Изменения
→Определение: style fixes
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
Очевидно тогда, что <tex>\lim\limits_{\Delta n x \to 0} \Delta y = 0</tex>.
С целью более подробного изучения <tex>\Delta y</tex> она линеаризуется по <tex>x</tex>. Отсюда возникает
{{Определение
|definition=
<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> — {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом ''' в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
{{Утверждение
|statement=
Функция дифференцируема <tex>\iff \, \exists \lim\limits_{\Delta x\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) \Delta x</tex>.
|proof=
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — {{---}} бесконечно малая.
}}
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).
Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.
== Стандартные арифметические свойства производной ==
== Дифференцируемость сложной функции ==
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет подставлять доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
<tex>
o(\Delta x) = \left\{
\end{aligned}\right.
</tex>.
Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>. (это что?) <tex>\forall \varepsilon > 0 \exists \delta > 0: \, 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \iff|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|</tex>Здесь и далее будем считать, что <tex>o(0) = 0</tex>.
{{Теорема
Пусть <tex>y = f(x)</tex> дифференцируема в точке <tex>x_0</tex>, <tex>y_0 = f(x_0)</tex>. Пусть <tex>z = g(y)</tex> дифференцируема в <tex>y_0</tex>. Тогда в некоторой окрестности <tex>x_0</tex> корректно определена сложная функция <tex>z = g(f(x))</tex> и её производная равна <tex>z' = g'(y_0)f'(x_0)</tex>.
|proof=
<tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>df \Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0 </tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.
Тогда функция <tex>z = ??????, x = x_0 + \Delta g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определеноопределена.
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex><tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0 )(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Итого получаем:<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)(fo(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex><tex>g'(y_0) \cdot f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>.
{{Утверждение|statement=<tex>\Rightarrow g'(fo(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = g'(y_0)f'o(x_0)\Delta x + y)</tex>|proof=g'(y_0)По определению <tex>o(\Delta xy) + o(</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y) | < \delta \Rightarrow dz = g'\left|\frac{o(y_0)f'(x_0\Delta y)}{\Delta xy}\right| \leq \varepsilon</tex>
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>z' = g'|o(y_0) f'(x_0\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>
Из всего этого следует, что при <tex>\forall Delta x \varepsilon > to 0 \exists \delta </tex> 0 \, |<tex>\Delta y| \to 0< /tex> для имеющегося <tex>\delta \Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y|> 0</tex>.
Так как <tex>\Delta y = f(x_0 + x)</tex> — непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta x + y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta xy) | < \varepsilon |\Delta y| = (\varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1))\Delta x<tex>, где </tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0|</tex>, так как это бесконечно малая функция.
Тогда получаем, что<tex>y_0 \to forall \varepsilon > 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>. Для имеющегося <tex>\delta > 0</tex> подберем <tex>exists \delta_1 > 0: \, |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |o(\Delta y) \leq M \varepsilon | < \delta Delta x| \Rightarrow|o(\Delta y)| < \varepsilon |= o(\Delta x)| </tex>, где <tex>M =(?) \varepsilon |f'(x_0) + o(1)|\Delta x</tex>.}}
}}
[[Категория:Математический анализ 1 курс]]
