152
правки
Изменения
Нет описания правки
Тогда <tex>\mathcal{A}(x) = \mathcal{F}'(x)</tex> {{---}} '''производная Фреше''' отображения <tex>\mathcal{F}</tex> в точке <tex>x</tex>.
}}
При <tex> X = Y = \mathbb{R} </tex> получаем определение дифференциала и производной функции одной переменной.
Установим теорему, обобщающую классическое правило дифференцирования сложной функции :
{{Теорема
Пусть <tex>\mathcal{F} : V_r(x) \to Y, y = \mathcal{F}(x), \mathcal{G} : V_{r_1}(y) \to Z \quad \exists \mathcal{F}'(x), \mathcal{G}'(y), \mathcal{T} = \mathcal{G} \circ \mathcal{F}</tex>, тогда <tex>\exists \mathcal{T}'(x) = \mathcal{G}'(y)\mathcal{F}'(x)</tex>
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
}}
конец теоремы, далее следует продолжение конспекта про отображения в НП
}}
По доказанному ранее, для <tex>\mathcal{F}(\overline{b}) - \mathcal{F}(\overline{a}) \in \mathbb{R}^m </tex> существует линейный непрерывный функционал <tex>\varphi : \varphi(\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})) = \left|\left|\mathcal{F}(\overline{a}) - \mathcal{F}(\overline{b})\right|\right|, \quad \|\varphi\| = 1</tex>
Докажем, что <tex> \varphi(x + \Delta x) - = \varphi(x) = A(\Delta x) + \alpha(\Delta x) \| x \| '</tex> . Так как <tex> \varphi(x) + </tex> {{---}} линейный оператор, то <tex>\varphi(\Delta bar x) - = \varphi(xx_1, x_2, \ldots, x_n) = \varphi(sum\Delta x) limits_{k= A(1}^n a_k x_k</tex>. То есть, оператор <tex>\Delta x) + \alphavarphi</tex> можно представить как строку <tex>(a_1, a_2, \Delta xldots, a_n) \| x \| </tex>.
Посчитаем первую координату производной <tex>\frac{\partial f}{\partial x_1} = \frac{\partial}{\partial x_1} \sum\limits_{k=1}^n a_k x_k = \sum\limits_{k=1}^n \frac{a_k \partial x_k}{x_1} = a_1 \frac{\partial x_1}{\partial x_1} = a_1</tex>. Мы получили полное благорастворение! Первая координата оператора и его производной совпали. Аналогично совпадают остальные координаты. Значит, <tex>\varphi = \varphi'</tex>.
<tex>g(t) = \varphi(\mathcal{F}(\overline{a} + t(\overline{b} - \overline{a}))), \quad t \in [0, 1]</tex>
