Редактирование: Доказательство нерегулярности языков: лемма о разрастании

'''Лемма о разрастании'''<ref>Лемму также часто называют ''леммой о накачке''.</ref>(Pumping lemma) — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярным]].
== Лемма о разрастании ==

{{Лемма
|id= ==lemma==
|about=о разрастании, о накачке
|statement=
Пусть <tex>L</tex> — [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярный язык]] над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, тогда существует такое <tex>n</tex>, что для любого слова <tex> \omega \in L</tex> длины не меньше <tex>n</tex> найдутся слова <tex> x,y,z \in \Sigma^*</tex>, для которых верно: <tex>xyz=\omega, y\neq \varepsilon, |xy|\leqslant n</tex> и <tex>\forall k \geqslant 0~xy^{k}z\in L</tex>.
|proof=
[[Файл:Consp_lemma.png||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Поскольку [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)|регулярный язык является автоматным]], то найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Пусть <tex>n</tex> — размер автомата. Докажем, что <tex>n</tex> удовлетворяет условию леммы.
<br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>.<br />
Наконец, поскольку <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение, среди состояний <tex>s, u_1, \ldots, u_i, \ldots, u_{j-1}</tex> нет повторяющихся. Значит, выполняется требование <tex>|xy| \leqslant n</tex>.
}}
'''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для регулярности языка. ''(См. [[#Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании|пример]])''

== Лемма о разрастании в общем виде ==

Если язык <tex>L</tex> является регулярным, то существует число <tex>p \geqslant 1</tex> такое что для любого слова <tex>uwv</tex> из языка <tex>L</tex>, где <tex>|w| \geqslant p</tex> может быть записано в форме <tex>uwv = uxyzv</tex>,
где слова <tex>x</tex>, <tex>y</tex> и <tex>z</tex> такие, что <tex>|xy| \leqslant p</tex>, <tex>|y| \geqslant 1</tex> и <tex>uxy^izv</tex> принадлежит языку <tex>L</tex> для любого целого числа <tex>i \geqslant 0</tex>.

Исходя из этого, стандартная версия леммы, которая описана выше, является особым случаем, в котором строки <tex>u</tex> и <tex>v</tex> пусты.

Поскольку лемма в общем виде  накладывает более жесткие требования на язык, то она может быть использована для доказательства нерегулярности многих других языков, таких как <tex> L =\{ a^mb^nc^n : m \geqslant 1 , n \geqslant 1 \}</tex>.

== Использование леммы для доказательства нерегулярности языков ==

Для доказательства нерегулярности языка часто удобно использовать отрицание леммы о разрастании. Пусть <tex>L</tex> — язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языка, что его длина будет не меньше <tex> n</tex> и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие, что <tex>y</tex> непустое и длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>, существует такое <tex>k</tex>, что <tex>xy^kz \notin L</tex>, то язык <tex>L</tex> нерегулярный.

Рассмотрим такой подход на примере языка правильных скобочных последовательностей. Для фиксированного <tex>n</tex> предъявляем слово <tex>\omega=(^n)^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так как <tex>|xy|\leqslant n</tex>, то <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b > 0</tex>. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит, язык правильных скобочных последовательностей нерегулярен.

== Пример нерегулярного языка, для которого выполняется лемма о разрастании==
Рассмотрим следующий язык: <tex>L= \{ a^{i}b^{j}c^{k} \mid i \ne 1, j \geqslant 0, k \geqslant 0\} \cup \{ ab^{i}c^{i} \mid i \geqslant 1\}</tex>

'''Докажем, что он нерегулярный.''' Для этого рассмотрим вспомогательный язык  <tex>L'= \{ ab^{i}c^{i} \mid i \ge 1\}</tex> и докажем его нерегулярность. Воспользуемся предложенным в предыдущем пункте подходом. Для фиксированного <tex>n</tex> выберем слово <tex>\omega=ab^nc^n</tex>. Заметим, что при любом разбиении <tex>\omega</tex> на <tex>x, y, z</tex> слово <tex> y </tex> не пусто (по условию леммы) и содержит только символы <tex> a </tex> и <tex> b </tex> (согласно выбранному слову и условию из леммы <tex>|xy|\leqslant n</tex>). Это означает, что при <tex> k = 0 </tex> слово <tex>xy^kz</tex> либо не содержит символа <tex> a </tex>, либо количество символов <tex> b</tex> меньше <tex> n </tex>. В обоих случаях полученное слово не принадлежит языку. Значит язык <tex> L' </tex> нерегулярный.

Предположим, что язык <tex> L </tex> регулярный. Заметим, что <tex>L' = L \cap \{ab^{*}c^{*}\} </tex>.  В силу того, что пересечение регулярных языков регулярно, имеем в правой части равенства регулярный язык. При этом в левой части стоит язык, нерегулярность которого была доказана ранее. Значит наше предположение неверно, и язык <tex> L </tex> нерегулярный.

'''Докажем, что язык удовлетворяет лемме о разрастании.''' Выберем в лемме <tex> n = 2 </tex>.  Это означает, что длина рассматриваемых слов не меньше <tex> 2 </tex> (иными словами <tex> i + j + k \geqslant 2 </tex>). Для каждого случая значений <tex> i, j, k </tex> выберем соответствующие слова <tex> x, y </tex> и <tex> z </tex> из леммы. Легко проверить, что в каждом из приведенных ниже случаев условие леммы выполняется: 
# <tex> i = 0, j = 0, k \geqslant  2 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=c^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = c, z = c^{k-1}</tex>.
# <tex> i = 0, j \geqslant 1, k \geqslant  0 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = b, z = b^{j-1}c^k</tex>.
# <tex> i = 1, j \geqslant 1, j = k </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=ab^jc^j</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = b^jc^j</tex>.
# <tex> i = 2, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aab^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = aa, z = b^jc^k</tex>.
# <tex> i \geqslant 3, j \geqslant 1, k \geqslant 1 </tex>. Слово имеет вид <tex>\omega=aaaa^{i-3}b^jc^k</tex>. Выберем <tex> x = \varepsilon, y = a, z = aaa^{i-3}b^jc^k</tex>.

'''Таким образом''', язык <tex> L </tex> удовлетворяет второй части леммы и при этом является нерегулярным, что доказывает тот факт, что лемма о разрастании '''не''' является достаточным для регулярности языка.

Рассмотрим другой пример. 

<tex>L_1 =  \{ uvwxy : u, y \in \{ 0,1 ,2,3 \}^*; v,w,x \in \{ 0,1,2,3 \} \wedge ( v = w \vee v = x \vee x =w) \}</tex>

<tex>L_2 =  \{ w : w \in \{ 0,1 ,2,3 \}^* \wedge</tex> примерно <tex>\dfrac{1}{7}</tex> из символов слова <tex>w</tex> является символом <tex>3 \} </tex>

<tex>L = L_1 \cup L_2</tex>

Предположим, что некоторая строка языка <tex>L</tex> имеет длину 5. Поскольку в алфавите всего 4 символа, то как минимум два символа из пяти в этой строке будут одинаковыми, и они разделены максимум тремя символами.

== См. также ==
* [[Лемма о разрастании для КС-грамматик]]
* [[Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков]]
== Примечания ==
<references/>
== Источники ==
* Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. — Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 144. — ISBN 5-8459-0261-4
* [http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages Wikipedia — Pumping lemma for regular languages]

[[Категория: Теория формальных языков]]
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]]