Изменения

|definition='''ПрофильДинамическое программирование по профилю''' - один из столбцов(строкангл. ''dynamic programming with profile''){{---}} способ оптимизации перебора количества вариантов с помощью [[Динамическое программирование|динамического программирования]], удовлетворяющий условию задачи. Обычно используется в качестве состояния динамикикогда одно из измерений небольшое.

Найти количество способов замостить таблицу <tex>n\times m</tex> с помощью доминошками размерами <tex>==='''Решение'''=== [[Файл:Домино.png|270px|thumb|right|Переходы (1\times -правильный переход, 2,2\times 1</tex>.3-неправильные)]]

В качестве состояния динамики будем использовать профили размерами <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1 </tex> будет означать, что домино лежит горизонтально и заканчивается на этом столбце, иначе <tex>0</tex>. Таких профилей будет <tex>2^n</tex>.

[[Файл:Домино.png|270px|thumb|right|'''Переходы(1-правильный переход, 2,3-неправильные)''']] Из профиля <tex>i </tex> в профиль <tex>j </tex> можно перейти если выполняются условия:

* Можно положить горизонтальные домино. То есть там где в <tex>j </tex> профиле стоит <tex>1</tex>, в <tex>i </tex> профиле должен стоять <tex>0</tex>.

* Можно доложить в оставшиеся клетки вертикальные домино. То есть оставшиеся <tex>0 </tex> в <tex>i </tex> профиле должны образовывать четные подстроки.

Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i </tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{- --}} количество способов замощения первых <tex>k-1 </tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.

Ответом будет <tex> \sum a[m][i]</tex>, где <tex>i : </tex> {{---}} профиль, который может быть последним (т.е. все группы из <tex>0 </tex> имеют четные размеры) '''Реализация'''.

==='''Реализация'''=== <font color=green>//n, m размеры {{---}} размер таблицы </font> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if ''' можно перейти из <tex>\mathtt{i }</tex> в <tex>\mathtt{j }</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{1; }</tex> '''else ''' <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}] = \mathtt{0;}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{0}][\mathtt{0}] = \mathtt{1; }</tex> <font color=green>//Так как мы можем начать только с профиля где все клетки 0</font> '''for ''' <tex>k = \mathtt{1}..\mathtt{m } - \mathtt{1} </tex> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{j } = \mathtt{0}..(\mathtt{1} <<\ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] += \mathtt{a}[\mathtt{k} -\mathtt{1}][\mathtt{j}] * \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}];</tex> <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{0;}</tex> '''for ''' <tex>\mathtt{i } = \mathtt{0}..(\mathtt{1<<} \lt \lt \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if ''' можно закончить <tex>\mathtt{i }</tex> профилем <tex>\mathtt{ans } = \mathtt{ans} += \mathtt{a}[\mathtt{m} -\mathtt{1}][\mathtt{i}];</tex> '''return ''' <tex>\mathtt{ans;}</tex>

''' Оценка сложности : '''подсчет <tex>d - 2^{2n}</tex> , и подсчет <tex>a - 2^{2n}\times m</tex> в итоге <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>.

''' Оценка памяти : '''<tex>O(2^{2n}+2^{2n}\times m)</tex>, так же можно заметить что в массиве <tex>a</tex> для <tex>k </tex> состояния нам нужно только <tex>k-1 </tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n})</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex>, а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2\times 2^{n+ 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}\times m\times fmf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i </tex> в <tex>j, обычно проверка равна </tex> равно <tex>n </tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times m\times nmn)</tex>.

[[Файл:Симпатичне узоры.png|240px|thumb|right|'''Примеры узоров''']]

==='''Решение:'''===Для удобства можно хранить профиля в виде двоичных масок.В качестве состояния динамики будем использовать профили размера <tex>n</tex>. В этом профиле <tex>1 </tex> будет означать что клетка закрашена в черный цвет, и <tex>0 </tex> если в белый.Из профиля <tex>i </tex> в <tex>j</tex>-ый можно перейти если выполнено условие:* если поставить <tex>i </tex> и <tex>j </tex> профиль рядом, то не должно быть квадратов <tex>2\times 2</tex> одного цвета

Пусть <tex>d[i][j] = 1</tex> если из профиля <tex>i </tex> можно перейти в <tex>j</tex>-ый, иначе <tex>0</tex>.

Пусть так же <tex>a[k][i]</tex> {{- --}} количество способов раскрашивания первые <tex>k-1 </tex> столбцов и заканчивавшийся на <tex>i</tex>-ом профиле.

Ответом будет <tex> \displaystyle \sum_{ji=0}^{2^n -1} a[m][i]</tex> ==='''Реализация'''=== <font color=green>// n, m {{---}} размер таблицы </font> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''if''' можно перейти из <tex>\mathtt{i}</tex> в <tex>\mathtt{j}</tex> профиль <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{1}</tex> '''else''' <tex>\mathtt{d}[\mathtt{i}][\mathtt{j}]\ =\ \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[0][\mathtt{i}]\ = \mathtt{1}</tex> <font color=green >// Так как мы можем начать c любого профиля</font> '''for''' <tex>\mathtt{k} = \mathtt{1}.. \mathtt{m} - \mathtt{1} </tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{j} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] = \mathtt{a}[\mathtt{k}][\mathtt{i}] + \mathtt{a}[\mathtt{k} - 1][\mathtt{j}] \cdot \mathtt{d}[\mathtt{j}][\mathtt{i}]</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{0}</tex> '''for''' <tex>\mathtt{i} = \mathtt{0}..(\mathtt{1} << \ \mathtt{n}) - \mathtt{1}</tex> <tex>\mathtt{ans} = \mathtt{ans} + \mathtt{a}[\mathtt{m} - \mathtt{1}][\mathtt{i}]</tex> <font color=green>// Так как мы можем закончить любым профилем </font> '''return''' <tex>\mathtt{ans}</tex>

'''РеализацияОценка сложности:''' //n, m размеры таблицы for i = 0..(1подсчет <<n) tex>d - 1 for j = 0..(12^{2n}</tex> , и подсчет <n) tex>a - 1 if можно перейти из i в j профиль d[i][j] = 1; else d[i][j] = 0; for i = 0..(12^{2n}m<<n) - 1 a[i][0] = 1; //Так как мы можем начать c любого профиля for k = 1..m - 1 for i = 0..(1tex> в итоге <<n) - 1 for j = 0..tex>O(1<<n2^{2n}m) - 1 a[k][i] += a[k-1][j] * d[j][i]; ans = 0; for i = 0..(1<<n) - 1 ans += a[m-1][i]//Так как мы можем закончить любым профилем return ans;tex>.

''' Оценка сложности памяти: '''подсчет <tex>d - O(2^{2n}+2^{2n}m)</tex> , и подсчет так же можно заметить что в массиве <tex>a </tex> для <tex>k</tex> состояния нам нужно только <tex>k- 1</tex> состояние, при такой реализации нужно будет <tex>O(2^{2n}\times m)</tex>. Еще можно не считать массив <tex>d</tex> , а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти в это состояние в итоге потребуется <tex>O(2^{n + 1})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени <tex>2^{2n}mf(i,j)</tex>, где <tex>f(i,j)</tex> время проверки возможности перехода из <tex>i</tex> в <tex>j</tex> равно <tex>n</tex> и тогда время получается <tex>O(2^{2n}\times mmn)</tex>.

== Динамика по изломанному профилю == {{Определение|definition=''' Оценка памяти : Изломанный профиль''' (англ. ''broken profile'') {{---}} обобщение прямого профиля на случай, когда обработанным является не целое число столбцов, а некоторое количество столбцов и несколько первых клеток следующего столбца.}} Это очень сильная оптимизация динамики по профилю. Идея в том, чтобы добиться как можно меньшего числа переходов (от одного профиля к другому). === Пример ===Еще раз используем в качестве примера задачу о замощении. Базовая линия теперь будет ломаной: при прохождении через <tex>i</tex>-ю вертикаль сверху вниз, она переходит на предыдущую вертикаль и спускается до низу. Теперь профиль — это не только маска, но ещё и место излома.[[Файл:img34.gif|300px|thumb|right|]]Профилем будет пара <tex>O(2^{2n}p, i)</tex>, в <tex>p</tex> будет информация о <tex>n + 1</tex> маленьком квадратике слева от базовой линии, имеющем с ней общие точки; <tex>i</tex> обозначает номер горизонтали, на которой произошел излом. Квадратики профиля будут нумероваться сверху вниз, так что угловой будет иметь номер <tex>i +2^{2n}\times m1</tex>. Горизонтали будем нумеровать с нуля, так что <tex>i</tex> пробегает значения от <tex>0</tex> до <tex>n - 1</tex>. Пусть <tex>d[pr_1][pr_2] = 1</tex> если из профиля <tex>pr_1</tex> = <tex>(p_1, i_1)</tex> можно перейти в <tex>pr_2 = (p_2, i_2)</tex>, иначе <tex>0</tex>. * Eсли <tex>i < n - 1</tex>, то <tex>i_1 + 1 = i_2</tex>, иначе <tex>i_2 = 0 </tex>; * Mожно так же можно заметить положить доминошку, накрывающую квадратик с номером <tex>i + 1</tex>, что после этого в массиве <tex>ap_2</tex> для k состояния нам нужно будет храниться в точности информация о соответствующих квадратиках.Проще говоря, доминошку можно класть только kдвумя способами {{---}} как показано на рисунках (на квадратик с номером <tex>i + 1 состояние</tex> можно положить не более одной вертикальной и горизонтальной доминошки). То, что потом получается после сдвига вниз излома, при такой реализации нужно и будет новым профилем. Заметим, что если клетка <tex>i + 1</tex> занята, то доминошку уже не надо класть, и <tex>(p, i)</tex> логично отождествить с <tex>O(2^p, i + 1)</tex>. Условно пишется {{---}} "<tex>i + 1</tex>", однако, нужно всегда иметь в виду возможность <tex>i = n - 1</tex>. Легко заметить, что количество профилей увеличилось в <tex>2n}</tex> раз (добавилось число от <tex>1</tex> до <tex>n</tex> и еще один бит). Но зато количество переходов резко сократилось с <tex>2^n</tex>до <tex>2</tex>.  <font color=green>//Для профиля (p, i) выводятся все переходы из него (нумерация горизонталей начинается с нуля и i = 0. Еще можно не считать массив d.n - 1)</font> <font color=green>// Функция bit(x,i), а просто каждый раз перепроверять можем ли мы перейти возвращающая единицу или ноль или i-й бит в это состояние в итоге потребуется двоичной записи числа x</font> '''print_all_links'''(<tex>\mathtt{p}</tex>, <tex>\mathtt{i}</tex>): '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{1}}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> '''println'''<tex>O((\mathtt{p} - (\mathtt{2} << \ \mathtt{i})) << \ \mathtt{1}</tex>, " ", <tex>\times mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} - (\mathtt{2^} << \ \mathtt{i})</tex>, " ", <tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex> '''else''' '''if''' <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p}, \mathtt{i}) == \mathtt{0}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} == \mathtt{n} - \mathtt{1} </tex> '''println'''<tex>((\mathtt{p} << \ \mathtt{1})</tex>, " ", <tex>\mathtt{0})</tex> '''else''' '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{1} << \ \mathtt{n})</tex> памяти, но нам потребуется больше времени " ", <tex>(\mathtt{i} + \mathtt{1}) % \mathtt{n})</tex> '''if''' <tex>\mathtt{i} < \mathtt{n} - \mathtt{1}</tex> && <tex>\mathtt{bit}(\mathtt{p, \mathtt{i} + \mathtt{2^}}) == \mathtt{0}</tex> '''println'''<tex>(\mathtt{p} + (\mathtt{2n4}<< \times m\times f(mathtt{i})</tex>, " ",j<tex>\mathtt{i} + \mathtt{1})</tex>[[Файл:ok.jpg|640px|thumb|left|Возможные переходы]] При такой реализации существует немало профилей только с одним переходом (например, где у которых <tex>f(i+ 1)</tex>-й бит равен единице).Отождествим все профили с один переходом с теми,jкто их них получается. Это будет выглядеть так: пусть <tex>pr_2</tex> (и только он)получается из <tex>pr_1</tex> время проверки возможности перехода , который, в свою очередь, получается из i в j<tex>pr_0</tex>. Тогда имеются такие соотношения: <tex>d[pr_0, pr_1] = 1</tex>, <tex>d[pr_1, pr_2] = 1</tex>. Отождествить <tex>pr_1</tex> и <tex>pr_2</tex> {{---}} это, по сути, заменить эти два соотношение на одно, то есть теперь <tex>d[pr_0, pr_1] = 0</tex> и <tex>d[pr_1, pr_2] = 0</tex>, но <tex>d[pr_0, pr_2] = 1</tex>, обычно проверка равна n и тогда время получается так далее. Таким образом, возможно сокращение профилей не менее чем вдвое. Хотя можно совершить дальнейшие оптимизации. В итоге асимптотика составляет <tex>O(2^{2n}\times m\times nnnm)</tex>. Это доказывает, что данный метод значительно лучше простого способа подсчёта динамики.

*[[Динамическое_программированиеДинамическое программирование]] == Ссылки Источники информации ==