'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D[X]</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,X</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
{{Определение|id =def1|definition = Определение ='''Дисперсией''' [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] (англ. ''variance'') называется математическое ожидание квадрата отклонения этой случайной величины от ее математического ожидания: <tex>D \xi =E(\xi -E\xi)^2 </tex>, где <tex>\xi</tex> {{---}} случайная величина, а <tex>E</tex> {{---}} символ, обозначающий [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]}}
Пусть <tex>\displaystyle X</tex> — Дисперсия характеризует разброс [[Дискретная случайная величина, определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространствеслучайной величины]]. Тогда: <tex>Dвокруг ее [X] = M\left[(X -M[XМатематическое ожидание случайной величины|математического ожидания])^2\right] </tex>.
где символ <tex>M</tex> обозначает [[Математическое ожидание Корень из дисперсии называется средним квадратичным отклонением. Оно используется для оценки масштаба возможного отклонения случайной величины|математическое ожидание]]от ее математического ожидания.
{{Утверждение|statement=В силу [[ Линейность математического ожидания|линейности математического ожидания]] справедлива формула <tex>D \xi = Замечания E\xi^2 - (E\xi)^2</tex>|proof=<tex>D \xi =E(\xi - E\xi)^2 = E(\xi^2 -2(E\xi)\xi + (E\xi)^2) = </tex><tex>= E\xi^2 + (E\xi)^2 - 2(E\xi)E\xi = E\xi^2 - (E\xi)^2 </tex>}}
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной == Линейность == {{Теорема|statement=Если <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины, то: <tex>D(\xi + \eta) = D\xi + D\eta</tex>|математического ожидания]] справедлива формулаproof=* Из определения:*: <tex>D[X] (\xi + \eta) = E(\xi + \eta - E(\xi + \eta))^2 = E(\xi - E\xi + \eta - E\eta)^2 =</tex> : <tex> = M[XE(\xi - E\xi)^2] + 2E((\xi - E(\leftxi)(M[X]\righteta - E\eta)) + E(\eta - E\eta)^2;= D\xi + D\eta + 2(E\xi\eta - E\xi E\eta))</tex> * При этом, <tex>E\xi\eta - E\xi E\eta = 0</tex>, так как <tex>\xi</tex> и <tex>\eta</tex> {{---}} независимые случайные величины.:Действительно, : <tex>E\xi\eta = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a, \eta = b) = {\sum_{a, b} \limits} abP(\xi = a)P(\eta = b) =</tex><tex> {\sum_{a} \limits} aP(\xi = a) {\sum_{b} \limits} bP(\eta = b) = E\xi E\eta</tex>}}
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[Дискретная случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D\xi \geqslant 0</tex>
* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]]
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>Da = 0</tex>
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D(\xi \pm \psi) = D\xi + D\psi \pm 2\,\text{Cov}(\xi, \psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(\xi, \psi)</tex> {{---}} их [[Ковариация случайных величин|ковариация]]
* <tex>D (a\xi) = a^2D\xi</tex>, где <tex>a</tex> {{---}} константа. В частности, <tex>D(-\xi) = D\xi</tex>
* <tex>D(\xi+b) = D\xi</tex>, где <tex>b</tex> {{---}} константа.
== Связь с центральным моментом ==
{{Определение
|id = def1
|definition=<b>Центральным моментом</b> (англ. ''central moment'') <tex>k</tex>-ого порядка случайной величины <tex>\xi</tex> называется величина <tex>\mu_k</tex>, определяемая формулой <tex>\mu_k = E(\xi -E\xi)^k</tex>.
}}
Заметим, что если <tex>k</tex> равно двум, то <tex>\mu_2 = E(\xi -E\xi)^2 = D \xi</tex>.
Таким образом, дисперсия является центральным моментом второго порядка.
* Дисперсия любой == Пример ==Рассмотрим простой пример вычисления [[Дискретная случайная величина#Математическое ожидание случайной величины неотрицательна: <tex>D[X|математического ожидания]] \geqslant 0;</tex>и дисперсии.{{Задача* Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её |definition=Найти математическое ожидание;и дисперсию числа очков, выпавших на честной игральной кости с первого броска.}}* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] \xi(i) = 0.i </tex> Верно и обратное Вычислим математическое ожидание: если <tex>D[X]E\xi = \sum \xi(\omega)p(\omega) =0,</tex> то <tex>X 1\cdot \dfrac{1}{6} +2\cdot \dfrac{1}{6} \dots +6\cdot \dfrac{1}{6} =M[X]3.5</tex> почти всюду;* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:*Вычислим дисперсию: <tex>\! D[X \pm Y] xi = D[X] + D[Y] E\xi^2 - (E\pm xi)^2= 1\cdot \dfrac{1}{6}+4\,cdot \textdfrac{1}{Cov6}(X, Y)</tex>, где <tex>\! dots +36\cdot \textdfrac{Cov1}{6} - (X, Y3.5)^2 \approx 2.9</tex> — их == См. также == *[[Ковариация случайных величин|ковариацияКовариация случайных величин]];* <tex>D\left[aX\right[Корреляция случайных величин|Корреляция случайных величин]] = a^2D= Источники информации ==*''Романовский И. В.'' Дискретный анализ, 3-е изд.: Издательский дом "Невский диалект", 2003 {{---}} стр. 68.*[Xhttps://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%94%D0%B8%D1%81%D0%BF%D0%B5%D1%80%D1%81%D0%B8%D1%8F_%D1%81%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D0%BE%D0%B9_%D0%B2%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%87%D0%B8%D0%BD%D1%8B Википедия {{---}} Дисперсия случайной величины];<*[https://en.wikipedia.org/wiki/tex>Variance Wikipedia {{---}} Variance]* <tex>D\left[http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/tv/theme0/3.asp#2 EXPonenta.ru {{-X\right--}} Числовые характеристики случайных величин] = D[[XКатегория: Дискретная математика и алгоритмы]];</tex>* <tex>D\left[X+b\right[Категория: Теория вероятности] = D[X].</tex>
