1679
правок
Изменения
м
Мы пришли к следующему обобщению === Обобщение формулы Лагранжа конечных приращений:===
багибагибаги
__TOC__
== Производная Фреше ==
{{Определение
|definition=
|proof=
Доказательство копирует классическое доказательство, с заменой знака модуля на знак нормы.
{{TODO|t=Вот и неплохо бы скопировать его сюда.}}
}}
</tex>
== Дифференциирование композиции функций ==
Существование всех частных производных координатных функции отнюдь не гарантирует дифференцируемость <tex>\mathcal{F}</tex>. Для указания достаточных условий предварительно рассмотрим один частный случай {{---}} дифференцирование композиций.
<tex>f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}(a_j-b_j)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\Theta\overline{a} + (1-\Theta)\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a} -\overline{b})</tex>
пусть <tex>f</tex> {{---}}дифференцируема в <tex>V</tex>. Тогда <tex>\forall a, b \in V : f(\overline{a}) - f(\overline{b}) = f'(\Theta\overline{a}+(1-\Theta)\overline{b})(\overline{a}-\overline{b}),\quad \Theta \in (0,1)</tex>
Подставляя это в формулу конечных приращений Лагранжа: <tex>g(1) - g(0) = g'(\Theta)</tex>, приходим к неравенству Лагранжа.
}}
== Достаточное условие дифференцируемости функций многих переменных ==
Базируясь на соотношениях конечных приращений, установим достаточное условие для дифференцируемости функций многих переменных.
{{Теорема
|statement=
Пусть <tex>V(a) \subset \mathbb{R}^n</tex> <tex>y = f(x_1,...,x_n)</tex>, <tex>y : V \to \mathbb{R}</tex><br>
<tex>\forall x \in V: \ \exists \frac{\partial f}{\partial x_j}</tex>, каждая из которых, как функция <tex>n</tex> переменных, непрерывна в <tex>\overline{a} :\lim\limits_{\overline{x} \to \overline{a}}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})
= \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a})</tex>.<br>
Тогда существует дифференциал этой функции в точке <tex>a</tex>.
Для этого отрезка применим формулу Лагранжа конечных приращений, доказанную ранее :
<tex dpi = "140">f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) \Delta a_j), \quad \Theta \in (0,1)</tex>
<tex dpi = "140">\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} + \Theta\Delta\overline{a}) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{a} ) + \alpha_j(\Delta\overline{a}))</tex>, все <tex>\alpha_j (\overline a) \to 0</tex> при <tex>\Delta\overline{a} \to 0</tex> - из непрерывности <tex> f' </tex>
<tex>f(\overline{a} + \Delta\overline{a}) - f(\overline{a}) = \sum\limits_{j = 1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_j}(\overline{x})\Delta a_j + \sum\limits_{j = 1}^{n}\alpha_j(\Delta \overline{a})\cdot\Delta a_j</tex>
