Дискретная случайная величина

Определение:

Случайная величина (англ. random variable) — отображение из множества элементарных исходов в множество вещественных чисел. [math] \xi\colon\Omega \to \mathbb{R}[/math]

Дискретная случайная величина

Определение:

Дискретной случайной величиной (англ. discrete random variable) называется случайная величина, множество значений которой не более чем счётно, причём принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определённой вероятностью.

Примеры

Проще говоря, дискретные случайные величины — это величины, значения которых можно пересчитать. Например:

1. Число попаданий в мишень при [math]n[/math] выстрелах. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
2. Количество выпавших орлов при [math]n[/math] бросков монетки. Принимаемые значения [math]0 \ldots n[/math]
3. Количество выученных билетов, число звонков, поступавших на телефонную станцию в течение месяца. Принимаемые значения также [math]0 \ldots n[/math]
4. Сумма выигрыша в лотерее, если выпущено [math]1000[/math] лотерейных билетов: на [math]5[/math] из них выпадает выигрыш в сумме [math]500[/math], на [math]10[/math] — [math]100[/math] рублей, на [math]20[/math] — [math]50[/math], на [math]50[/math] — [math]10[/math]. Случайная величина принимает одно из значений — [math]\{0, 10, 50, 100, 500\}[/math]

В качестве примеров можно привести число  количество выученных билетов (среди конечного числа билетов), число звонков, поступавших на телефонную станцию в течение месяца ([math]1, 2, 3, \ldots[/math]).

Существуют также непрерывные случайные величины. Например, координаты точки попадания при выстреле.

Функция распределения

Определение:

Функция распределения случайной величины (англ. cumulative distribution function (CDF)) — функция [math]F(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как [math]P(\xi \lt x)[/math], т.е. выражающая вероятность того, что [math]\xi[/math] примет значение, меньшее чем [math]x[/math]

Свойства функции распределения:

• [math]F(x_1)\leqslant F(x_2)[/math] при [math]x_1 \leqslant x_2;[/math]

• [math]F(x)[/math] непрерывна слева [math]\forall x \in \mathbb{R};[/math]

• [math]\lim\limits_{x \to -\infty} F(x) = 0, \lim\limits_{x \to +\infty} F(x) = 1[/math].

Функция плотности вероятности

Определение:

Функция плотности вероятности (англ. Probability density function) — функция [math]f(x)[/math], определённая на [math]\mathbb{R}[/math] как первая производная функции распределения. [math]f(x) = F'(x)[/math]

Свойства функции плотности вероятности:

• Интеграл от плотности по всему пространству равен единице:

[math]\int\limits_{\mathbb{R}^n} f(x)\, dx = 1[/math].

• Плотность вероятности определена почти всюду.

Иными словами, множество точек, для которых она не определена, имеет меру ноль.

См. также

• Математическое ожидание случайной величины

Источники информации

• КГУ — Определение дискретной случайной величины
• Википедия — Дискретная случайная величина
• Википедия — Плотность вероятности