43
правки
Изменения
Нет описания правки
'''Диспе́рсия случа́йной величины́''' — мера разброса данной [[случайная величина|случайной величины]], то есть её отклонения от [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]]. Обозначается <tex>D X\xi</tex> в русской литературе и <tex>\operatorname{Var}\,X\xi</tex> в зарубежной. Квадратный корень из дисперсии, равный <tex>\displaystyle \sigma</tex>, называется среднеквадрати́чным отклоне́нием, станда́ртным отклоне́нием или стандартным разбросом.
Стандартное отклонение измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, а дисперсия измеряется в квадратах этой единицы измерения.
== Определение ==
Пусть <tex>\displaystyle X\xi</tex> — [[случайная величина]], определённая на некотором [[вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностном пространстве]]. Тогда: <tex>D X \xi = \mathbb{E}\left[(X \xi -\mathbb{E}[X\xi])^2\right] </tex>
где символ <tex>\mathbb{E}</tex> обозначает [[Математическое ожидание случайной величины|математическое ожидание]].
* В силу линейности [[Математическое ожидание случайной величины|математического ожидания]] справедлива формула:
*: <tex>D X \xi = \mathbb{E}[X\xi^2] - \left(\mathbb{E}[X\xi]\right)^2;</tex>
== Свойства ==
* Дисперсия любой [[случайная величина|случайной величины]] неотрицательна: <tex>D[X\xi] \geqslant 0;</tex>
* Если дисперсия [[случайная величина|случайной величины]] конечна, то конечно и её математическое ожидание;
* Если [[случайная величина]] равна константе, то её дисперсия равна нулю: <tex>D[a] = 0.</tex> Верно и обратное: если <tex>D[X\xi]=0,</tex> то <tex>X \xi =\mathbb{E}[X\xi]</tex> почти всюду;
* Дисперсия суммы двух [[случайная величина|случайных величин]] равна:
*: <tex>\! D[X \xi \pm Y\psi] = D[X\xi] + D[Y\psi] \pm 2\,\text{Cov}(X\xi, Y\psi)</tex>, где <tex>\! \text{Cov}(X\xi, Y\psi)</tex> — их [[Ковариация случайных величин|ковариация]];* <tex>D\left[aXa\xi\right] = a^2D[X\xi];</tex>* <tex>D\left[-X\xi\right] = D[X\xi];</tex>* <tex>D\left[X\xi+b\right] = D[X\xi].</tex>
