tex> может лежать в треугольнике, образованном прямыми <tex>l_p</tex>, <tex>l</tex> и <tex>m</tex>, или выше <tex>p</tex>. Тогда можем удалить часть <tex>C</tex> ниже <tex>q</tex> (см. рис. i1). Случай, когда <tex>s</tex> лежит выше <tex>m</tex>, аналогичен (см. рис. i2).
{|border="0" cellpadding="5" width=30% align=center
|[[Файл: Case_gCase_i1.png|thumb|300px320px|center|gi1. Только часть C после q может быть отброшенаТочка пересечения лежит ниже прямой m]]|[[Файл: Case_hCase_i2.png|thumb|300px320px|center|hi2. По аналогии со случаем h]]|[[Файл: Case_i.png|thumb|300px|center|i. В этом случае нельзя сразу сказать, какие части A и C могут быть отброшены. Случай дробится на дваТочка пересечения лежит выше прямой m]]
|
|}
== Операции ==
=== Получение выпуклой оболочки ===
Научимся восстанавливать выпуклую оболочку по дереву, описанному выше. Для этого рассмотрим более общую задачу: для данной вершины дерева <tex>v</tex> и отрезка <tex>[l, r]</tex> найти часть выпуклой оболочки, состоящей из точек поддерева с корнем в <tex>v</tex>, ординаты которых лежат в этом отрезке. Это можно сделать следующим обходом:
get_hull(answer, v, l, r)
'''if''' (v.leaf)
'''return'''
a = v.bridge.left.y
b = v.bridge.right.y
'''if''' (l < a)
get_hull(answer, v.left, l, min(a, r))
'''if''' (l <= a '''and''' b <= r)
'''if''' (answer.empty())
answer = answer ++ v.bridge.left
answer = answer ++ v.bridge.right
'''if''' (b < r)
get_hull(answer, v.right, max(l, b), r)
Левый конец моста добавляется только если ответ пустой, иначе он уже был добавлен как правый конец другого моста. Чтобы получить выпуклую оболочку нужно вызвать get_hull([], root, <tex>-\infty</tex>, <tex>+\infty</tex>).
=== Принадлежность точки выпуклой оболочке ===
По аналогии с предыдущим пунктом, сведем запрос к более общему запросу: для данной вершины дерева <tex>v</tex> и отрезка <tex>[l, r]</tex> проверить, принадлежит ли точка <tex>p</tex> части выпуклой оболочки, состоящей из точек поддерева с корнем в <tex>v</tex>, ординаты которых лежат в этом отрезке. Тогда принадлежность точки проверяется вызовом in_hull(p, root, <tex>-\infty</tex>, <tex>+\infty</tex>)
in_hull(p, v, l, r)
'''if''' (v.leaf)
'''return''' '''false'''
a = v.bridge.left.y
b = v.bridge.right.y
'''if''' (l <= a and b <= r)
'''if''' (v.bridge.left == p '''or''' v.bridge.right == p)
'''return''' '''true'''
'''if''' (l < a '''and''' p.y < a)
'''return''' in_hull(p, v.left, l, min(a, r))
'''if''' (b < r '''and''' b < p.y)
'''return''' in_hull(p, v.right, max(l, b), r)
'''return''' '''false'''
=== Вставка точки ===
Вставим точку в дерево, как в обычное сбалансированное дерево поиска. После этого необходимо пересчитать мосты для некоторых вершин дерева. В вершине необходимо пересчитать мост, либо если в его поддерево была вставлена вершина, либо если при балансировке в повороте эта вершина была задействована (таких вершин <tex>O(\log{n})</tex>. Мосты в таких вершинах будем пересчитывать при подъеме по дереву после вставки вершины. Глубина дерева <tex>O(\log{n})</tex>, значит в процессе подъема будут пересчитаны мосты у <tex>O(\log{n})</tex> вершин. Каждый пересчет моста требует <tex>O(\log{n})</tex> времени, откуда итоговая асимптотика вставки: <tex>O(\log^2{n})</tex>.
=== Удаление точки ===
Удаление точки производится по аналогии с вставкой: сначала мы удалим точку из сбалансированного дерева поиска, а затем пересчитаем мосты, хранящиеся в вершинах, которые затронула балансировка. Очевидно, что удаление, как и вставка, работает за <tex>O(\log^2{n})</tex>.
== Источники ==
