Изменения
→Определение: style fixes
== Определение дифференциала и производной ==
Пусть [[Отображения|функция]] <tex>f</tex> определена в некоторой окрестности точки <tex>x</tex>.
{{Определение
|definition=
<tex>f</tex> {{---}} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если <tex>\Delta y = A(x) \Delta x + o(\Delta x)</tex>, где <tex>o(\Delta x)</tex> — {{---}} такая величина, что <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x} \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex>.Тогда <tex>A(x)\Delta x</tex> называют '''дифференциалом ''' в точке <tex>x</tex>.
Также обозначают <tex>A(x) \Delta x = df(x, \Delta x) = dy</tex>.
}}
|proof=
Если функция дифференцируема, то <tex>\frac{\Delta y}{\Delta x} = A(x) + \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>,
где <tex>\frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex> — {{---}} бесконечно малая.
}}
Проблему дифференцирования сводят к проблеме существования производных, поэтому для функций одной
переменной дифференцируемость равносильна существованию производной(<tex>dy = f'(x)\Delta x</tex>).
Однако, это верно только для функций одной переменной.
Легко понять, что если функция дифференцируема, то она непрерывна в этой точке. Однако, обратное
может быть неверно. Например, функция <tex>y = |x|</tex> в точке <tex>x = 0</tex>. В этой точке у неё нет производной, значит, она не дифференцируема.
== Стандартные арифметические свойства производной ==
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex>
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>
(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)
