Дисперсия случайной величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Добавил теорему о линейности дисперсии для независимых случайных величин и исправил определение)
(Изменил ссылку на статью про математическое ожидание, до этого переходила на "Дискретная случайная величина")
(не показано 14 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
== Определение ==
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 
|id = def1
 
|id = def1
 
|definition =
 
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D  \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> - случайная величина, а <tex>E</tex> - символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
+
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D  \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{---}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{---}} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
  
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
+
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
  
 
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного  
 
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного  
 
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
 
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
  
== Замечания ==
+
{{Утверждение
* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:
+
|statement=В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
*: <tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>
+
|proof=<tex>D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex>
 +
<tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 </tex>
 +
}}
  
 
== Линейность ==  
 
== Линейность ==  
Строка 19: Строка 20:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
+
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
* Из определения:  
 
* Из определения:  
Строка 26: Строка 27:
 
: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>
 
: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>
  
* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> - независимые случайные величины.
+
* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины.
 
:Действительно,
 
:Действительно,
  
: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} P(\xi = a)P(\eta = b) =</tex>
+
: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =</tex> <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
 
 
: <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
 
 
}}
 
}}
  
 
== Свойства ==
 
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>
+
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]];
+
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0;</tex>
+
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0</tex>
 
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
 
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
+
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]]
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> - константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>
+
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{---}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> - константа.
+
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} константа.
 +
== Связь с центральным моментом ==
 +
{{Определение
 +
|id = def1
 +
|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.
 +
}}
 +
Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.
 +
Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.
 +
 
 
== Пример ==
 
== Пример ==
 
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
 
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
 +
{{Задача
 +
|definition=Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.
 +
}}
 +
<tex> \xi(i) = i </tex>
  
Найдем математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на кубике с первого броска.
+
Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5</tex>
 
 
<tex> \xi(i) = i </tex>
 
  
Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot 1/6+2\cdot 1/6 \dots +6\cdot 1/6 = 3.5</tex>
+
Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
  
Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot 1/6+4\cdot 1/6 \dots +36\cdot 1/6 - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
+
== См. также ==
== Источники ==
+
*[[Ковариация случайных величин|Ковариация случайных величин]]
*Дискретный анализ, Романовский И. В.
+
*[[Корреляция случайных величин|Корреляция случайных величин]]
 +
== Источники информации ==
 +
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ, 3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 {{---}} стр. 68.
 +
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия {{---}} Дисперсия случайной величины]
 +
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Variance Wikipedia {{---}} Variance]
 +
*[http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/3.asp#2 EXPonenta.ru {{---}} Числовые характеристики случайных величин]
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Теория вероятности]]

Версия 22:19, 3 марта 2021


Определение:
Дисперсией случайной величины (англ. variance) называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: [math]D \xi = E(\xi -E\xi)^2 [/math], где [math]\xi[/math] — случайная величина, а [math]E[/math] — символ, обозначающий математическое ожидание


Дисперсия характеризует разброс случайной величины вокруг ее математического ожидания.

Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Утверждение:
В силу линейности математического ожидания справедлива формула [math]D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2[/math]
[math]\triangleright[/math]

[math]D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = [/math]

[math]= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 [/math]
[math]\triangleleft[/math]

Линейность

Теорема:
Если [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины, то: [math]D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
  • Из определения:
    [math]D(\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =[/math]
[math] = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))[/math]
  • При этом, [math]E\xi\eta - E\xi E\eta = 0[/math], так как [math]\xi[/math] и [math]\eta[/math] — независимые случайные величины.
Действительно,
[math]E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =[/math] [math] {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D\xi \geqslant 0[/math]
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]Da = 0[/math]
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    [math]\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)[/math], где [math]\! \text{Cov}(\xi, \psi)[/math] — их ковариация
  • [math]D (a\xi) = a^2D\xi[/math], где [math]a[/math] — константа. В частности, [math]D(-\xi) = D\xi[/math]
  • [math]D(\xi+b) = D\xi[/math], где [math]b[/math] — константа.

Связь с центральным моментом

Определение:
Центральным моментом (англ. central moment) [math]k[/math]-ого порядка случайной величины [math]\xi[/math] называется величина [math]\mu_k[/math], определяемая формулой [math]\mu_k = E(\xi -E\xi)^k[/math].

Заметим, что если [math]k[/math] равно двум, то [math]\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi[/math]. Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.

Пример

Рассмотрим простой пример вычисления математического ожидания и дисперсии.

Задача:
Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.

[math] \xi(i) = i [/math]

Вычислим математическое ожидание: [math]E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} = 3.5[/math]

Вычислим дисперсию: [math]D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3.5)^2 \approx 2.9[/math]

См. также

Источники информации