Изменения
Изменил ссылку на статью про математическое ожидание, до этого переходила на "Дискретная случайная величина"
{{Определение
|id = def1
|definition =
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{--- }} случайная величина, а <tex>E</tex> {{--- }} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
{{Утверждение|statement== Замечания ==* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:<tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>*: |proof=<tex>D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex><tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>}}
== Линейность ==
{{Теорема
|statement=
Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{- --}} независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>
|proof=
* Из определения:
: <tex> = E(\xi - E\xi)^2 + 2E((\xi - E(\xi)(\eta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2 = D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex>
* При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{- --}} независимые случайные величины.
:Действительно,
: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} PabP(\xi = a)P(\eta = b) =</tex> : <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
}}
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0;</tex>* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]];* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0;</tex>
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{- --}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi;</tex>* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{-- -}} константа.== Связь с центральным моментом =={{Определение|id = def1|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.}}Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
{{Задача
|definition=Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.
}}
<tex> \xi(i) = i </tex>
Вычислим математическое ожиданиедисперсию: <tex>ED\xi = \sum E\xi^2 - (E\omega)p(\omegaxi) ^2 = 1\cdot \dfrac{1/}{6}+24\cdot \dfrac{1/}{6 } \dots +636\cdot \dfrac{1/}{6 = } - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
