Редактирование: Доказательство нерегулярности языков: лемма о разрастании
Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.
Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
| Текущая версия | Ваш текст | ||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | '''Лемма о разрастании''' | + | '''Лемма о разрастании'''<ref>Лемму также часто называют ''леммой о накачке''.</ref> — лемма, позволяющая во многих случаях проверить, является ли данный язык [[Регулярные языки: два определения и их эквивалентность|регулярным]]. |
| − | + | __TOC__ | |
| − | |||
{{Лемма | {{Лемма | ||
|id= ==lemma== | |id= ==lemma== | ||
| Строка 9: | Строка 8: | ||
|proof= | |proof= | ||
[[Файл:Consp_lemma.png||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Поскольку [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)|регулярный язык является автоматным]], то найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Пусть <tex>n</tex> — размер автомата. Докажем, что <tex>n</tex> удовлетворяет условию леммы. | [[Файл:Consp_lemma.png||left|240px|]] Пусть <tex>L</tex> — регулярный язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Поскольку [[Теорема Клини (совпадение классов автоматных и регулярных языков)|регулярный язык является автоматным]], то найдётся автомат <tex>A</tex>, допускающий язык <tex>L</tex>. Пусть <tex>n</tex> — размер автомата. Докажем, что <tex>n</tex> удовлетворяет условию леммы. | ||
| − | <br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>. | + | <br/>Возьмём произвольное слово <tex>\omega</tex> длины не меньше <tex>n</tex> из языка <tex>L</tex>. Рассмотрим переходы в автомате <tex>\langle s,\omega\rangle \vdash\langle u_1, \omega[0]^{-1}\omega\rangle\vdash\dots\vdash\langle u_{l},\varepsilon\rangle, \: l\geqslant n</tex>. Так как <tex>l</tex> не меньше количества состояний в автомате <tex>n</tex>, то в переходах будет совпадение. Пусть <tex>u_i</tex> и <tex>u_j</tex> — первое совпадение. Тогда, повторяя участок слова <tex>\omega</tex>, который отвечает за переход от <tex>u_i</tex> к <tex>u_j</tex>, получаем слово, допускаемое автоматом. То есть, если верно <tex>\langle s, xyz\rangle \vdash^*\langle u_i, yz\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>, то тогда верно <tex>\langle s, xy^kz\rangle \vdash^*\langle u_i, y^kz\rangle\vdash^*\langle u_j, y^{k-1}z\rangle\vdash^*\langle u_j, z\rangle\vdash^*\langle u_l, \varepsilon\rangle</tex>. Тогда автомат <tex>A</tex> допускает слово <tex>xy^kz</tex>, следовательно <tex>xy^kz</tex> принадлежит регулярному языку <tex>L</tex>. |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
}} | }} | ||
| − | '''Замечание.''' | + | '''Замечание.''' Условие леммы не является достаточным для регулярности языка. ''(См. [[#Пример доказательства без использования леммы|пример 2]])'' |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | === | + | == Доказательства нерегулярности языков == |
| − | Рассмотрим | + | Для доказательства нерегулярности языка можно использовать свойства регулярных и автоматных языков. |
| + | <br/>Часто удобно использовать отрицание леммы о разрастании. Пусть <tex>L</tex> — язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>. Если для любого натурального <tex>n</tex> найдётся такое слово <tex>\omega</tex> из данного языка, что его длина будет не меньше <tex> n</tex> и при любом разбиении на три слова <tex>x,y,z</tex> такие, что <tex>y</tex> непустое и длина <tex>xy</tex> не больше <tex>n</tex>, существует такое <tex>k</tex>, что <tex>xy^kz \notin L</tex>, то язык <tex>L</tex> нерегулярный. | ||
| + | === Пример доказательства с использованием леммы === | ||
| + | Рассмотрим язык правильных скобочных последовательностей. Для фиксированного <tex>n</tex> предъявляем слово <tex>\omega=(^n)^n</tex>. Пусть <tex>\omega</tex> как-то разбили на <tex>x, y, z</tex>. Так как <tex>|xy|\leqslant n</tex>, то <tex>y=(^b</tex>, где <tex>b > 0</tex>. Для любого такого разбиения берём <tex>k=2</tex> и получаем <tex>xy^kz=(^{n+b})^n</tex>, что не является правильной скобочной последовательностью. Значит, язык правильных скобочных последовательностей нерегулярен. | ||
| − | <tex> | + | === Пример доказательства без использования леммы === |
| − | + | Докажем нерегулярность языка <tex>0^a 1^b 2^b, a \geqslant 1, b \geqslant 0</tex>. Заметим, что здесь условие леммы о накачке выполнено <tex>(n = 1, x = \varepsilon, y = 0)</tex>. Докажем нерегулярность языка с помощью свойств ДКА. Пусть для языка существует автомат <tex>A</tex> c <tex>k</tex> состояниями. Пусть после <tex>a</tex> нулей на вход поступило <tex>k</tex> единиц. При помощи рассуждений, аналогичных приведенным в доказательстве леммы, получаем, что с момента завершения считывания нулей до последнего считывания единицы автомат посетит <tex>k + 1</tex> состояние, т. е. хотя бы в одном из них он окажется дважды. Пусть при первом посещении этого состояния автомат считал <tex>i</tex> единиц, при втором — <tex>j</tex>. Поскольку <tex>0^a 1^i 2^i</tex> принимается автоматом, а <tex>0^a 1^j 2^i</tex> — не принимается, то при подаче автомату, находящемуся в этом состоянии, <tex>i</tex> двоек, автомат, с одной стороны, должен оказаться в допускающем состоянии, с другой — в недопускающем. | |
| − | <tex> | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
== См. также == | == См. также == | ||
* [[Лемма о разрастании для КС-грамматик]] | * [[Лемма о разрастании для КС-грамматик]] | ||
| − | * [[ | + | * [[Интерпретация булевых формул с кванторами как игр для двух игроков]] |
| − | + | == Примечания == | |
| − | == | + | <references/> |
| − | + | == Литература == | |
| − | * Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д. | + | * ''Хопкрофт Д., Мотвани Р., Ульман Д.'' Введение в теорию автоматов, языков и вычислений, 2-е изд. : Пер. с англ. — М.:Издательский дом «Вильямс», 2002. — С. 144. — ISBN 5-8459-0261-4 |
[[Категория: Теория формальных языков]] | [[Категория: Теория формальных языков]] | ||
[[Категория: Автоматы и регулярные языки]] | [[Категория: Автоматы и регулярные языки]] | ||
| − | |||
