Изменения
→Определение: style fixes
Тогда обозначим <tex>\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x)</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> — {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом ''' в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
|proof=
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — {{---}} бесконечно малая.
}}
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).
Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.
== Стандартные арифметические свойства производной ==
Большое значение имеет правило дифференцирование сложной функции.
То, что из дифференцируемости следует непрерывность позволяет доопределить по непрерывности <tex>\Delta x = 0</tex> и считать, что
\end{aligned}\right.
</tex>.
Это мотивировано непрерывностью в точке функции в точке <tex>x</tex>. (это что?) По определению <tex>o(\Delta x)</tex>, <tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0: \ 0 < |\Delta x| < \varepsilon \Rightarrow\left|\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}\right| \leq \varepsilon.</tex> Последнее неравенство можно переписать как<tex>|o(\Delta x)| \leq \varepsilon |\Delta x|</tex>
{{Теорема
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex>
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>
(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)
Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. Докажем это<tex>z' = g'(y_0) f'(x_0)</tex> Для доказательства теоремы осталось доказать тот факт, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>.
{{Утверждение
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) =\Delta x(f'(x_0) + o(1))</tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.
Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex> , <tex>\Delta y \to 0</tex> для для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>.
</tex>.
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow
o(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)
</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.
}}
