Изменения
Изменил ссылку на статью про математическое ожидание, до этого переходила на "Дискретная случайная величина"
{{Определение
'''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi = E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{---}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{---}} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] вокруг ее [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]].
Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного
отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
{{Утверждение|statement== Замечания ==* В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула:<tex>D \xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>*: |proof=<tex>D \xi = E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex><tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>}}
== Линейность ==
:Действительно,
: <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =</tex> : <tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>
}}
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{---}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} константа.
== Связь с центральным моментом ==
{{Определение
|id = def1
|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.
}}
Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.
Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.
== Пример ==
Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] и дисперсии.
{{Задача
|definition=Найдем Найти математическое ожидание и дисперсию числа очков, выпавших на кубике честной игральной кости с первого броска.
}}
<tex> \xi(i) = i </tex>
Вычислим математическое ожидание: <tex>E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) = 1\cdot \dfrac{1/}{6} +2\cdot \dfrac{1/}{6 } \dots +6\cdot \dfrac{1/}{6 } = 3.5</tex> Вычислим дисперсию: <tex>D\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 = 1\cdot 1/6+4\cdot 1/6 \dots +36\cdot 1/6 - (3.5)^2 \approx 2.9</tex>
Вычислим дисперсию: <tex>D\xi =E\xi^2 - (E\xi)^2 = Источники ==*Дискретный анализ, Романовский И1\cdot \dfrac{1}{6}+4\cdot \dfrac{1}{6} \dots +36\cdot \dfrac{1}{6} - (3. В5)^2 \approx 2.9</tex>
== См. также ==
*[[Ковариация случайных величин|Ковариация случайных величин]]
*[[Корреляция случайных величин|Корреляция случайных величин]]
== Источники информации ==
*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ, 3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 {{---}} стр. 68.
*[https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия {{---}} Дисперсия случайной величины]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Variance Wikipedia {{---}} Variance]
*[http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/3.asp#2 EXPonenta.ru {{---}} Числовые характеристики случайных величин]
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория вероятности]]
