Дискретная случайная величина — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показаны 54 промежуточные версии 11 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''Случайная величина''' — это отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел.  
+
{{Определение
<tex> \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</tex>
+
|definition =
 +
'''Случайная величина''' (англ. ''random variable'') {{---}} отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел.  
 +
<tex> \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}</tex>}}
  
==Плотность распределения==
+
== Дискретная случайная величина ==
Рассмотрим случайную величину ξ, возможные значения которой образуют конечную или бесконечную последовательность чисел <tex> x_1, x_2, ..., x_n</tex>. Пусть задана функция <tex>p(x)</tex>, значение которой в каждой точке <tex> x_i  (i=1,2, ...)</tex> равно вероятности того, что величина ξ примет значение <tex> x_i </tex>.
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Дискретной случайной величиной''' (англ. ''discrete random variable'') называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.
 +
}}
 +
 
 +
===Примеры===
 +
 
 +
Проще говоря, дискретные случайные величины {{---}} это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:
 +
# Число попаданий в мишень при <tex>n</tex> выстрелах. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
 +
# Количество выпавших орлов при <tex>n</tex> бросков монетки. Принимаемые значения <tex>0 \ldots n</tex>  
 +
# Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений {{---}} <tex>\{1,2,3,4,5,6\}</tex>  
  
<tex> p(x)</tex> называется плотностью распределения вероятностей случайной величины.
+
Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.
           
 
<tex> p(x_i) = p(\xi = x_i) </tex>
 
  
 
==Функция распределения==
 
==Функция распределения==
  
Функция распределения для случайной величины ξ выражается следующей формулой:
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Функция распределения случайной величины''' (англ. ''cumulative distribution function (CDF)'') {{---}} функция <tex>F(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как <tex>P(\xi\leqslant x)</tex>, т.е. выражающая вероятность того, что <tex>\xi</tex> примет значение меньшее или равное <tex>x</tex> }}
 +
 
 +
Если случайная величина <tex>\xi</tex> дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией <tex>\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots</tex>
 +
 
 +
Функция распределения <math>F(x)</math> этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как <tex>F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i</tex>.
 +
 
 +
Свойства функции распределения дискретной случайной величины:
 +
 
 +
*<tex>F(x_1)\leqslant F(x_2)</tex> при <tex>x_1 \leqslant x_2;</tex>
  
<tex>F_\xi(a) = p(\xi \leqslant a)</tex>
+
*<tex>F(x)</tex> непрерывна во всех точках <tex>x\in \mathbb{R}</tex>, таких что <tex>\forall i ~ x \ne x_i </tex>, и имеет разрыв первого рода в точках, таких что <tex>\forall i ~ x = x_i</tex>.
  
==Математическое ожидание случайной величины==
+
*<tex>\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1</tex>.
'''Математическое ожидание'''(<tex>E\xi</tex>) - мера среднего значения случайной величины.
 
  
<tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega)</tex>
+
===Примеры===
 +
#Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть <tex>n</tex> выстрелов, вероятность попадания равна <tex>p</tex>. Необходимо найти <tex>F(k)</tex>. Для <tex>k < 0 ~ F(k) = 0</tex>, так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для <tex>k \geqslant 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \rceil - 1) }\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}</tex>
 +
#Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла {{---}} <tex>p</tex>.
 +
#Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел <tex>1 \ldots 6</tex> соответственно равны <tex>p_{1} \ldots p_{6}</tex>. Для <tex>k < 1 ~ F(k) = 0</tex>, так как не может выпасть цифра меньше <tex>1</tex>. Для <tex>k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \rceil - 1) }p_{i}</tex>
  
{{Теорема
+
В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например <tex>
 +
F(x) = \begin{cases}
 +
0, & x < 0 \\
 +
\dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \leqslant  x \leqslant 3\\
 +
1, & x > 3
 +
\end{cases}</tex>
  
|statement= <tex>\sum\limits_{\omega\epsilon\Omega} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
+
==Функция плотности распределения вероятностей==
  
|proof= <tex>\sum\limits_a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega) = a} \xi(\omega)p(\omega) = \sum\limits_a a \sum\limits_{\omega|\xi(\omega)=a}p(\omega) = \sum\limits_a a p(\xi = a)</tex>
+
{{Определение
 +
|definition =
 +
'''Функция плотности распределения вероятностей''' (англ. ''Probability density function'') {{---}} функция <tex>f(x)</tex>, определённая на <tex>\mathbb{R}</tex> как первая производная функции распределения.
  
}}
+
:<tex>f(x) = F'(x)</tex> }}
 +
 
 +
Свойства функции плотности вероятности:
 +
 
 +
*Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
 +
 
 +
:<math>\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1</math>.
 +
 
 +
*Плотность вероятности определена почти всюду.
 +
:Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.
 +
 
 +
Для примера выше <tex>
 +
f(x)=F'(x) = \begin{cases}
 +
(0)', & x < 0 \\
 +
\left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant  x \leqslant 3\\
 +
(1)', & x > 3
 +
\end{cases} =
 +
\begin{cases}
 +
0, & x < 0 \\
 +
\dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant  x \leqslant 3\\
 +
0, & x > 3
 +
\end{cases}
 +
</tex>
 +
 
 +
Для дискретной случайной величины '''не''' существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[Математическое ожидание случайной величины]]
  
==Пример==
+
== Источники информации ==
Пусть у нас есть "Честная кость"
+
* [http://kek.ksu.ru/EOS/TerVer/par7.html КГУ {{---}} Определение дискретной случайной величины]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BA%D1%80%D0%B5%D1%82%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%B0%D1%8F_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D0%B0 Википедия {{---}} Дискретная случайная величина]
 +
* [https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D0%BB%D0%BE%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%8C_%D0%B2%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8 Википедия {{---}} Плотность вероятности]
  
<tex> \xi(i) = i </tex>
+
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
  
<tex> E\xi = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5</tex>
+
[[Категория: Теория вероятности ]]

Текущая версия на 19:22, 4 сентября 2022

Определение:
Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]


Дискретная случайная величина

Определение:
Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.


Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, количество значений которых можно пересчитать. Например:

  1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
  3. Число очков, выпавших при бросании игральной кости. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{1,2,3,4,5,6\}[/math]

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:
Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi\leqslant x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение меньшее или равное [math]x[/math]


Если случайная величина [math]\xi[/math] дискретна, то есть её распределение однозначно задаётся функцией [math]\mathbb{P}(\xi = x_i) = p_i,\; i=1,2,\ldots[/math]

Функция распределения [math]F(x)[/math] этой случайной величины кусочно-постоянна и может быть записана как [math]F(x) = \sum\limits_{i:~x_i \leqslant x} p_i[/math].

Свойства функции распределения дискретной случайной величины:

  • [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]
  • [math]F(x)[/math] непрерывна во всех точках [math]x\in \mathbb{R}[/math], таких что [math]\forall i ~ x \ne x_i [/math], и имеет разрыв первого рода в точках, таких что [math]\forall i ~ x = x_i[/math].
  • [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Примеры

  1. Найдем функцию распределения количества попаданий в мишень. Пусть у нас есть [math]n[/math] выстрелов, вероятность попадания равна [math]p[/math]. Необходимо найти [math]F(k)[/math]. Для [math]k \lt 0 ~ F(k) = 0[/math], так как нельзя попасть в мишень отрицательное число раз. Для [math]k \geqslant 0 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 0}^{\min(n, \lceil k \rceil - 1) }\dbinom{n}{i}p^{i} (1-p)^{ n - i}[/math]
  2. Аналогичное решение имеет функция распределения числа выпавших орлов при броске монеты, если шанс выпадения орла — [math]p[/math].
  3. Найдем функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости. Пусть у нас есть вероятности выпадения чисел [math]1 \ldots 6[/math] соответственно равны [math]p_{1} \ldots p_{6}[/math]. Для [math]k \lt 1 ~ F(k) = 0[/math], так как не может выпасть цифра меньше [math]1[/math]. Для [math]k \geqslant 1 ~ F(k) = \sum\limits_{i = 1}^{\min(6,\lceil k \rceil - 1) }p_{i}[/math]

В отличие от дискретной случайной величины, непрерывная случайная величина может принять любое действительное значение из некоторого промежутка ненулевой длины, что делает невозможным её представление в виде таблицы или перечисления состояний. Поэтому ее часто явно задают через функцию распределения, например [math] F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \dfrac{x^{2}}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 1, & x \gt 3 \end{cases}[/math]

Функция плотности распределения вероятностей

Определение:
Функция плотности распределения вероятностей (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения.
[math]f(x) = F'(x)[/math]


Свойства функции плотности вероятности:

  • Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:
[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].
  • Плотность вероятности определена почти всюду.
Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

Для примера выше [math] f(x)=F'(x) = \begin{cases} (0)', & x \lt 0 \\ \left(\dfrac{x^{2}}{9} \right)', & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ (1)', & x \gt 3 \end{cases} = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \dfrac{2x}{9}, & 0 \leqslant x \leqslant 3\\ 0, & x \gt 3 \end{cases} [/math]

Для дискретной случайной величины не существует функции плотности распределения вероятностей, так как такая случайная величина не является абсолютно непрерывной функцией.

См. также

Источники информации