Дифференциальные уравнения — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Задача Коши)
Строка 50: Строка 50:
 
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex><br>
 
<tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex><br>
 
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд сходится равномерно.<br>
 
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: <tex> \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).</tex> Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд сходится равномерно.<br>
d), e) Мамой клянусь.}}
+
d)следует из c)
 +
<br>
 +
e) в силу b) можем сделать предельный переход и получить нужное неравенство.
 +
<br> Итак, теперь все готово для доказательства теоремы. т.к. <tex>y_{n}(x) \rightrightarrows y(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon > 0 \: \exists  N \in \mathbb{N}: \forall n > N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - y(x) \right | < \varepsilon, \: </tex><tex>\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).</tex><br>
 +
<tex>\left | y_{n}(x) - y(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, y))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - y \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h</tex>  }}

Версия 19:03, 10 сентября 2015

Дифференциальные уравнения

Определения

Определение:
Соотношение вида [math]F(x, y(x), {y}'(x), ... , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)[/math] называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ).


Определение:
Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком уравнения.


Определение:
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - [/math] дифференциальное уравнение 1-го порядка


Определение:
Решением дифференциального уравнения [math](2)[/math] называется функция [math]y(x) \in C(a,b):[/math]
[math]F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0[/math]


Определение:
[math]\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - [/math] уравнение в нормальной форме.


Определение:
Изоклиной ДУ[math](3)[/math] называется кривая определяемая равенством [math]f(x,y)=k[/math], где [math]k - const , tg\alpha = k[/math].


Задача Коши

Определение:
Задача нахождения решения дифференциального уравнения [math]\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)[/math], которое удовлетворяет следующим условиям:
[math]\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0} \end{matrix}\right.[/math]
называется задачей Коши (начальной задачей)

в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на [math]f(x,y):[/math]
[math]f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix} \left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b \end{matrix}\right.[/math]
[math]\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M \gt 0[/math]

Определение:
условие Липшица:
[math]\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D[/math] для некоторой константы [math]l \gt 0[/math]

Очевидно, условие Липшица выполняется при условии [math]\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)[/math].

Теорема (Пикар):
Пусть [math]f(x,y)[/math] удовлетворяет условию Липшица и [math]f(x,y) \in C(D)[/math], тогда существует единственное решение задачи Коши [math]y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)[/math], где [math]h = min(a, \frac{b}{M})[/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Переформулируем задачу Коши следующим образом: [math]y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}[/math]
Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: [math]y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}[/math]. Далее возможны два случая:
1) [math]y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -[/math] решение.
2) [math]f(x, y_{0}) \neq 0:[/math] предварительно докажем, что:
[math]a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]
[math]c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows y(x) \:\:[/math]
[math]d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)[/math]
[math]e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h[/math]

a), b) База: [math] \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .[/math] По теореме Барроу [math]y_{1}(x) \: - [/math] непрерывна при [math]\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.[/math]
[math]\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant b.[/math]
переход доказывается аналогично.
c) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса. Составим функциональный ряд [math]y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + \dotsb[/math] и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.
[math]\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh[/math]
[math]\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math]lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{2}}{2}[/math]
[math]\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =[/math] [math] \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}[/math]
[math]...[/math]
[math]\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant [/math] [math] l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}[/math]
Теперь проверим сходимость полученного числового ряда: [math] \frac{M}{l} (lh + \frac{(lh)^{2}}{2!} + \frac{(lh)^{3})}{3!} + \dotsb) = \frac{M}{l} (e^{lh} - 1).[/math] Видим, что числовой ряд сходистя, значит исходный функциональный ряд сходится равномерно.
d)следует из c)
e) в силу b) можем сделать предельный переход и получить нужное неравенство.
Итак, теперь все готово для доказательства теоремы. т.к. [math]y_{n}(x) \rightrightarrows y(x) \:\: \Leftrightarrow \: \forall \varepsilon \gt 0 \: \exists N \in \mathbb{N}: \forall n \gt N \Rightarrow \left | y_{n}(x) - y(x) \right | \lt \varepsilon, \: [/math][math]\: \forall x \in (x_{0} - h, x_{0} + h).[/math]

[math]\left | y_{n}(x) - y(x) \right | = \left | \int_{x_{0}}^{x} (f(\bar{x}, y_{n}) - f(\bar{x}, y))d\bar{x} \right | \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n} - y \right |d\bar{x} \leqslant l \varepsilon h[/math]
[math]\triangleleft[/math]