Изменения
→нам понадобиться O(a^nm) времени -> нам понадобится O(a^nm) времени
{{Определение
|definition='''Динамическое программирование по профилю''' <tex>(англ. ''dynamic programming with profile'') {{-</tex> --}} способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью [[Динамическое программирование|динамического программирования]], когда одно из измерений не большоенебольшое.
}}
{{Определение
|definition='''Профиль''' (англ. ''profile'') {{- --}} один из столбцов (строк), удовлетворяющий условию задачи. Обычно используется в качестве состояния динамики.
}}
== Общие принципы ==
Обычно дана таблица и надо посчитать количество замощений этой таблицы некоторыми фигурами (замощение шахматной доски доминошками). Можно перебрать все варианты и выбрать из них удовлетворяющие условию. Но можно воспользоваться методом динамического программирования по профилю и сократить время по одной размерности до линейной. Затем пусть у нас есть правило по которому надо заполнить и для него нам надо <tex>k</tex> предыдущих линий. Тогда можно перебрать все замощения длиной <tex>k\times n</tex>. В итоге нужно заполнить данную таблицу этими замощениями. Получается, что если перебирать все варианты нам понадобиться понадобится <tex>O(a^{nm})</tex> времени, а если перебирать только состояния и переходить по ним нам потребуется <tex>O(a^{kn}*m)</tex> времени (где а <tex>a</tex> {{--- }} количество способов замещения 1 замощения одной клетки).
== '''Задача о замощении домино''' ==
==='''Решение'''===
[[Файл:Домино.png|270px|thumb|right|Переходы (1-правильный переход, 2,3-неправильные)]]
Для удобства можно хранить профили в виде двоичных масок.
В качестве состояния динамики будем использовать профили размерами <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1 </tex> будет означать, что домино лежит горизонтально и заканчивается на этом столбце, иначе <tex>0</tex>. Таких профилей будет <tex>2^n</tex>.
Теперь проверим из какого профиля в какой можно перейти.
Из профиля <tex>i</tex> в профиль <tex>j</tex> можно перейти если выполняются условия:
* Можно положить горизонтальные домино. То есть там где в <tex>j</tex> профиле стоит <tex>1</tex>, в <tex>i</tex> профиле должен стоять <tex>0</tex>.
* Можно доложить в оставшиеся клетки вертикальные домино. То есть оставшиеся <tex>0 </tex> в <tex>i</tex> профиле должны образовывать четные подстроки.
Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i</tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.
Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{- --}} количество способов замощения первых <tex>k-1</tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.
Тогда <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex>
Ответом будет <tex> \sum a[m][i]</tex>, где <tex>i</tex> : {{---}} профиль, который может быть последним (т.е. все группы из <tex>0 </tex> имеют четные размеры).
==='''Реализация'''===
''' Оценка сложности: '''
подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}\times m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>.
''' Оценка памяти: '''
<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^{n+ 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times fmf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times nmn)</tex>.
== '''Задача о симпатичных узорах''' ==
==='''Решение'''===
Для удобства можно хранить профиля в виде двоичных масок.
В качестве состояния динамики будем использовать профили размера <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1 </tex> будет означать что клетка закрашена в черный цвет, и <tex>0 </tex> если в белый.
Из профиля <tex>i</tex> в <tex>j</tex>-ый можно перейти если выполнено условие:
* если поставить <tex>i</tex> и <tex>j</tex> профиль рядом, то не должно быть квадратов <tex>2\times 2</tex> одного цвета
Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i</tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.
Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{- --}} количество способов раскрашивания первые <tex>k-1</tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.
Тогда <tex>a[k][i]=\displaystyle \sum_{j=0}^{2^n -1} a[k-1][j]\cdot d[j][i]</tex>
Ответом будет <tex> \displaystyle \sum_{ji=0}^{2^n -1} a[m][i]</tex>
==='''Реализация'''===
<font color=green>// n, m размеры {{---}} размер таблицы </font> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if ''' можно перейти из <tex>\mathtt{i }</tex> в <tex>\mathtt{j }</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] \ = \ \mathtt{1; }</tex> '''else ''' <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] \ = \ \mathtt{0;}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[i0][0\mathtt{i}] \ = \mathtt{1; }</tex> <font color=green >// Так как мы можем начать c любого профиля</font> '''for ''' <tex>\mathtt{k } = \mathtt{1}..\mathtt{m } - \mathtt{1} </tex> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] += \mathtt{a}[\mathtt{k} -1][\mathtt{j}] * \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}];</tex> <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{0;}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans } += \mathtt{a}[\mathtt{m} -\mathtt{1}][\mathtt{i}] </tex> <font color=green>// Так как мы можем закончить любым профилем</font> '''return ''' <tex>\mathtt{ans;}</tex>
''' Оценка сложности: '''
подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}\times m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>.
''' Оценка памяти: '''
<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k-1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^{n+ 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times fmf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}mn)</tex>. == Динамика по изломанному профилю == {{Определение|definition='''Изломанный профиль''' (англ. ''broken profile'') {{---}} обобщение прямого профиля на случай, когда обработанным является не целое число столбцов, а некоторое количество столбцов и несколько первых клеток следующего столбца.}} Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому). === Пример ===Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через <tex>i</tex>-ю вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.[[Файл:img34.gif|300px|thumb|right|]]Профилем будет пара <tex>(p, i)</tex>, в <tex>p</tex> будет информация о <tex>n + 1</tex> маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; <tex>i</tex> обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер <tex>i + 1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>0</tex> до <tex>n - 1</tex>. Пусть <tex>d[pr_1][pr_2] = 1</tex> если из профиля <tex>pr_1</tex> = <tex>(p_1, i_1)</tex> можно перейти в <tex>pr_2 = (p_2, i_2)</tex>, иначе <tex>0</tex>. * Eсли <tex>i < n - 1</tex>, то <tex>i_1 + 1 = i_2</tex>, иначе <tex>i_2 = 0 </tex>; * Mожно так положить доминошку, накрывающую квадратик с номером <tex>i + 1</tex>, что после этого в <tex>p_2</tex> будет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.Проще говоря, доминошку можно класть только двумя способами {{---}} как показано на рисунках (на квадратик с номером <tex>i + 1</tex> можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). То, что потом получается после сдвига вниз излома, и будет новым профилем. Заметим, что если клетка <tex>i + 1</tex> занята, то доминошку уже не надо класть, и <tex>(p, i)</tex> логично отождествить с <tex>(p, i + 1)</tex>. Условно пишется {{---}} "<tex>i + 1</tex>", однако, нужно всегда иметь в виду возможность <tex>i = n - 1</tex>. Легко заметить, что количество профилей увеличилось в <tex>2n</tex> раз (добавилось число от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и еще один бит). Но зато количество переходов резко сократилось с <tex>2^n</tex> до <tex>2</tex>. <font color=green>//Для профиля (p, i) выводятся все переходы из него (нумерация горизонталей начинается с нуля и i = 0..n - 1)</font> <font color=green>// Функция bit(x,i), возвращающая единицу или ноль или i-й бит в двоичной записи числа x</font> '''print_all_links'''(<tex>\times mmathtt{p}</tex>, <tex>\mathtt{i}</tex>): '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{1}}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})) << \ \mathtt{1}</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex> '''else''' '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p}, \mathtt{i}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1} </tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} << \ \mathtt{1})</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{1} << \ \mathtt{n})</tex>, " ", <tex>(\mathtt{i} + \mathtt{1}) % \mathtt{n})</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} < \times mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> && <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{2}}) == \mathtt{0}</tex> '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{4} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex>[[Файл:ok.jpg|640px|thumb|left|Возможные переходы]] При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, у которых <tex>(i + 1)</tex>-й бит равен единице).Отождествим все профили с один переходом с теми, кто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть <tex>pr_2</tex> (и только он) получается из <tex>pr_1</tex>, который, в свою очередь, получается из <tex>pr_0</tex>. Тогда имеются такие соотношения: <tex>d[pr_0, pr_1] = 1</tex>, <tex>d[pr_1, pr_2] = 1</tex>. Отождествить <tex>pr_1</tex> и <tex>pr_2</tex> {{---}} это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то есть теперь <tex>d[pr_0, pr_1] = 0</tex> и <tex>d[pr_1, pr_2] = 0</tex>, но <tex>d[pr_0, pr_2] = 1</tex>, и так далее. Таким образом, возможно сокращение профилей не менее чем вдвое. Хотя можно совершить дальнейшие оптимизации. В итоге асимптотика составляет <tex>O(2^nnm)</tex>. Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.
== См. также ==
*[[Динамическое программирование]]
== Ссылки Источники информации ==
*[http://informatics.mccme.ru/moodle/file.php/9/dyn_prof.pdf Динамическое программирование по профилю]
*[http://informatics.mccme.ru/mod/book/view.php?id=290&chapterid=78 Динамическое программирование по изломанному профилю]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Динамическое программирование]]
