Изменения

Эту статью требуется как следует вычитать, так как во время её написания я всем своим нутром чуял, что пишу какой-то бред, однако не осознавая, где он, и не имел достаточного знания математического анализадля его моментального исправления.  == Определение дифференцциала и производной ==  Пусть [[Отображения|функция ]] <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.

Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta n x \to 0} \Delta y = 0</tex>.

<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> &mdash; {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом ''' в точке <tex>x</tex>.

Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>.

где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> &mdash; {{---}} бесконечно малая.

переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).

может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.

# <tex>(f + g)' = f' + g'</tex>}# <tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>}# <tex>\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - g'f}{g^2}</tex>}

<tex>(fg)' = f'g + g'f</tex>}

<tex>\Delta(fg) = (f + \Delta f)(g + \Delta g) - fg = \Delta fg + f \Delta g + \Delta f \Delta g</tex><tex>\\(fg)' = \frac{\Delta(fg)}{\Delta x} =

Основное Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции:<tex>\Delta y = \Delta x + o(\Delta x), \Delta x \to 0</tex>.

То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что

Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>. (это что?) <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \, 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \iff|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|</tex>Здесь и далее будем считать, что <tex>o(0) = 0</tex>.

Рассмотрим Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.|proof=По определению дифференциала <tex>\Delta y z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0) \Delta y + o(\Delta y)</tex>.и <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x + x_0) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>

<tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>df \Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0 </tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.

Тогда функция <tex>z = ??????, x = x_0 + \Delta g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определеноопределена.

<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex><tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0 )(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>

Итого получаем:<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex><tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>

Устремляя <tex>\Rightarrow g'(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y) \Rightarrow to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>

Для полного счастья осталось доказать, что <tex>z' = g'o(y_0\Delta x) f'= o(x_0\Delta y)</tex>.

Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что {{Утверждение|statement=<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>|proof=По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex> Последнее неравенство равносильно следующему:<tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>

<tex>\forall Delta y = f(x_0 + \varepsilon > 0 Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\exists Delta x) = \delta Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex> 0 \, |\Delta y| где < tex>o(1) = \delta \Rightarrow |frac{o(\Delta yx)| < \varepsilon |}{\Delta y|x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.

Из всего этого следует, что при <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = (f'(x_0) + o(1))\Delta xto 0</tex>, где </tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{y \Delta x} to 0</tex> для имеющегося <tex>\to delta > 0</tex>, так как это бесконечно малая функция.

Тогда Так как <tex>y_0 \to 0f(x)</tex> при &mdash; непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x | < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\to 0Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>. Для имеющегося Тогда получаем, что<tex>\delta forall \varepsilon > 0</tex> подберем <tex>\ \exists \delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |o(\Delta y) \leq M \varepsilon | < \delta Delta x| \Rightarrow|o(\Delta y)| < \varepsilon |= o(\Delta x)| </tex>, где <tex>M =(?) \varepsilon |f'(x_0) + o(1)|\Delta x</tex>.}}