Изменения

Пусть <tex>V_{r}(x)</tex> {{---}}шар в <tex>X, \quad \mathcal{F} : V_r(x) \to Y </tex>. <tex>\mathcal{F}</tex> {{---}} '''дифференцируема''' в точке <tex>x</tex>, если существует зависящий от <tex> x </tex> ограниченный линейный оператор <tex>\mathcal{A} : X \to Y</tex>, такой, что если <tex>\left |\| \Delta x \right|\| < r </tex>, <tex>(x + \Delta x ) \in V_r(x))</tex>, то:

<tex> \mathcal{F}(x + \Delta x) - \mathcal{F}(x) = \mathcal{A}(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \left |\| \Delta x \right |\| </tex>,

 При <tex> X = Y = \mathcalmathbb{R} </tex> получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.

 Вот же оно! По определению дифференциала <tex>\Delta z = g(y_0 + \Delta y) - g(y_0) = g'(y_0)\Delta y + o(\Delta y)</tex> и <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x)</tex> <tex>g</tex> определена в окрестности точки <tex>y_0</tex>. Так как <tex>\Delta y \to 0</tex> при <tex>\Delta x \to 0</tex> и <tex>y_0 = f(x_0)</tex>, топри <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>f(x_0 + \Delta x)</tex> принадлежит окрестности точки <tex>y_0</tex>.  Тогда функция <tex>z = g(f(x))</tex> при <tex>x = x_0 + \Delta x, \ \Delta x \to 0</tex> корректно определена. <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)</tex> <tex>\Delta g = g(f(x_0) + (f(x_0 + \Delta x) - f(x_0))) - g(f(x_0)) = </tex><tex>g(f(x_0 + \Delta x)) - g(f(x_0)) = </tex>(по определению дифференциала для <tex>g(y)</tex>)<tex>g'(y_0)(f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)) + o(\Delta y) =</tex>(по определению дифференциала для <tex>f(x)</tex>)<tex>g'(y_0)f'(x_0)\Delta x+ g'(y_0) o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Итого получаем:<tex>\Delta g = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x + g'(y_0)o(\Delta x) + o(\Delta y)</tex> Устремляя <tex>\Delta x \to 0</tex>, получаем <tex>dz = g'(y_0)f'(x_0)\Delta x</tex> Для полного счастья осталось доказать, что <tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>. {{TODOУтверждение|tstatement=Вот и неплохо бы скопировать его сюда<tex>o(\Delta x) = o(\Delta y)</tex>|proof=По определению <tex>o(\Delta y)</tex>, получаем:<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta > 0 : \ |\Delta y| < \delta \Rightarrow \left|\frac{o(\Delta y)}{\Delta y}\right| \leq \varepsilon</tex> Последнее неравенство равносильно следующему: <tex>|o(\Delta y)| \leq \varepsilon |\Delta y|</tex> <tex>\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) = f'(x_0)\Delta x + o(\Delta x) = \Delta x(f'(x_0) + o(1)) </tex>, где <tex>o(1) = \frac{o(\Delta x)}{\Delta x}</tex>, что стремится к <tex>0</tex>. Из всего этого следует, что при <tex>\Delta x \to 0</tex>, <tex>\Delta y \to 0</tex> для имеющегося <tex>\delta > 0</tex>. Так как <tex>f(x)</tex> &mdash; непрерывна, то существует <tex>\delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrow |\Delta y| < \delta\Rightarrow |o(\Delta y)| < \varepsilon |\Delta y| = \varepsilon \Delta x |f'(x_0) + o(1)|</tex>. Тогда получаем, что<tex>\forall \varepsilon > 0 \ \exists \delta_1 > 0: \ |\Delta x| < \delta_1 \Rightarrowo(\Delta y) \leq M \varepsilon |\Delta x| \Rightarrow o(\Delta y) = o(\Delta x)</tex>, где <tex>M = |f'(x_0) + o(1)|</tex>.}}конец теоремы, далее следует продолжение конспекта про отображения в НП 

<tex>\left|\| \mathcal{F}'(x)\Delta x |\right| \le \left|\| \mathcal{F}'(x)|\right| \left|\| \Delta x |\right|</tex>.

Найдем вид матрицы производной Фреше при <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \subset \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m</tex>. Пусть <tex>\mathcal{F}'(\overline{x}) = A_{ij}A</tex>

По условию <tex>\mathcal{F}(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}(\overline{x}) = \mathcal{F}'(\overline{x})\Delta\overline{x} + \alpha(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>

<tex>\mathcal{F} = (\mathcal{F}_1,...,\mathcal{F}_n), \quad \mathcal{F}_i(\overline{x} + \Delta\overline{x}) - \mathcal{F}_i(\overline{x}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}A_{ij} \Delta x_j + \alpha_i(\Delta\overline{x})\left|\|\Delta\overline{x}|\right|</tex>

<tex>(\overline{\varphi}(t)) = \begin{pmatrix}\varphi_1(t) \varphi_1\\varphi_2(t),...,\\\dots \\\varphi_n(t))\end{pmatrix}</tex>

\varphi_{1}'(t)\\\varphi_{2}'(t)\\...\dots \\\varphi_{n}'(t)\\

<tex>(\mathcal{BA}) = (\mathcal{B})(\mathcal{A})</tex>, поэтому:

\quad g'(t) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j - b_j)\frac{\partial tf}{\partial x_j}(t\overline{a} + (1-t)\overline{b})</tex>

<tex>g</tex> {{---}}непрерывна на <tex>[0,1]</tex> и дифференцируема на нем. Значит, к ней применима формула Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in [0,1]</tex>

<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Thetatheta\overline{a} + (1-\Thetatheta)\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>

Мы пришли к следующему обобщению === Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений:===

пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда <tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Thetatheta\overline{a}+(1-\Thetatheta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta theta \in (0,1)</tex>

<tex>\mathcal{F}_i(\overline{a}) - \mathcal{F}_i(\overline{b} ) = \mathcal{F}'_i(\Theta_itheta_i\overline{a}+(1-\Theta_itheta_i)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b})</tex>.

Для разных <tex>i</tex> {{---}}разные <tex>\Theta_itheta_i</tex>. Впрочем, для отдельных координат формулу писать все равно можно. Однако формула Лагранжа допускает распространение и на абстрактную ситуацию, но в несколько другом виде.

|authorabout=

<tex>\forall \overline{a},\overline{b} \in V : \left|\left| \mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a})\right|\right| \le M\left|\left|\overline{b}-\overline{a}\right|\right|</tex>, где <tex>M = \sup\limits_{x \in [\overline{a},\overline{b}]} \left|\left|\mathcal{F}'(\overline{x})\right|\right| </tex>

По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad \|\varphi\|= 1</tex> Докажем, что <tex>\varphi = \varphi'</tex>. Так как <tex>\varphi</tex> {{---}} линейный оператор, то <tex>\varphi(\bar x) = \varphi(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\varphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \ldots, a_n)</tex>. Рассмотрим <tex>\varphi|| '</tex>. Построим матрицу Якоби для производной. <tex>\varphi' = (\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n} )</tex>. Посчитаем первую координату производной <tex>\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k = \sum\limits_{k= 1}^n \frac{a_k \partial x_k}{x_1} = a_1 \frac{\partial x_1}{\partial x_1} = a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\varphi = \varphi'</tex>.

<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))), \quad t \in [0, 1]</tex>

Так как шар {{---}} выпуклый, все то всё корректно, <tex>\varphi' = \varphi</tex>определено.

Значит, <tex>g</tex> на <tex>[0,1]</tex> удовлетворяет классической формуле Лагранжа конечных приращений : <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta), \quad \Theta theta \in (0,1)</tex>

Тогда <tex>\left|\left|\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \right|\right| = g'(\Thetatheta)</tex>

По правилу дифференцирования сложной функции, <tex>g'(t) = \varphi'\mathcal{F}'(\overline{a}+t(\overline{b}-\overline{a}))(\overline{b}-\overline{a})</tex>

<tex>||g'(t)|| \le |\|\varphi'|\|\cdot |\|\mathcal{F}'(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))|\|\cdot |\|\overline{b} - \overline{a}|\| \le 1 \cdot M \cdot |\|\overline{b}-\overline{a}|\|</tex>

Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Thetatheta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.

Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex><br>

= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.<br>

<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) \Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>

<tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} ) + \alpha_j(\Delta\overline{a}))</tex>, все <tex>\alpha_j (\Delta \overline a) \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex> - из непрерывности <tex> f' </tex>

<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{xa})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>

<tex>\left|\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta\overline{a})\cdot\Delta a_j\right| \le \sqrt{\sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j^2(\Delta \overline{a})}|\|\Delta \overline{a}_j|\|</tex>