1632
правки
Изменения
м
[[Дифференциальные уравнения]]
{{Определение|definition=Изоклиной ДУ<tex>(3)</tex> называется кривая определяемая равенством <tex>f(x,y)=k</tex>, где <tex>k - const , tg\alpha = k</tex>.}} ==Задача КошиЛитература=={{Определение|definition=Задача нахождения решения дифференциального * В.И. Арнольд "Обыкновенные дифференциальные уравнения <tex>\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y)</tex>, которое удовлетворяет следующим условиям" [http:<br><tex>\left\{\begin{matrix} \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x} = f(x, y) \\ y = y_{0}, \:\: \mathrm{if} \:\: x = x_{0} \end{matrix}\right.</tex><br> называется задачей Коши (начальной задачей)}}в некоторых случаях удается упростить решение задачи Коши наложив ограничения на <tex>f(x,y):</tex><br><tex>f(x,y) \in C(D), \:\: D = \left\{\begin{matrix}\left | x-x_{0} \right | \leqslant a \\ \left | y-y_{0} \right | \leqslant b \end{matrix}\rightvm.tstu.tver.<ru/tex><br><tex>\Rightarrow \:\: \left | f(x, y) \right | \leqslant M, \:\: M > 0<topics/tex>{{Определение|definition=условие Липшица: <br><tex>\left | f(x,\bar{y}) - f(x, \bar{\bar{y}}) \right | \leq l \left | \bar{\bar{y}} - \bar{y} \right |, \:\: \forall (x,\bar{y}), (x,\bar{\bar{y}}) \in D</tex> для некоторой константы <tex>l > 0</tex>}}Очевидно, условие Липшица выполняется при условии <tex>\left | \frac{\partial f}{\partial y} \right | \in C(D)<pdf_tests/tex>arnold_ODE.pdf] {{Теорема|author=Пикар|statement=Пусть <tex>f(x,y)</tex> удовлетворяет условию Липшица и <tex>f(x,y) \in C(D)</tex>, тогда существует единственное решение задачи Коши <tex>y=y(x), \:\: y \in C(\left | x-x_{0} \right | \leqslant h)</tex>, где <tex>h = min(a, \frac{b}{M})</tex>* Е.|proof=Мамой клянусьА.Переформулируем задачу Коши следующим образомБарбашин "Введение в теорию устойчивости" [http: <tex>y(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y)dx</tex><br>Будем строить решение задачи Коши итеративным методом: <tex>y_{n}(x) = y_{0} + \int_{x_{0}}^{x}f(x,y_{n-1}(x))dx</tex>mathscinet. Далее возможны два случая: 1) <tex>y_{n}(x) \equiv y_{0} \:\: \Rightarrow \:\: f(x, y_{0}) = 0 \:\: \Rightarrow \:\: y_{0} -<ru/files/tex> решениеBarbashinEA.<br>pdf]2) <tex>f(x, y_{0}) \neq 0:</tex> предварительно докажем, что:<br><tex>a) \:\:\: y_{n}(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>b) \:\:\: \left | y_{n}(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br><tex>c) \:\:\: y_{n}(x) \Rightarrow y(x) \:\:</tex> (это типо равномерно сходится)<br><tex>d) \:\:\: y(x) \in C(\left | x - x_{0} \right | \leqslant h)</tex><br><tex>e) \:\:\: \left | y(x) - y_{0} \right | \leqslant b, \:\: \mathrm{if} \:\: \left | x - x_{0} \right | \leqslant h</tex><br>}}* А.Ф.Филиппов "Сборник задач по дифференциальным уравнениям"
rollbackEdits.php mass rollback
==ОпределенияСписок лекций=={{Определение#[[Основные понятия и теорема Пикара |definition=Соотношение вида <tex>F(x, y(x), {y}'(x), Основные понятия и теорема Пикара]] - 04.09.2015#[[типы дифференциальных уравнений | Типы дифференциальных уравнений]] - 11. , y^{(n)}(x)) = 0\:(1)</tex> называется обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ)09.}}{{Определение2015#[[Дифференциальные уравнения высших порядков |definition=Порядок наивысшей производной входящей в уравнение называется порядком Дифференциальные уравнениявысших порядков ]] - 18.}}{{Определение|definition=<tex>F(x, y(x), {y}'(x)) = 0\:(2)\: - </tex> дифференциальное уравнение 1-го порядка}}{{Определение09.2015#[[Линейные уравнения высших порядков|definition=Решением дифференциального Линейные уравнения <tex>(2)</tex> называется функция <tex>y(x) \in C(a,b):</tex><br><tex>F(x, y(x), {y}'(x)) \equiv 0</tex>}}{{Определениевысших порядков]]#[[Линейные системы|definition=<tex>\frac{dy}{dx}=f(x,y)\:(3) - </tex> уравнение в нормальной форме.}}Линейные системы]]
