Изменения

TODO: исправить кучу ошибок, которая наваливается ближе к концу.[[Линейные операторы в нормированных пространствах|<<]] [[Формула Тейлора для функций многих переменных|>>]]__TOC__ == Производная Фреше == 

Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X,~\quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}'''дифференцируема ''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, который может зависеть от <tex>x</tex>такой, такой что : если <tex>\left |\| \Delta x \right|\| < r</tex>, <tex>(x + \Delta x ) \in V_r(x))</tex>, то:

<tex>\mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(x) \times \Delta x ) + \alpha(\Delta x) \left |\| \Delta x \right \||</tex>, причем <tex> \alpha(\Delta x) \rightarrow 0</tex> при <tex>\Delta x \rightarrow 0</tex>

Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}}'''производная Фреше ''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.

конец теоремы, далее следует продолжение конспекта про отображения в НП }}  Из дифференцируемости следует непрерывность :  <tex>\left|\| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|\| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|\| \Delta x |\right|</tex>. Исходя из неравенства треугольника и определения производной,

<tex>\left|| \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x)\| = \| \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| \Delta x \|\right| \le \left|| \mathcal{F}'(x)|\right| \left||\Delta x |\right| + \left|| \alpha(\Delta x)|\right| \left||\Delta x|\right|</tex>

Правая часть этого выражения стремится к нулюпри <tex> \Delta x \rightarrow 0 </tex>, следовательно , <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}}непрерывна в точке <tex>x</tex>.

Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) = \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}A</tex>

По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>

<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>

Данный предел называется '''частной производной ''' первого порядка функции <tex>\mathcal{F}_i</tex> по переменной <tex>x_j</tex>.

Матрица, составленная из элементов <tex>A_{ij}</tex> {{---}}'''матрица Якоби ''' отображения <tex>\mathcal{F} \quad</tex> .

При <tex>n = m</tex> определитель этой матрицы {{---}}'''якобиан'''.

Пусть <tex>f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}</tex> {{---}}функция <tex>n</tex> переменных, <tex>y = f(x_1, x_2,...,x_n) </tex>. Пусть также <tex>x_j = \varphi_j(t), \quad t \in \mathbb{R}</tex>.

 Пусть существует <tex>f^{-1}'(\overline{x}), \quad \varphi_j'(t)</tex>

<tex>(\overline{\varphi}(t)) = \begin{pmatrix}\varphi_1(t) \varphi_1\\varphi_2(t),...,\\\dots \\\varphi_n(t))\end{pmatrix}</tex>

(\overline{\varphi'}(xt)) =

\varphi_{1}'(t)\\\varphi_{2}'(t)\\...\dots \\\varphi_{n}'(t)\\

<tex>(\mathcal{BA}) = (\mathcal{B})(\mathcal{A})</tex>, поэтому: <tex = dpi = "140">g'(t) = (f'(\overline{x}))(\overline{\varphi}'(t)) = \sum\limits_{j = 1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\cdot \varphi'_{j}(t)</tex>.

Пусть Теперь, пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad f : V \to \mathbb{R}</tex>. Пусть <tex>\forall x \in V \quad f(x)</tex> {{---}}дифференцируема.  Так как шар {{---}} выпуклое множество, то для <tex>\overline{a}, \overline{b} \in V, </tex> выполняется <tex> \forall t \in [0,1] \quad t\overline{a}+(1-t)\overline{b} \in V</tex>;

\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial tf}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>

<tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in [0,1]</tex>

<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Thetatheta\overline{a} + (1-\Thetatheta)\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>

Мы пришли к следующему обобщению === Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений : === пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда<tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta theta \in (0,1)</tex>

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} ) = \mathcal{F}'_i(\Theta_itheta_i\overline{a}+(1-\Theta_itheta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>. Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\theta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

|authorabout=

Пусть <tex>V</tex> {{---}}шар в <tex>\mathbb{R}^n, \quad \mathcal{F} : V \to \mathbb{R}^m , \quad \mathcal{F}</tex> {{---}}дифференцируема в каждой точке шара, тогда :<br> <tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sumsup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right|</tex>

По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad \|\varphi\|= 1</tex> Докажем, что <tex>\varphi = \varphi|| '</tex>. Так как <tex>\varphi</tex> {{---}} линейный оператор, то <tex>\varphi(\bar x) = \varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum\limits_{k= 1}^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\varphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</tex>. Рассмотрим <tex>\varphi'</tex>. Построим матрицу Якоби для производной. <tex>\varphi' = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} )</tex>.

Посчитаем первую координату производной <tex>g(t) \frac{\partial f}{\partial x_1} = \varphi(frac{\partial}{\partial x_1} \sum\mathcallimits_{Fk=1}(^n a_k x_k = \overlinesum\limits_{ak=1} + t(^n \frac{a_k \overlinepartial x_k}{bx_1} - = a_1 \overlinefrac{a\partial x_1})){\partial x_1} = a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\quad t varphi = \in [0, 1]varphi'</tex>.

Так как шар {{---}}выпуклый, все корректно, <tex>\varphi' g(t) = \varphi</tex>. Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g\mathcal{F}(\overline{a} + t) = g'(\Thetaoverline{b} - \overline{a}))), \quad \Theta t \in ([0,1)]</tex>

По построению, <tex>g(1) - g(0) = \varphi(\mathcalТак как шар {F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a})) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) - \overline{a}) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>выпуклый, то всё корректно определено.

Тогда Значит, <tex>\left|\left|\mathcal{F}g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(\overline{b}1) - \mathcal{F}g(\overline{a}0) \right|\right| = g'(\Thetatheta), \quad \theta \in (0,1)</tex>

По построению, <tex>g'(t1) - g(0) = \varphi'(\mathcal{F}(\overline{b})) - \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}+t)) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{b}) -\mathcal{F}(\overline{a}))= \left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) -\mathcal{F}(\overline{a})\right|\right|</tex>

Тогда <tex>||g'(t)|| \le ||\varphi'|left|\cdot |left|\mathcal{F}'(\overline{ab} + t() - \overlinemathcal{bF} - (\overline{a}))|| \quad |right|\overline{b} - \overline{a}|right| = 1 g'(\cdot M \cdot ||\overline{b}-\overline{a}||theta)</tex>

По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex> <tex>|g'(t)| \le \|\varphi'\|\cdot \|\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))\|\cdot \|\overline{b} - \overline{a}\| \le 1 \cdot M \cdot \|\overline{b}-\overline{a}\|</tex> Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.

<tex>\forall x \in V : \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных , непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.  Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>. 

Рассмотрим <tex>\overline{a}, \quad \overline{a} + \Delta\overline{a} \in V(\overline{a})</tex>

<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) \Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>

<tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} ) + \alpha_j(\Delta\overline{a}))</tex>, все <tex>\alpha_j (\Delta \overline a) \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex> - из непрерывности <tex> f' </tex>

<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{xa})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>

<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}|\|\Delta \overline{a}_j|\|</tex>