Дисперсия случайной величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Источники)
Строка 1: Строка 1:
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D \xi</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,\xi</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
+
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D \xi</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,(\xi)</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
 
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
 
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
  
Строка 5: Строка 5:
  
 
Пусть <tex>\displaystyle \xi</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
 
Пусть <tex>\displaystyle \xi</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда
: <tex>D  \xi = \mathbb{E}\left[(\xi -\mathbb{E}[\xi])^2\right] </tex>
+
: <tex>D  \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>
  
где символ <tex>\mathbb{E}</tex> обозначает [[Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].
+
где символ <tex>E</tex> обозначает [[Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].
  
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
  
 
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:
 
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D \xi = \mathbb{E}[\xi^2] - \left(\mathbb{E}[\xi]\right)^2;</tex>
+
*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2;</tex>
  
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
  
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D[\xi] \geqslant 0;</tex>
+
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>
 
* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её математическое ожидание;
 
* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[\xi]=0,</tex> то <tex>\xi =\mathbb{E}[\xi]</tex> почти всюду;
+
* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D\xi=0,</tex> то <tex>\xi =E\xi</tex> почти всюду;
 
* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:
 
* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:
*: <tex>\! D[\xi \pm \psi] = D[\xi] + D[\psi] \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
+
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
* <tex>D\left[a\xi\right] = a^2D[\xi];</tex>
+
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi;</tex>
* <tex>D\left[-\xi\right] = D[\xi];</tex>
+
* <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>
* <tex>D\left[\xi+b\right] = D[\xi].</tex>
+
* <tex>D(\xi+b) = D\xi.</tex>
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==
  
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия]
+
[http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия]
 +
*Дискретный анализ, Романовский И. В.

Версия 17:42, 24 декабря 2010

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D \xi[/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,(\xi)[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle \xi[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D \xi = E(\xi -E\xi)^2 [/math]

где символ [math]E[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D\xi \geqslant 0;[/math]
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]Da = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D\xi=0,[/math] то [math]\xi =E\xi[/math] почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    [math]\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация;
  • [math]D (a\xi) = a^2D\xi;[/math]
  • [math]D(-\xi) = D\xi;[/math]
  • [math]D(\xi+b) = D\xi.[/math]

Источники