Изменения

{{В разработке}}[[Линейные операторы в нормированных пространствах|<br<]] [[Формула Тейлора для функций многих переменных|>>]]__TOC__ == Производная Фреше == 

Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{-- -}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{--- }} '''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>такой, такой что : если <tex>\left |\| \Delta x \right|\| < r</tex>, <tex>(x + \Delta x ) \in V_r(x))</tex>, то:

<tex><\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left |\| \Delta x \right \||</tex>, причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>

Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{- --}} '''производная Фреше ''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.

Композиция дифференцируемых отображений, дифференцируема. Производная Фреше равна композиции производных Фреше отображений.

Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\left\| \mathcal{F} : V_r'(x) = \mathbb{R}^n Delta x |\right| \le \to left\mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>| \mathcal{F}'(x)|\right| \left\overline{| \Delta x}) = A_{ij}|\right|</tex>.

<tex> \| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) \| = \| \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| \Delta x \|\| \le \| \mathcal{F}'(x) \| \|\Delta x \| + \| \alpha(\Delta x)\| \|\Delta x\|</tex> Правая часть этого выражения стремится к нулю при <tex> \Delta x \rightarrow 0 </tex>, следовательно, <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} непрерывна в точке <tex> x </tex>. Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A</tex> По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left\|\Delta\overline{x}|\right|</tex> <tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>

Данный предел называется '''частной производной ''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.

<tex dpi = "140">A_{ij} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\mathcal{F}_i(\overline{x} + h\overline{e_j}) - \mathcal{F}_i(x)}{h} = \frac{\delta partial \mathcal{F}_i}{\delta partial x_j}</tex>

Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{- --}} '''матрица Якоби ''' отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .

\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_1}{\delta partial x_n}\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_2} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_2}{\delta partial x_n}\\...\vdots&...\vdots&...\ddots&...\vdots\\\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} & \frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_1} &...\ldots&\frac{\delta partial \mathcal{F}_m}{\delta partial x_n}

При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{- --}} '''якобиан'''.

== Дифференцирование композиции функций ==Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{--- }} дифференцирование композиций.Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> - функция <tex>n</tex> переменных. <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n), \quad </tex>

Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных, <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n) </tex>. Пусть также <tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>.

Пусть существует <tex dpi = "140"> (f'(\overline{x})) = (\frac{\delta f}{\delta x_1}, \frac{quad \delta f}{\delta x_2},...,\frac{\delta f}{\delta x_n}varphi_j'(t)</tex>

<texdpi = "140">(f'(\overline{\varphix}(t)) = (\varphi_1(t)frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2},...,\varphi_n(t)frac{\partial f}{\partial x_n})</tex>

(\overline{\varphi'}(xt)) =

\varphi_{1}'varphi_1(t)\\\varphi_{2}'varphi_2(t)\\...\dots \\\varphi_{n}'varphi_n(t)\\

<tex>(\overline{\varphi'}(t)) =\begin{pmatrix}\varphi_{1}'(t) \\\varphi_{2}'(t) \\\dots \\\varphi_{n}'(t) \\\end{pmatrix}</tex> <tex>(\mathcal{BA}) = (\mathcal{B})(\mathcal{A})</tex>, поэтому: <tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>. 

Теперь, пусть <tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overlineV</tex> {{x---}))(\overline{\varphi}'(t)) = шар в <tex>\sum\limits_mathbb{j = 1R}^{n} , \quad f : V \frac{to \delta f}mathbb{\delta x_jR}(</tex>. Пусть <tex>\overline{forall x})\cdot in V \varphi'_{j}quad f(tx)</tex>{{---}} дифференцируема.

Пусть <tex>V</tex> - Так как шар в <tex>\mathbb{R{---}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> - дифференцируема. Так как шар выпуклое множество, то для <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, </tex> выполняется <tex> \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>;

\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\delta tpartial f}{\delta partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>

<tex>g</tex> {{- --}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит , к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in [0,1]</tex>

<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\delta partial f}{\delta partial x_j}(\Thetatheta\overline{a} + (1-\Thetatheta)\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex> === Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений ===

Мы пришли к следующему обобщению формулы Лагранжа конечных приращений : пусть <tex>f</tex> {{- --}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta theta \in (0,1)</tex>

Для <tex>\mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m, \quad V \in \mathbb{R}^n, m > 1</tex> {{- --}}формула Лагранжа становится неверной. Невозможно подобрать <tex>\Theta</tex>, обслуживающее все координатные функции сразу.

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} ) = \mathcal{F}'_i(\Theta_itheta_i\overline{a}+(1-\Theta_itheta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>. Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\theta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

|authorabout=

Пусть <tex>V</tex> {{--- }} шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m , \quad \mathcal{F}</tex> {{--- }}дифференцируема в каждой точке шара, тогда :<br> <tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sumsup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right|</tex>

По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad |\|\varphi|\| = 1</tex>

Докажем, что <tex>g(t) \varphi = \varphi('</tex>. Так как <tex>\mathcalvarphi</tex> {F{---}} линейный оператор, то <tex>\varphi(\overline{a} + tbar x) = \varphi(x_1, x_2, \overline{b} - ldots, x_n) = \sum\overlinelimits_{ak=1}))^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\quad t varphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \in [0ldots, 1]a_n)</tex>.

Так как шар - выпуклый, все корректно, Рассмотрим <tex>\varphi' = \varphi</tex>. Значит, Построим матрицу Якоби для производной. <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t) \varphi' = g'(\Theta)frac{\partial f}{\partial x_1}, \quad frac{\Theta partial f}{\partial x_2}, \in (0ldots,1\frac{\partial f}{\partial x_n} )</tex>.

По построению, Посчитаем первую координату производной <tex>g(1) - g(0) = \varphi(frac{\mathcalpartial f}{F\partial x_1}(= \overlinefrac{b\partial})) - {\varphi(partial x_1} \mathcal{F}(sum\overlinelimits_{ak=1})) ^n a_k x_k = \varphi(sum\mathcallimits_{Fk=1}(^n \overlinefrac{ba_k \partial x_k}) - \overline{ax_1}) = a_1 \left|\left|\mathcalfrac{F}(\overline{bpartial x_1}) - \mathcal{F}(\overline{apartial x_1})= a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\right|varphi = \right|varphi'</tex>.

Тогда <tex>g(t) = \left|\left|varphi(\mathcal{F}(\overline{ba}) - + t(\mathcaloverline{Fb}(- \overline{a}) )), \right|\right| = g'(quad t \Theta)in [0, 1]</tex>

<tex>g'(t) = \varphi'\mathcalТак как шар {F}(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a--}))(\overline{b}-\overline{a})</tex>выпуклый, то всё корректно определено.

Значит, <tex>||g'</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(t0)|| \le ||\varphi'||\cdot ||\mathcal{F}= g'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a})theta)|| , \quad ||\overline{b} - theta \overline{a}|| = in (0,1 \cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||)</tex>

По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex> Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\theta)</tex> По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex> <tex>|g'(t)| \le \|\varphi'\|\cdot \|\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))\|\cdot \|\overline{b} - \overline{a}\| \le 1 \cdot M \cdot \|\overline{b}-\overline{a}\|</tex> Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.