152
правки
Изменения
Нет описания правки
{{Определение
|definition=
Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{-- -}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{--- }} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>такой, такой что : если <tex>\left |\| \Delta x \right|\| < r</tex>, <tex>(x + \Delta x ) \in V_r(x))</tex>, то:
<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left |\| \Delta x \right \||</tex>, причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{- --}} '''производная Фреше ''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
При <tex> X = Y = \mathbb{R} </tex> получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
|statement=
Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
Вот же оно!
По определению дифференциала
<tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex>
<tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, то
при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.
Тогда функция <tex>z = g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определена.
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex>
<tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex>
<tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>
(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)
<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>
(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)
<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
Итого получаем:
<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex>
Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex>
Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>.
{{Утверждение
|statement=
<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>
|proof=
По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex>
Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex>
<tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>.
Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>\Delta y \to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>.
Так как <tex>f(x)</tex> — непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta
\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|
</tex>.
Тогда получаем, что
<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow
o(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)
</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.
}}
Исходя из неравенства треугольника и определения производной, <tex> \| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) \| = \| \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| \Delta x \|\| \le \| \mathcal{F}'(x) \| \|\Delta x \| + \| \alpha(\Delta x)\| \|\Delta x\|</tex> Правая часть этого выражения стремится к нулю при <tex> \Delta x \rightarrow 0 </tex>, следовательно, <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} непрерывна в точке <tex> x </tex>. Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A</tex> По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left\|\Delta\overline{x}|\right|</tex> <tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>
<tex> \Delta x = h \cdot e_j = (0, 0,..,h,..,0), \quad \forall h \in \mathbb{R}</tex>
{{Определение
|definition=
Данный предел называется '''частной производной ''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.
<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta partial \mathcal{F}_i}{\delta partial x_j}</tex>
}}
{{Определение
|definition=
Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{- --}} '''матрица Якоби ''' отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .
<tex dpi = "140">
A = (\mathcal{F}'(x)) =
\begin{pmatrix}
\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_n}\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_n}\\...\vdots&...\vdots&...\ddots&...\vdots\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_n}
\end{pmatrix}
</tex>
{{Определение
|definition=
При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{- --}} '''якобиан'''.
}}
Пример :
</tex>
== Дифференцирование композиции функций ==Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{--- }} дифференцирование композиций. Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{--- }}функция <tex>n</tex> переменных. , <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>.
Пусть также <tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>.
<tex>y = g(t) = f(\varphi_1(t), \varphi_2(t),...,\varphi_n(t))</tex>
Пусть существует <tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\delta f}{\delta x_1}, \frac{quad \delta f}{\delta x_2},...,\frac{\delta f}{\delta x_n}varphi_j'(t)</tex>
<texdpi = "140">(f'(\overline{x})) = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\frac{\partial f}{\partial x_n})</tex> <tex>(\overline{\varphi}(t)) = \begin{pmatrix}\varphi_1(t) \varphi_1\\varphi_2(t),...,\\\dots \\\varphi_n(t))\end{pmatrix}</tex>
<tex>
(\overline{\varphi'}(xt)) =
\begin{pmatrix}
\varphi_{1}'(t)\\\varphi_{2}'(t)\\...\dots \\\varphi_{n}'(t)\\
\end{pmatrix}
</tex>
<tex>(\mathcal{BA}) = (\mathcal{B})(\mathcal{A})</tex>, поэтому: <tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>. Теперь, пусть <tex>V</tex> {{---}} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{---}} дифференцируема. Так как шар {{---}} выпуклое множество, то для <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V</tex> выполняется <tex> \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>; <tex>g(t) = f(t\overline{a}+(1-t)\overline{b}), \quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex> <tex>\varphi_j(t) = ta_j + (1-t)b_j, \quad \varphi'_{j}(t) = a_j - b_j</tex> <tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\theta), \quad \theta \in [0,1]</tex> Заменяя <tex>g</tex> и <tex>g'</tex> по найденным формулам, получаем : <tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\theta\overline{a} + (1-\theta)\overline{b}) = f'(\theta\overline{a}+(1-\theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex> === Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений === пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда <tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\theta\overline{a}+(1-\theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \theta \in (0,1)</tex> Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{---}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу. <tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n)</tex> <tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b}) = \mathcal{F}'_i(\theta_i\overline{a}+(1-\theta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>. Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\theta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде. {{Теорема|about=Неравенство Лагранжа|statement=Пусть <tex>V</tex> {{---}} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда:<br> <tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>|proof=По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad \|\varphi\| = 1</tex> Докажем, что <tex>\varphi = \varphi'</tex>. Так как <tex>\varphi</tex> {{---}} линейный оператор, то <tex>\varphi(\bar x) = \varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\varphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</tex>. Рассмотрим <tex>\varphi'</tex>. Построим матрицу Якоби для производной. <tex>\varphi' = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} )</tex>. Посчитаем первую координату производной <tex>\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k = \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k \partial x_k}{x_1} = a_1 \frac{\partial x_1}{\partial x_1} = a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\varphi = \varphi'</tex>. <tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))), \quad t \in [0, 1]</tex> Так как шар {{---}} выпуклый, то всё корректно определено. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\theta), \quad \theta \in (0,1)</tex> По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex> Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\theta)</tex> По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex> <tex>|g'(t)| \le \|\varphi'\|\cdot \|\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))\|\cdot \|\overline{b} - \overline{a}\| \le 1 \cdot M \cdot \|\overline{b}-\overline{a}\|</tex> Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\theta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.}} == Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных == Базируясь на соотношениях конечных приращений, установим достаточное условие для дифференцируемости функций многих переменных.{{Теорема|statement=Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex> <tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>. Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>. |proof=Рассмотрим <tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex> <tex>\overline{x}(t) = \overline{a} + \Delta\overline{a}t, \quad t \in [0, 1], \quad \overline{x}(t) \in V</tex> Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее : <tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta \Delta\overline{a}) \Delta a_j, \ \Theta \in (0,1) </tex> <tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta \Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a}) + \alpha_j(\Delta\overline{a})</tex>, все <tex>\alpha_j(\Delta \overline a) \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex> - из непрерывности <tex> f' </tex> <tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex> Нужно доказать, что вторая сумма {{---}} <tex>o(\Delta a)</tex>, ибо первая сумма и есть формально записанный дифференциал. По неравенству Коши для сумм : <tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}\|\Delta \overline{a}\|</tex> Выражение под корнем стремится к нулю, таким образом, получаем требуемое.}}
[[Линейные операторы в нормированных пространствах|<tex = dpi = "140"<]] [[Формула Тейлора для функций многих переменных|>>g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = ]][[Категория:Математический анализ 1}^{n} \frac{\delta f}{\delta x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>курс]]
