[[Дифференциальные уравнения]]
==ОпределенияСписок лекций=={{Определение#[[Основные понятия и теорема Пикара |definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), Основные понятия и теорема Пикара]] - 04.09.2015#[[типы дифференциальных уравнений | Типы дифференциальных уравнений]] - 11. , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)09.}}{{Определение2015#[[Дифференциальные уравнения высших порядков |definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком Дифференциальные уравнениявысших порядков ]] - 18.}}{{Определение|definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}{{Определение09.2015#[[Линейные уравнения высших порядков|definition=Решением дифференциального Линейные уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex><br><tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}}{{Определениевысших порядков]]#[[Линейные системы|definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме.}}Линейные системы]]
{{Определение|definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}} ==Задача КошиЛитература=={{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального * В.И. Арнольд "Обыкновенные дифференциальные уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям:<br><tex>\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \" [http:\: x = x_{0} \end{matrix}\right.</tex><br> называется задачей Коши (начальной задачей)}}в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex><br><tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b \end{matrix}\rightvm.tstu.</tex><br><tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0</tex>{{Определение|definition=условие Липшица: <br><tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)</tex>tver. {{Теорема|author=Пикар|statement=Пусть <tex>f(x,y)<ru/tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши <tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)<topics/tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})<pdf_tests/tex>arnold_ODE.pdf]|proof=Мамой клянусь* Е. А теперь попытаемся доказать. <br>Переформулируем задачу Коши следующим образомБарбашин "Введение в теорию устойчивости" [http: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y)d\bar{x}</tex><br>Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{n-1}(\bar{x}))d\bar{x}</tex>mathscinet. Далее возможны два случая:<br> 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -</tex> решение.<br>2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br><tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br><tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \rightrightarrows y(x) \:\:</tex><br><tex>d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)<ru/tex><br><tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h<files/tex><br><br>а), б) База: <tex> \:\: y_{1}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(\bar{x},y_{0}(\bar{x}))d\bar{x} \: .</tex> По теореме Барроу <tex>y_{1}(x) \: - </tex> непрерывна при <tex>\left | x - x_{0} \right | \leqslant a.</tex><br> <tex>\left | y_{1}(x) - y_{0} \right | \leqslant \left | \int_{x_{0}}^{x} f(\bar{x}, y_{0})d\bar{x} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{0})\right |d\bar{x} \leqslant M \left | x - x_{0} \right | \leqslant Mh \leqslant bBarbashinEA.</tex><br>переход доказывается аналогично.<br> pdf]в) Для доказательства равномерной сходимости воспользуемся признаком Вейерштрасса* А. Составим функциональный ряд <tex>y_{0} + (y_{1} - y_{0}) + (y_{2} - y_{1}) + Ф...</tex> и замажорируем его слагаемое слагаемым сходящейся числовой последовательности.<br><tex>\left | y_{1} - y_{0} \right | \leqslant M \left | x - x_{0} \right |</tex><br><tex>\left | y_{2} - y_{1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{1}) - f(\bar{x}, y_{0}) \right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{1} - y_{0}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex>lM \int_{x_{0}}^{x}\left | \bar{x} - x_{0} \right | d\bar{x} = lM \frac{\left | x - x_{0} \right |^{2}}{2}</tex><br><tex>\left | y_{3} - y_{2}\right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{2}) - f(\bar{x}, y_{1})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{2} - y_{1}\right |d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}lM \frac{\left | \bar{x} - x_{0} \right |^{2}}{2}d\bar{x} =</tex> <tex> \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{3}}{6} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{3}}{3!}</tex><br><tex>...</tex><br><tex>\left | y_{n} - y_{n - 1} \right | \leqslant \int_{x_{0}}^{x} \left | f(\bar{x}, y_{n - 1}) - f(\bar{x}, y_{n - 2})\right | d\bar{x} \leqslant l \int_{x_{0}}^{x}\left | y_{n - 1} - y_{n - 2}\right |d\bar{x} \leqslant </tex> <tex> l \int_{x_{0}}^{x}\frac{M}{l} \frac{(l \left | \bar{x} - x_{0} \right |)^{n - 1}}{(n - 1)!}d\bar{x} = \frac{M}{l} \frac{(l\left | x - x_{0} \right |)^{n}}{n!} \leqslant \frac{M}{l} \frac{(lh)^{n}}{n!}</tex>}}Филиппов "Сборник задач по дифференциальным уравнениям"
