Дисперсия случайной величины — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Определение)
Строка 1: Строка 1:
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается <tex>D[X]</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{var}\,X</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
+
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D[X]</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,X</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
 
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
 
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
  
Строка 11: Строка 11:
 
== Замечания ==
 
== Замечания ==
  
* В силу линейности математического ожидания справедлива формула:
+
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:
 
*: <tex>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;</tex>
 
*: <tex>D[X] = M[X^2] - \left(M[X]\right)^2;</tex>
  
Строка 20: Строка 20:
 
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =M[X]</tex> почти всюду;
 
* Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X]=0,</tex> то <tex>X =M[X]</tex> почти всюду;
 
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
 
* Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{cov}(X, Y)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
+
*: <tex>\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(X, Y)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];
 
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[aX\right] = a^2D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[-X\right] = D[X];</tex>
 
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>
 
* <tex>D\left[X+b\right] = D[X].</tex>

Версия 14:56, 24 декабря 2010

Диспе́рсия случа́йной величины́ — мера разброса данной случайной величины, то есть её отклонения от математического ожидания. Обозначается [math]D[X][/math] в русской литературе и [math]\operatorname{Var}\,X[/math] в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный [math]\displaystyle \sigma[/math], называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом. Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.

Определение

Пусть [math]\displaystyle X[/math] — случайная величина, определённая на некотором вероятностном пространстве. Тогда

[math]D[X] = M\left[(X -M[X])^2\right] [/math]

где символ [math]M[/math] обозначает математическое ожидание.

Замечания

Свойства

  • Дисперсия любой случайной величины неотрицательна: [math]D[X] \geqslant 0;[/math]
  • Если дисперсия случайной величины конечна, то конечно и её математическое ожидание;
  • Если случайная величина равна константе, то её дисперсия равна нулю: [math]D[a] = 0.[/math] Верно и обратное: если [math]D[X]=0,[/math] то [math]X =M[X][/math] почти всюду;
  • Дисперсия суммы двух случайных величин равна:
    [math]\! D[X \pm Y] = D[X] + D[Y] \pm 2\,\text{Cov}(X, Y)[/math], где [math]\! \text{Cov}(X, Y)[/math] — их ковариация;
  • [math]D\left[aX\right] = a^2D[X];[/math]
  • [math]D\left[-X\right] = D[X];[/math]
  • [math]D\left[X+b\right] = D[X].[/math]